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因式分解的數(shù)學(xué)方法
要想能在綜合性較強(qiáng)的幾何題目中能靈活應(yīng)用，就必須要熟記啦。因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法。小編為大家整理了數(shù)學(xué)公式：因式分解的方法，方便大家查閱學(xué)習(xí)。
一、換元法
有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.
【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時(shí)，可以令y=x^2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).
二、運(yùn)用公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫運(yùn)用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);
② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;
注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);
④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);
⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.
【例】a+4ab+4b =(a+2b)
三、分組分解法
把一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，再進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法。用分組分解法時(shí)，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此選擇合理選擇分組的方法，即分組后，可以直接提公因式或運(yùn)用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).
四、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法
這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。
【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).
五、配方法
對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。
【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).
六、十字相乘法
這種方法有兩種情況：
① x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1;常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積;一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
② kx+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).
圖示如下：
a b
×
c d
例如：因?yàn)?/p>
1 -3
×
7 2
且2-21=-19， 所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).
多項(xiàng)式因式分解的一般步驟>>
① 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式;
② 如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解;
③ 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解;
④ 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”
【例題】
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
當(dāng)y=0時(shí)，原式=x^5不等于33;當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。
3.△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。
解：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a+2b+c>0.∴a-c=0，即a=c，△ABC為等腰三角形。
4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
七、應(yīng)用因式定理
對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.
【例】f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)
八、提公因式法
各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的;取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的`。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。
【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
九、求根法
令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .
【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時(shí)，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 ,…xn ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).與方法九相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。
【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6時(shí)，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2 ，則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
十、雙十字相乘法
雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。
【例】分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
解：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
雙十字相乘法其步驟為>>
① 先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
② 先依一個(gè)字母(如y)的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③ 再按另一個(gè)字母(如x)的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯(cuò)。
十一、主元法
先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。
十二、特殊值法
將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
【例】在分解x^3+9x^2+23x+15時(shí)，令x=2，則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 .
注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值，則x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如此。
十三、待定系數(shù)法
首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。
【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。
于是設(shè)x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd，由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).
通過以上數(shù)學(xué)公式：因式分解的方法的學(xué)習(xí)后，想必同學(xué)們的學(xué)習(xí)會(huì)更進(jìn)一步，如想了解更多請(qǐng)繼續(xù)關(guān)注數(shù)學(xué)網(wǎng)。
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