數(shù)學逆轉(zhuǎn)程序與方法介紹
數(shù)學學習與與解題的常用思維策略審題與分析策略十法審題與分析是解題的先導,以獲得解題最佳思維程序為目的，以下是小編整理的數(shù)學逆轉(zhuǎn)程序與方法介紹，一起去來看看吧。
當代著名數(shù)學家、教育學家波利亞在論述解題策略時，曾強調(diào)“反面思考”的作用，所謂“反面思考”，就是通過考察事物的對立面來探索問題的解的一種思考方法。由于事物的對立面可以從不同的角度來選取，這就使得反面思考又有不同的思考方式，而逆轉(zhuǎn)程序就是這些思考方式中的一種，如果把原問題看成是已知A來探求B，那么，逆轉(zhuǎn)程序就是把原問題更改為已知B來探求A，即從相反方向（交換起點與終點）這個對立面來探求問題的解答。下面舉幾個例子，說明逆轉(zhuǎn)程序的應用。這些例子都是生動有趣的，但用常規(guī)的方法卻不易求解，從而有力地說明了逆轉(zhuǎn)程序在解決有關問題（特別是數(shù)學競賽題）中的優(yōu)越性。例：給你四段鏈條，每一段上有三節(jié)封閉（可開可合）的環(huán)。現(xiàn)在要你打開一些環(huán)，把十二節(jié)環(huán)連接成一個首尾相接的圓圈（圖略）。每打開一環(huán)得兩分，接上一環(huán)得3分，要以得分不超過15分完成本題。有人對解這個題的各種嘗試過程作了非常詳細的討論，并介紹了在不斷的“試錯”和“反思”中尋求解題途徑的思想方法，這無疑是一種有效的解題方式。
但是，本題若采用逆轉(zhuǎn)程序的策略，其解答則顯而易見。解我們從相反的方向來考察，即怎樣將一個12環(huán)首尾相接的圈打開盡量少的環(huán)，使其分成環(huán)數(shù)相等的四部分？（圖略）我們只須打開標有“×”的三個環(huán)即可，由于“合”與“分”是對立的統(tǒng)一，一種“分”的方式即可產(chǎn)生一種“合”的方法。這樣，可知原題應打開某段鏈條的全部三個環(huán)，此時，打開三環(huán)得6分，而且該三環(huán)將其它三段鏈條接起來得9分，共得6+9=15分，符合題目要求。又例：由8個相同的小立方體構(gòu)成一個2×2×2的大立方體。
今沿小立方體的表面將大立方體分成大小、形狀完全相同的兩個幾何體，問有多少不同的分法？解本題是一個有趣的組合問題，如果將思維限制在考察怎樣從大立方體中分割出兩個全等的幾何體則是難以考慮全面的：表面似乎只有一種分法，即將其分為兩個1×2×2的長方體。除此之外，再不知如何下手。現(xiàn)在，我們從相反的方向來考慮：哪些全等的兩個幾何體（由4個小立方體構(gòu)成）可以“合”成一個大立方體？即從部分“合成”整體這一方向來考察事物的可能性。由于“部分”的形狀比較容易分析，從而問題的解也就趨于明朗。考察由4個小立方體合在一起構(gòu)成的圖形的所有可能形狀，其中注意它們的最大棱長不超過2。首先，由兩個正方體拼起來只有一種方式，再加上一個正方體，雖有兩種情形，但其中一種含有大于2的棱長，從而也只有一種可能。再在三個小正方體上添加一個小正方體這只有4種允許的本質(zhì)上不同的拼合方式（本質(zhì)上不同是指經(jīng)過剛體運動后它們不能重合）。意外的是，這四種情形中的任何一種，其兩個完全相同的幾何體都能拼成2×2×2的立方體，故我們的答數(shù)為4。
怎樣利用工具書呢? 下面例舉供你參考:
１.查找常用字, 可用《新華字典》、《同音字典》、《漢語常用字典》．
２.查找冷僻字, 可用《現(xiàn)代漢語詞典》、《中華大字典》以及《古漢語常用字字典》．
３.查找現(xiàn)代詞語, 可用《現(xiàn)代漢語詞典》、《新華詞典》．
４.查找古代語詞, 可用《辭海》、《古漢語常用字字典》、《辭通》、《聯(lián)綿字典》等．
５.查找文言虛詞, 可用《文言虛字》、《詞論》等．
６.查找成語典故, 可用《漢語成語詞典》、《常用成語典故選釋》等．
７.查找馬列著作篇名、文句以及詩詞文句出處, 可用《馬克思恩格斯全集目錄》、《辭海》、《古代詩詞曲名句選》等．
８.查找地名, 可用《辭海》、《中國古今地名大辭典》、《世界地名詞典》等．
９.查找人名, 可用《辭海》、《中國人名大辭典》、《中國歷代名人辭典》等．
１０.查找歷史事件可用《辭海》、《簡明中外歷史辭典》等．
１１.查找職官名, 可用《辭海》、《辭源》等．
１２.查找學科名詞術語, 可用《辭海》、《簡明哲學辭典》、《政治經(jīng)濟學辭典》等．
１３.查找圖像, 可用《辭海》、《外國名作家傳》等．
當然, 還有許多專業(yè)工具書, 可根據(jù)各自需要掌握使用．
培養(yǎng)良好習慣
習慣是一種無意識的、不需控制的慣性行為，良好的學習習慣是提高學生自學能力的關鍵。
那么，我們應該培養(yǎng)學生的哪些良好的習慣呢？
其一：“不動筆墨不讀書”的習慣。
所謂“動筆墨”，一是自學時要用符號在書上進行“圈、點、勾、畫、批”；二是隨時摘錄課文的精彩之處；三是經(jīng)常寫一些心得體會。
其二：“心、眼、口”三到的習慣。
“三到”之中，關鍵是“心到”，心若不到，其他“兩到”則難于做到。自學時做到心想，眼看，口念，加上前面所講的手畫，既有助于發(fā)揮多種感官的功能，又可保證精神集中，從而有效地提高自學的質(zhì)量。
其三：善于自我提問的習慣。
從某種意義上講，學習的過程就是一個不斷提出問題并不斷解決問題的過程。善于提出問題，是自學能力強的標志之一。
其四：“不恥下問”的習慣。
有了問題，自己解決不了，又死要面子，不肯問人，這樣問題越積越多，學習就會陷入被動局面。
其五：利用工具書的習慣。
要解決那些自己不能解決的問題，除了向老師、家長和同學請教外，還可以利用工具書求得解答。學生都要備有必要的工具書，特別是《新華字典》。
在培養(yǎng)學生這幾方面學習習慣時，教師應具體指導方法，嚴格要求，強化訓練，并且要持之以恒，必定會“習慣成自然”。
優(yōu)秀學生聽課的10個訣竅
一、聽視并用法。
大多數(shù)學生聽課是一邊聽，一邊看。聽覺和視覺并用，比只聽不抬頭看的聽課效果要好。聽是接受聲音信息，看是接受圖象信息。
又聽又看，在通過聲音傳遞來記憶抽象的概念的同時，又可結(jié)合圖象直觀，來強化具體的知識印象。聽和看的內(nèi)容應保持同一性，不能聽此視彼，分散聽課的注意力。
聽，一般指聽錄音、聽范讀、聽提問、聽講解 學習方法指導；看，主要是指看板書、看掛圖、看熒屏或銀幕上的多媒體畫面，看教師的教態(tài)，如教師的舉手投足、神情姿態(tài)。因為教師要借助這些板書、畫面、手勢，化抽象為具體、變繁復為簡明、變陌生為熟悉。這種方法，以聽為主，以看促聽，效果很好。
二、聽思并用法。
子曰：“學而不思則罔，思而不學則殆。”邊聽邊思考也是一種有效的聽課方法。聽一般是被動地吸收，思則是主動地思考。
邊聽邊思，可以在由被動轉(zhuǎn)化為主動的過程中，逐步加深對知識的認識和理解。只聽不思考，錄音機式的聽課，囫圇吞棗，談不上真正掌握知識，更談不上培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。
一般可從這些方面思考：教材的重、難點在什么地方，老師為什么這樣處理教材，老師講的自己是否真正懂了，老師講的與自己想的有什么不同，這篇課文與其他課文有何異同？……
以思促聽，能知其然也能知其所以然。
初中狀元生自我調(diào)節(jié)能力：能力的自我調(diào)節(jié)
有了自我調(diào)節(jié)能力，不僅對知識方面可以進行調(diào)節(jié)，對能力、情緒、身體、環(huán)境諸方面都可以進行自我調(diào)節(jié)。本章介紹如何掌握和運用能力的自我調(diào)節(jié)能力。
能力的自我調(diào)節(jié)
我們的中學生，不應該是只會讀書、只會考試的小書呆子，而應該是朝氣蓬勃、立志成為管理國家、建設國家的各種人才。
從這一點來講，學生干部就要占點“便宜”。有人說，當學生干部會影響學習，成績會往下掉。這種現(xiàn)象有，但是，如果說當了學生干部就必然影響學習，這種說法就不科學了 學習規(guī)律。嚴格地說，是由于學生干部沒當好，才影響了學習成績。當好了學生干部，學習成績和工作能力會雙豐收的。
天津靜海一中的李艷輝同學，當過校學生會干事、班團支部書記、班長。他說：“當學生干部有得無失。有人認為自己學習成績下降是由于工作量太大。其實這是工作、學習的關系沒處理好。相反，作為一名學生干部，自尊心常常會激發(fā)自己奮發(fā)向上。”
一年，李艷輝連續(xù)出外開了幾次會，確實影響他的學習成績，期中考試成績排全班第八。干部的自尊心促使他抓緊一切空閑時間學習，到期末便躍為全班第一。此后，他一直保持了這個成績。同時，當學生干部，每過一階段，總要寫幾份工作總結(jié)，這在客觀上鍛煉了他的思維、概括能力，反映在試卷上就是他的答題的條理性比別的同學強。因此，李艷輝同學感到當學生干部有得無失。
最有效的口語學習點子
很多學生在口語學習過程中會碰到不同的困擾，不掌握一定的科學方法很難突破。我們要想學好口語，首先就要了解口語學習的原則。
【語音】：語音學習在整個口語學習中是最基本的，也是最關鍵的。語音學習不只是包括單純的發(fā)音練習，還應包括語調(diào)、節(jié)奏等的訓練。其實，不管是學習哪種發(fā)音，純正標準是關鍵。這是口語的基礎階段，一定要多聽多學多練，持之以恒多模仿。
【詞匯】：掌握標準純正的語音是必須的，但卻是遠遠不夠的。中國學生可能會有疑問，認為自己的語音已經(jīng)不錯了，可為什么在老美面前還是覺得沒話講，無法順利地交流。答案很簡單，積累不夠。
學習母語不識字也可以流利的說出來，但學習外語沒有一定的詞匯量絕對不行，我們沒有學習語言的環(huán)境，只有掌握一定的詞匯量后，你才能進行閱讀和聽說，只有通過大量的閱讀和練習，你才會說出英語。我用過一些詞匯記憶軟件，感覺都還不錯，最后我選擇“奇跡英語智能記憶”，的確比以書本和詞典背單詞在效率上提高很多，不會有像背課本或詞典那樣一邊學習一邊忘記的現(xiàn)象，而且記得牢固，有了詞匯基礎我感覺學習英語輕松了很多。
【句型】：談到第三個著力點就是口語當中的句型了，句型好比數(shù)學當中的公式，只要我們掌握了一類句型，以后就可以直接進行部分替換，就能說出多個不同的句子。當然，口語當中出現(xiàn)的句子可說是千變?nèi)f化，我們除了通過部分替換來得到不同的句子外，如何更有效地來掌握句型呢？這就需要我們對不同的句型進行歸納整理，了解并記憶各個句型所應用的場景和功能。通俗點說，就是在什么地方，跟什么人就要說什么話。
【文化】：掌握句型不僅是目的，也是我們進行第四個著力點的手段。我們學習口語最終是要達到像英美人士思維的目的，這也是我們要付出努力的第四個著力點。大多數(shù)中國口語學習者在說出一個英文句子前，總是先想中文，再把它翻譯成英文，結(jié)果變成Chinglish，失掉了洋味兒。
有些同學會說，我們沒有生活在美國，怎么了解他們的文化？最直觀的方式便是大量的觀看原版電影了。
這是學習口語應該注意的四大著力點，任何一方面都不能忽視，只有形成一股強大的合力，才能把口語學習推向一個更高的境界。 a
十種方法激發(fā)孩子學習信心
孩子進入初中，也就意味著他們已經(jīng)或即將進入青春發(fā)育期。這是一個人從幼稚走向成熟，從依賴走向獨立，從家庭走向社會并逐步適應社會的重要階段。可以說，這一時期的孩子是最讓父母操心、擔心和傷腦筋的。在這樣一個特殊時期，給初中生的家長們以下一些建議：
一、盡量表揚孩子。
孩子具有一定的自信心，才會肯去學習。要使孩子每天都感覺到他在學習上取得了一定進步，哪怕是改正一個缺點。
二、多關心孩子的學習內(nèi)容和實際進步程度。
家長要多詢問孩子最近學習了什么，掌握得如何等。
三、經(jīng)常給孩子制訂幾個容易達到的小目標。
這樣可以使孩子感覺到能夠做到，孩子有自信心，從而有利于孩子發(fā)揮出潛能。
四、刺激孩子的學習欲望。
要抓住生活中的各種機會讓孩子練習。
五、幫助孩子樹立責任心。
讓孩子學會洗碗、洗手帕，整理自己的床鋪、用具，盡到自己的那份責任。
六、在孩子面前做表率。
記住：好家長教出好孩子的道理。
七、盡量不要在孩子面前議論教師，尤其不要在孩子面前貶低教師。
即使孩子對某位任課老師有一些負面情緒的時候，也要弄清楚事實之后再酌情處理，不要主觀判斷。
八、定下家庭學習規(guī)矩。
定下家庭學習規(guī)矩，并且自始至終執(zhí)行，以形成良好的學習習慣，作息習慣。
九、引導孩子善于提出問題。
要培養(yǎng)孩子多問為什么。
十、要使孩子重視上學，盡量避免孩子缺課的情況發(fā)生
【拓展】
知識是人們在改造世界的實踐中所獲得的認識和經(jīng)驗的總和，它是人類文化的核心內(nèi)容。在數(shù)學學科中，概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等顯然屬于知識的范圍。這些知識要素也都有其本身的內(nèi)容。問題是，這豐富多彩的內(nèi)容反映了哪些共同的、帶有本質(zhì)性的東西?實踐和研究都已說明：這就是數(shù)學思想和數(shù)學方法。它們是知識中奠基性的成分，是人們?yōu)楂@得概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等所必不可少的(請注意這里的“法則”中還含有“法”字)。它們是人類文化的重要組成部分之一棗數(shù)學文化的核心內(nèi)容即知識中的核心，也就是數(shù)學文化的“重中之重”。因此，把思想、方法歸屬于知識的范圍，比起把知識、技能和方法三者并列起來更為科學。
能力是指主體能勝任某項任務的主觀條件。在數(shù)學學習中，學生的數(shù)學能力與他們的知識基礎和心理特征有關。技能是指依據(jù)一定的規(guī)則和程序去完成專門任務(解決特定的問題)的能力。顯然，技能和能力都與知識密不可分；但學生在任務(問題)面前如何對知識和運用這些知識的途徑進行選擇，使得完成任務(解決問題)達到多快好省，則是一項超越知識本身的心理活動。因此，把知識、技能和能力三者并列起來是合理的；但也應看清楚，這三者的順序是由低到高，在教育、教學的意義下是后者更重于前者。
一、歷史的回顧
我國的中學數(shù)學教學大綱，對于數(shù)學思想和數(shù)學方法的重要性的認識也有一個從低到高的過程。? 由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1986年12月第1版的《全日制中學數(shù)學教學大綱》，在第2頁“教學內(nèi)容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關文字改成一句話：“適當滲透集合、對應等數(shù)學思想”。1990年修訂此大綱時，維持了這一規(guī)定。? 由國家教育委員會基礎教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱(供試驗用)》，在第2頁“教學目的”中也規(guī)定：“高中數(shù)學的基礎知識是指：高中數(shù)學中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學思想和方法。”在界定“思維能力”一詞的四個主要層面時，指出第三層面是“會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點”；第四層面是“能運用數(shù)學概念、思想和方法，辨明數(shù)學關系，形成良好的思維品質(zhì)”。這份大綱維持了數(shù)學的“內(nèi)容、思想、方法和語言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”的提法(第1頁)；并指出數(shù)學規(guī)律“包括公理、性質(zhì)、法則、公式、定理及其聯(lián)系，數(shù)學思想、方法和語言”(第24頁)；堅持在對解題進行指導時，應該“對解題的思想方法作必要的概括”(第25頁)。這是建國以來對數(shù)學思想和數(shù)學方法關注最多的一份中學數(shù)學教學大綱，充分體現(xiàn)了數(shù)學教育工作者對于數(shù)學課程發(fā)展的一些共識。
二、數(shù)學思想方法
(一)思想、科學思想和數(shù)學思想
思想是客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。它是從大量的思維活動中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過反復提煉和實踐，如果一再被證明為正確，就可以反復被應用到新的思維活動中，并產(chǎn)生出新的結(jié)果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產(chǎn)物。因此，對于學習者來說，思想就成為他們進行思維活動的細胞和基礎；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動的載體。每門科學都逐漸形成了它自己的思想，而科學法則概括出各門科學共同遵循和運用的一些科學思想。
所謂數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識。首先，數(shù)學思想比一般說的數(shù)學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。其次，數(shù)學思想、數(shù)學觀點、數(shù)學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數(shù)學去觀察和思考問題，那么數(shù)學思想也就成了一種觀點。而對于數(shù)學方法來說，思想是其相應的方法的精神實質(zhì)和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段。中學數(shù)學中出現(xiàn)的數(shù)學觀點(例如方程觀點、函數(shù)觀點、統(tǒng)計觀點、向量觀點、幾何變換觀點等)和各種數(shù)學方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。
數(shù)學思想是一類科學思想，但科學思想未必就單單是數(shù)學思想。例如，分類思想是各門科學都要運用的思想(比方語文分為文學、語言和寫作，外語分為聽、說、讀、寫和譯，物理學分為力學、熱學、聲學、電學、光學和原子核物理學，化學分為無機化學和有機化學，生物學分為植物學、動物學和人類學等；中學生見到的最漂亮的分類應該是在學習哺乳綱動物時所出現(xiàn)的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數(shù)學給予的。只有將分類思想應用于空間形式和數(shù)量關系時，才能成為數(shù)學思想。如果用一個詞語“邏輯劃分”作為標準，那么，當該邏輯劃分與數(shù)理有關時(可稱之為“數(shù)理邏輯劃分”)，可以說是運用數(shù)學思想；當該邏輯劃分與數(shù)理無直接關系時(例如把社會中的各行各業(yè)分為工、農(nóng)、兵、學、商等)，不應該說是運用數(shù)學思想。同樣地，當且僅當哲學思想(例如一分為二的思想、量質(zhì)互變的思想和肯定否定的思想)在數(shù)學中予以大量運用并且被“數(shù)學化”了時，它們也可以稱之為數(shù)學思想。
(二)數(shù)學思想中的基本數(shù)學思想
在數(shù)學思想中，有一類思想是體現(xiàn)或應該體現(xiàn)于基礎數(shù)學中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學思想。基本數(shù)學思想含有傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華和近現(xiàn)代數(shù)學思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發(fā)展著的。?
基本數(shù)學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，對立統(tǒng)一的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計思想，極限思想(或說無限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”棗對應思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。有些基本數(shù)學思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數(shù)與方程的思想”衍生于符號與變元表示的.思想(函數(shù)式或方程式)、集合思想(函數(shù)的定義域或方程中字母的取值范圍)和對應思想(函數(shù)的對應法則或方程中已知數(shù)、未知數(shù)的值的對應關系)。所以我們說基本數(shù)學思想是體現(xiàn)或應該體現(xiàn)于“基礎數(shù)學”(而不是說“初等數(shù)學”)的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果。基本數(shù)學思想及其衍生的數(shù)學思想，形成了一個結(jié)構(gòu)性很強的網(wǎng)絡。中學數(shù)學教育、教學中傳授的數(shù)學思想，應該都是基本數(shù)學思想。
非科學思想當然也是大量存在的。例如，“崇洋”的思想就是一種非科學思想。
中學數(shù)學教科書中處處滲透著基本數(shù)學思想。如果能使它落實到學生學習和運用數(shù)學的思維活動上，它就能在發(fā)展學生的數(shù)學能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。
(三)思路、思緒和思考?
我們在中學數(shù)學教育、教學中，還經(jīng)常使用著“思路”和“思緒”這兩個詞語。一般說來，“思路”是指思維活動的線索，可視為以串聯(lián)、并聯(lián)或網(wǎng)絡形狀出現(xiàn)的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒。“思路”和“思緒”實際上是同義詞，并且它們都是名詞。
那么，另一個詞語“思考”又是什么意思呢?“思考”就是進行比較深刻、周到的思維活動。作為動詞，它反映了主體把思想、方法、串聯(lián)、并聯(lián)或用網(wǎng)絡組織起來以解決問題的思維過程。由此可見，“思考”所產(chǎn)生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結(jié)果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學習者能力的差異。
(四)方法和數(shù)學方法
所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。人們通過長期的實踐，發(fā)現(xiàn)了許多運用數(shù)學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為數(shù)學方法。數(shù)學方法是以數(shù)學為工具進行科學研究的方法，即用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)、關系和過程，經(jīng)過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。
數(shù)學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結(jié)論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。
數(shù)學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數(shù)量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現(xiàn)代科學技術特別是電腦的發(fā)展，與數(shù)學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成。?
宏觀的數(shù)學方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)方法，實驗方法。微觀的且在中學數(shù)學中常用的基本數(shù)學方法大致可以分為以下三類：
(1)邏輯學中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規(guī)律和法則，又因運用于數(shù)學之中而具有數(shù)學的特色。
(2)數(shù)學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法。代數(shù)中常用圖象法，解析幾何中常用坐標法)、向量法、比較法(數(shù)學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數(shù)學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應用也很廣泛。
(3)數(shù)學中的特殊方法。例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現(xiàn)化歸的數(shù)學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數(shù)學問題時起著重要作用，不可等閑視之。
(五)方法和招術
如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產(chǎn)物，是包含或體現(xiàn)著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實施方法的前期過程中，反映了學習者的能力和技能的高低；而在后期過程中，只反映了學習者的技能的差異。?
所謂“招術”“招”字應正為“著”字，本文仍用傳統(tǒng)的“一招一式”的說法。是指解決特殊問題的專用計策或手段，純屬于技能而不屬于能力。“招”的教育價值遠低于“法”(這里的“法”指“通法”)的價值。“法”的可仿效性帶有較為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實施“招”要以能實施管著它的“法”為前提。
例如，待定系數(shù)法是一種特別有用的“法”。求二次函數(shù)的解析式時，用待定系數(shù)法根據(jù)圖象上三個點的坐標求出解析式可看作第一“招”；根據(jù)頂點和另一點的坐標求出解析式可看作第二“招”；根據(jù)與x軸交點和另一點的坐標求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管著它們的“法”而定。教師授予學生“用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學生明確二次函數(shù)的解析式中自變量、函數(shù)值和圖象上點的橫、縱坐標的對應關系；對于一般的點和特殊的點(例如頂點及與x軸的交點)，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現(xiàn)了對應思想和數(shù)形結(jié)合的思想。由此看來，我國古代傳說中經(jīng)常提到的某些師傅對待弟子“給‘招’不給‘法’”的現(xiàn)象，在現(xiàn)代的數(shù)學教育、教學中應該盡量避免。
三、中學數(shù)學教科書中應該傳授的基本數(shù)學思想和方法
(一)中學數(shù)學教科書中應該傳授的基本數(shù)學思想
中學數(shù)學教科書擔負著向?qū)W生傳授基本數(shù)學思想的責任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。? 1.滲透。“滲透”就是把某些抽象的數(shù)學思想逐漸“融進”具體的、實在的數(shù)學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、對應思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等。前三種基本數(shù)學思想從初中一年級就開始滲透了，并貫徹于整個中學階段；抽樣統(tǒng)計思想可從初中三年級開始滲透，極限思想也可從初中三年級的教科書中安排類似于“關于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想，要注意根據(jù)人類的認識規(guī)律，一開始就采取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當作公理。
這種滲透是隨年級逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數(shù)軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時允許用不等式(組)、區(qū)間或集合的描述法來表示實數(shù)集的某些子集。又如對應思想，初中只用文字、數(shù)軸或平面直角坐標系來講對應；高中則在此基礎上引入了使用符號語言的對應法則。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。“滲透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。
2.介紹。“介紹”就是把某些數(shù)學思想在適當時候明確“引進”到數(shù)學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從初中一年級起就開始介紹(例如前四種基本數(shù)學思想)，有的則是先滲透后介紹(例如后兩種基本數(shù)學思想)。“介紹”與“滲透”的基本區(qū)別在于：“滲透”只要求學生知道有什么思想和是什么思想，而“介紹”則要求學生在此基礎上進而知道為什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并學會運用。作為補充，也可以就問題適時地向?qū)W生介紹如何運用一分為二的思想和整體思想。
3.突出。“突出”就是把某些數(shù)學思想經(jīng)常性地予以強調(diào)，并通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在于最大限度地發(fā)揮這些數(shù)學思想的功能。要突出的有數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想等。這些基本數(shù)學思想貫穿于整個中學階段，最重要、最常用，是中學數(shù)學的精髓，也最能長久保存在人一生的記憶之中。“介紹”與“突出”的基本區(qū)別在于：“介紹”只要求學生知道用什么和會用，而“突出”則要求學生在此基礎上進而知道選用和善用。作為補充，也可以就數(shù)學問題經(jīng)常向?qū)W生突出分類思想的運用。
(二)中學數(shù)學教科書中應該傳授的基本數(shù)學方法
在傳授基本數(shù)學方法方面，仍如義務教育初中數(shù)學教學大綱所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活運用”這四個層次。這四個層次的含義也可以遵照該大綱中的提法(第8頁腳注)，新的高中數(shù)學教學大綱(供試驗用。本文下面所述“高中大綱”均指此大綱)維持了這些提法(第4頁腳注)。分別屬于這四個層次的基本數(shù)學方法的例子有：“了解數(shù)學歸納法的原理”(高中大綱第9頁)，“了解用坐標法研究幾何問題”(高中大綱第10頁)；“理解‘消元’、‘降次’的數(shù)學方法”(初中大綱第19頁)；“掌握分析法、綜合法、比較法等幾種常用方法證明簡單的不等式(高中大綱第6頁)”；“靈活運用一元二次方程的四種解法求方程的根”(初中大綱第17頁。四種解法指直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在這方面，大綱的規(guī)定是比較明確的。
在大綱、教科書和實際教學中，有時把“思想方法”作為一個詞語使用。為什么可以這樣做呢?這要看我們從哪個角度來分析。例如在解二元一次方程組時，我們常說要讓學生掌握“消元”的思想方法。事實上，當我們從“化未知為已知”的角度去分析此問題時，其思想屬于“化歸的思想”；當我們從“化二元為一元”的角度去分析此問題時，其方法屬于“消元法”；而當我們從“代入公式直接求解”的角度去分析此問題時，就出現(xiàn)了“行列式法”(其實也是“代入法”)。根據(jù)這樣的認識，在不少場合下籠統(tǒng)使用“思想方法”一詞是合理的，但作為科學研究，必須把“思想”和“方法”分開予以界定。
有關數(shù)學思想和數(shù)學方法，尚是一個嶄新的研究課題。以上認識涉及很多因素，有待進一步開掘。錯漏之處，歡迎批評指正。
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