如何滲透數學思想方法

　　數學思想方法是數學的精髓，在處理數學問題時，它能給學生的思考方向起著指導作用，是知識轉化的橋梁。數學思想方法是對數學知識和方法的本質規律的理性認識，是數學思維的結晶和概括，是解決數學問題的靈魂和策略。下面是小編整理的如何滲透數學思想方法，歡迎閱讀！

　　一、在課堂教學中滲透數學思想方法

　　1.用數學思想理解數學概念的內容，培養學生準確理解概念能力。如在講解概念時，結合圖形，化抽象為具體，數形結合加深理解。

　　2.用數學思想方法推導定理、公式的形成，培養學生的思維能力。在定理、公式的教學中不要過早的給出結論，引導學生參與結論的探索、發現，研究結論的形成過程及應用的條件，領悟它的知識關系，培養學生從特殊到一般，類比、化歸的數學思想。

　　二、在解題教學中滲透數學思想方法，提高學生的數學素養和能力

　　解題的過程實質上是在化歸思想的指導下，合理聯想，調用一定數學思想方法加工、處理題設條件和知識，逐步縮小題設和結論間的差異。運用數學思想方法分析、解決問題，開拓學生的思維空間、優化解題策略。

　　總之，在解題教學中恰當滲透數學思想方法，開拓了學生的思維空間，優化了學生的思維品質，提高了學生的解題能力。

　　三、在基礎知識的復習過程中，滲透數學思想方法，豐富知識內涵

　　1.在總結基礎知識的復習時，應注意揭示、總結其中蘊含的數學思想方法。

　　2.適當滲透數學思想方法，優化知識結構。

　　四、開設專題講座，激發提升對數學思想方法的認識，提高對數學思想方法的駕馭能力

　　數學知識本身具有系統性，數學思想方法也具有系統性，對它的學習和滲透是一個循序暫進的過程。在高考復習時，可以有目的地開設數學思想方法的專題講座，以高中數學中常用的數學思想方法（如：數形結合、分類討論、函數與方程、轉化和化歸等）為主線，把中學數學中的基礎知識有機的結合起來，讓學生深刻領悟數學思想方法在數學學科中的支撐和統帥作用，進一步完善學生的認知結構，提高學生的數學能力。

　　比如以函數思想為主線，可以串連代數、三角、解析幾何的大部分知識，方程可以看成函數值為零的特例；不等式可以看成兩個函數值的比較大��；三角可以看成一類特殊的函數（三角函數）；解析幾何可以看成隱函數，曲線可視為函數的圖形；導數可作為研究函數性質的主要工具。在化歸思想的指導下，使學生更深刻地理解化歸變換的策略：比如指數、對數的高級運算化為代數的低級運算；在方程中，三元、二元化為一元，分式方程化為整式方程；在立體幾何中將空間圖形化為平面圖形，復雜圖形化為簡單圖形；幾何問題化為代數問題。通過思想方法的專題復習，實現了知識、方法和數學思想的整合，提高學生分析問題、解決問題的綜合能力。綜上所述，在教學過程中重視數學思想方法的滲透和灌輸，可以深化學生對基礎知識的理解，進一步完善學生的認知結構，優化學生思維品質，提高學生復習問題，解決問題的能力，提高學生的數學數養。

　　同時培養學生良好的思維品質也很重要

　　1.引導學生“一題多解”，提高思維靈活性。在教學過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養學生思維過程的靈活性。

　　2.開放問題的條件或結論，培養發散思維。

　　對問題的條件進行發散是指問題的結構確定以后，盡可能變化已知條件，進而從不同角度和用不同知識來解決問題，有利于培養學生發散性思維的流暢性和變通性。例如在“直線和圓錐曲線”的教學過程中，本人就曾設置這樣一道題目：開放題目的條件和結論的訓練提供給學生自主探索的機會，使學生在經歷探索思考的過程中，充分理解數學問題的提出、數學知識的形成過程，從中切實地培養了學生多角度思考問題的意識和習慣。

　　3.加強知識之間的關系和聯系的教學，提高思維深刻性。

　　思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現象中發現本質，是否善于從事物之間的關系和聯系中揭示規律。教學時要講清“函數與方程”、“交點與公共解”、“不等式與區域”等之間的內在聯系，引導學生通過知識的串聯、橫向溝通牢牢抓住事物的本質，那么學生在碰到這種解不了的方程自然會運用數形結合的思想方法轉化為求函數圖象交點問題來求解。

　　4.精簡運算環節和推理過程，提高思維的敏捷性。

　　思維的敏捷性指學生在掌握數學概念、數學知識的基礎上提高思維活動的速度。它的指標有二個：一是速度，二是正確率。其實培養學生思維品質的做法還有：在數學教學中肯定學生的獨創性；鼓勵學生質疑，通過思維的批判性來檢查思維過程，培養獨立思考能力等等。

　　如何在數學教學中培養學生的思維能力，養成良好思維品質是教學改革的一個重要課題。相信只要我們用科學的方法對學生的思維加以啟迪和引導，使得數學課堂教學中展現的數學思維過程更加真實科學，學生的思維品質就能得到優化提升。

　　拓展：數學思想方法的突破

　　一、模糊數學產生的背景

　　模糊數學是在特定的歷史背景中產生的，它是數學適應現代科學技術需要的產物。

　　首先，現實世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數學工具。我們知道，現實世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實踐表明，在自然界、生產、科學技術以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現實世界事物和現象的狀態反映，在量上是沒有明晰界限的。

　　模糊數學產生之前的數學，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結果符合實際。因此，隨著社會實踐的深化和科學技術的發展，對“模糊”數學方法進行研究也就成為十分必要的了。

　　其次，電子計算機的發展為模糊數學的誕生準備了搖籃。自本世紀40年代電子計算機問世以來，電子計算機在生產、科學技術各領域的應用日益廣泛。電子計算機發展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統、航天系統以及各種復雜的社會系統。而人腦本身就是一種極其復雜的系統。人腦中的思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應付復雜多變的環境，一個重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。一般說來，邏輯思維活動可用明晰數學來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數學來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎的電子計算機，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理復雜問題的能力。這對電子計算機特別是人工智能的發展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序，讓電子計算機能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關系的數學理論。這就是模糊數學產生的直接背景。

　　模糊數學的創立者是美國加利福尼亞大學的札德教授。為了改進和提高電子計算機的功能，他認真研究了傳統數學的基礎-集合論。他認為，要想從根本上解決電子計算機發展與數學工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數學這一新的數學領域。

　　二、模糊數學的理論基礎

　　明晰數學的理論基礎是普通集合論，模糊數學的理論基礎則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數學的。

　　模糊集合論與普通集合論的根本區別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合，一個事物與它有著明確的隸屬關系，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數關系式表示，可寫成

　　這里的A(u)稱為集合A的特征函數。特征函數的邏輯基礎是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態的定量描述，但不能用于刻劃某些事物在中介過渡時所呈現出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個年齡為50歲的人，我們拿不出什么令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。

　　與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎是多值邏輯。對于這種集合，一個事物與它沒有“屬于”或“不屬于”這種絕對分明的隸屬關系，因而也就不能用特征函數A(u)來描述。那么，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質和特征呢?模糊集合論的創立者札德給出了隸屬函數的概念，用以代替普通集合論中的特征函數概念。隸屬函數的實質，是將特征函數由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區間上的任意值。通常把隸屬函數表示為μ(u)，它滿足

　　0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）

　　有了隸屬函數概念，就可給模糊集合下一個準確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：

　　隸屬函數的選取是一個較為復雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達形式。在許多情況下，它是憑借經驗或統計分析確定的。

　　例如，某小組有五名同學，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現在取為由“性格穩重”的同學組成的集合，顯然這是一個模糊集合。為確定每個同學隸屬于的程度，我們分別給每個同學的性格穩重程度打分，按百分制給分，再除以100.

　　這里實際上就是求隸屬函數，如果打分的結果是

　　u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分

　　那么隸屬函數的值應是

　　可表示為

　　還可表示為

　　或

　　普通集合與模糊集合有著內在的聯系，這可由特征函數A(u)和隸屬函數的關系來分析。事實上，當隸屬函數只取[0,1]閉區間的兩端點值0，1時，隸屬函數也就退化為特征函數A(u)，從而模糊子集也就轉化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區別，又相互聯結，而且在一定條件下相互轉化。正因為有此內在的聯系，決定了模糊數學可以廣泛地使用明晰數學的方法，從明晰數學到模糊數學存在著由此達彼的橋梁。

　　模糊數學作為一門新興的數學學科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現代科學技術迫切需要下應運而生的，因而對于它的研究，無論是基礎理論還是實際應用，都得到了迅速的發展。

　　就其基礎理論而言，模糊數學研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數、模糊關系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。

　　在應用方面，模糊數學的思想與方法正在廣泛滲透到科學和技術的各個領域，如物理學、化學、生物學、醫學、心理學、氣象學、地質學、經濟學、語言學、系統論、信息論、控制論和人工智能等。同時，在工農業生產的許多部門已取得明顯的社會效益。

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