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小升初數學必考知識點參考
上學的時候，是不是經常追著老師要知識點？知識點是指某個模塊知識的重點、核心內容、關鍵部分。為了幫助大家更高效的學習，下面是小編精心整理的小升初數學必考知識點參考，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
小升初數學必考知識點參考
1.最小的一位數是1，最小的自然數是0
2.小數的意義：把整數“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份分別是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數來表示。
3.小數點左邊依次是整數部分，小數點右邊是小數部分，依次是十分位、百分位、千分位……
4.小數的分類：小數 有限小數
無限循環小數
無限小數
無限不循環小數
5.整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數。
6.小數的性質：小數的末尾添上0或者去掉0，小數的大小不變。
7.小數點向右移動一位、二位、三位……原來的數分別擴大10倍、100倍、1000倍……
小數點向左移動一位、二位、三位……原來的數分別縮小10倍、100倍、1000倍……
小升初數學知識點
何謂“數、行、形、算”，也就是數論，行程，圖形、計算四個問題。數論難在它的抽象，這是區分尖子生和普通生的關鍵;行程問題復雜就在其應用，孩子在做這類題目的時候，要求的不僅是其思維，還有其表述;圖形問題(幾何問題)雜而難，重點要求的是面積的計算，這是中學教育的開始;計算是基礎，是孩子取得高分的必要保障。
由于這四個問題，學生容易入門，但不易熟練，時常犯錯誤，因此成為近年來重點中學考試的熱點，據了解，蘇州重點中學近年來的這幾大問題的考題占據全部了80%左右，對這些問題的考察也十分偏重，而數論和行程問題的考察更是重中之重，往往占到一張試卷的50%。那么如何復習這四方面的內容呢?
對于圖形問題，我們要說的就是培養孩子的形象思維，重點加強的是面積的計算。計算的技巧和方法也是在做題的總結和加強的，這里重點介紹一下數論和行程問題的復習方法。
數論在數論學習中學生往往容易犯如下幾個錯誤：
1、讀題障礙。數論的題目敘述往往只有幾句話，甚至只有一行，可就這短短的幾句話，卻表達了很多意思，學生如果讀不出題中的意思，題目通常會解錯。
2、知識僵化。由于數論問題非常抽象，大多數學生往往采用死記硬背的方法來“消化”所學的內容，導致各個知識點都似曾相識，但遇到實際題目卻一籌莫展。例如，說起奇偶性都知道怎么回事，馬上就開始背：“奇數+奇數=偶數……”可是在做題的時候就想不到用。
3、只見樹木，不見森林。對于數論定理的靈活運用很欠缺。提起定理都能一字不差的背下來，但是對各個概念和性質缺乏整體上的認識和把握，更不用說理解各知識點之間的內部聯系了。
知識體系：
整除問題：
(1)數的整除的特征和性質 (分班常考內容)
(2)位值原理的應用(用字母和數字混合表示多位數)
質數合數：
(1)質數、合數的概念和判斷
(2)分解質因數(重點)
約數倍數：
(1)最大公約最小公倍數
(2)約數個數決定法則 (常考內容)
余數問題：
(1)帶余除式的理解和運用;
(2)同余的性質和運用;
(3)中國剩余定理
奇偶問題：
(1)奇偶與四則運算;
(2)奇偶性質在實際解題過程中的應用
完全平方數：
(1)完全平方數的判斷和性質
(2)完全平方數的運用整數及分數的分解與分拆(重點、難點)
這四個問題我們需要掌握到什么樣的程度?
近幾年來，雖然一些重點中學對以上的幾個問題考察較多，但是難度通常不大，中等難度題目出現的頻率很高，通常在60%以上，因此我們的同學只要夯實基礎，對于這樣的一張分班試卷的完成應該是能取得很好的成績的。對此，編輯給出建議：如果我們的孩子不是要搞競賽，只是為了進入重點中學，中等題的掌握絕對是我們的重點，不能盲目追求難度，否則容易適得其反。
比和比例
1．比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。
比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。
2．求比值：比的前項除以比的后項所得的商叫做比值。
3．比的基本性質：比的前項和后項都乘或除以相同的數（0除外），比值不變。
比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。
4．應用比的基本性質可以化簡比；
應用比例的基本性質可以判斷兩個比是否能組成比例，也可以求比例里的未知項，也就是解比例。
5．用字母表示比與除法和分數的關系。
a:b=a÷b=(b≠0)
6．比例尺：我們把圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
7．圖上距離：實際距離=比例尺
或=比例尺
實際距離=圖上距離÷比例尺 圖上距離=實際距離×比例尺
8．求比值的方法：根據比值的意義，用前項除以后項，結果是一個數。
化簡比的方法：根據比的基本性質，把比的前項和后項都乘或除以相同的數（零除外），結果是一個最簡整數比。
9．正比例關系：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。
用式子表示：=k(一定)，用圖表示正比例關系是一條直線。
10．反比例關系：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。
用式子表示：x×y=k（一定），用圖表示反比例關系是一條曲線。
數學知識點
1．長度單位有：千米、米、分米、厘米、毫米，寫出它們之間的進率
面積單位有：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米，寫出它們之間的進率。
體積（容積）單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升），寫出它們之間的進率。
質量單位有：噸、千克、克，寫出它們之間的進率。
時間單位有：世紀、年、月、日、時、分、秒，寫出它們之間的進率。
2．一年中的大月有：1、3、5、7、8、10、12月，共7個，每月31天。
小月有：4、6、9、11月，共4個，每月30天。 二月平年是28天，閏年是29天。
3．一年有4個季度，每個季度3個月。
4．平年閏年：公歷年份是4的倍數的一般是閏年，公歷年份是整百數的，必須是400的倍數才是閏年。
5.名數：把計量得到的數和單位名稱合起來叫做名數。
單名數：只帶有一個單位名稱的叫做單名數。
復名數：帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復名數。
6．名數的改寫：高級單位的名數化成低級單位的名數乘進率，低級單位的名數化成高級單位的名數除以進率。
數的整除
1．整除：整數a除以整數b（b≠0），除得的商正好是整數而且沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。
2．約數、倍數：如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
3．一個數倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
一個數約數的個數是有限的，最小的約數是1，最大的約數是它本身。
4．按能否被2整除，非0的自然數分成偶數和奇數兩類，能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。
5．按一個數約數的個數，非0自然數可分為1、質數、合數三類。
質數：一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數。質數都有2個約數。
合數：一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數。合數至少有3個約數。
最小的質數是2，最小的合數是4
1~20以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19
1~20以內的合數有“4、6、8、9、10、12、14、15、16、18
6．能被2整除的數的特征：個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除。
能被5整除的數的特征：個位上是0或者5的數，都能被5整除。
能被3整除的數的特征：一個數的各位上 數的和能被3整除，這個數就能被3整除。
7．質因數：如果一個自然數的因數是質數，這個因數就叫做這個自然數的質因數。
8．分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。
9．公約數、公倍數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
10．一般關系的兩個數的最大公約數、最小公倍數用短除法來求；互質關系的兩個數最大公約數是1，最小公倍數是兩數之積；倍數關系的兩個數的最大公約數是小數，最小公倍數是大數。
11．互質數：公約數只有1的兩個數叫做互質數。
12．兩數之積等于最小公倍數和最大公約數的積。
小升初數學知識點參考
內容概述
涉及知識點多、解題過程比較復雜的整數綜合題，以及基本依靠數論手段求解的其他類型問題。
1.如果把任意n個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩種可能，那么n是多少?
【分析與解】 我們知道如果有5個連
續的自然數，因為其內必有2的倍數，也有5的倍數，則它們乘積的個位數字只能是0。
所以n小于5.
第一種情況:當n為4時，如果其內含有5的倍數(個位數字為O或5)，顯然其內含有2的倍數，那么它們乘積的個位數字為0;
如果不含有5的倍數，則這4個連續的個位數字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它們的積的個位數字都是4;
所以，當n為4時，任意4個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩科可能。
第二種情況：當n為3時，有123的個位數字為6，234的個位數字為4，345的個位數字為0，，不滿足。
第三種情況：當n為2時，有12，23，34，45的個位數字分別為2，6，4，0，顯然不滿足。
至于n取1顯然不滿足了。
所以滿足條件的n是4.
2.如果四個兩位質數a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d.那么
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【分析與解】兩位的質數有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，
67，71，73，79，83，89，97.
可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168.
所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168.
3.如果某整數同時具備如下3條性質：
①這個數與1的差是質數;
②這個數除以2所得的商也是質數;
③這個數除以9所得的余數是5.
那么我們稱這個整數為幸運數。求出所有的兩位幸運數。
【分析與解】 條件①也就是這個數與1的差是2或奇數，這個數只能是3或者偶數，再根據條件③，除以9余5，在兩位的偶數中只有14，32，50，68，86這5個數滿足條件。
其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14.
所以兩位幸運數只有14.
4.在555555的約數中，最大的三位數是多少?
【分析與解】555555=51111001
=357111337
顯然其最大的三位數約數為777.
5.從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重復，最后剪得正方形的邊長是多少毫米?
【分析與解】 從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數恰好是2002除以847所得的商。而余數恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=177.23177=3.
不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米。
6.已知存在三個小于20的自然數，它們的最大公約數是1，且兩兩均不互質。請寫出所有可能的答案。
【分析與解】 設這三個數為a、b、c，且a
小于20的合數有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.其中只含1種因數的合數不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數，但是14=27，其中質因數7只有14含有，無法找到兩個不與14互質的數。
小學數學必考知識點
1.和差倍問題
和差問題 和倍問題 差倍問題
已知條件 幾個數的和與差 幾個數的和與倍數 幾個數的差與倍數
公式適用范圍 已知兩個數的和，差，倍數關系
公式 ①(和-差)2=較小數
較小數+差=較大數
和-較小數=較大數
②(和+差)2=較大數
較大數-差=較小數
和-較大數=較小數
和(倍數+1)=小數
小數倍數=大數
和-小數=大數
差(倍數-1)=小數
小數倍數=大數
小數+差=大數
關鍵問題 求出同一條件下的
和與差 和與倍數 差與倍數
2.年齡問題的三個基本特征：
①兩個人的年齡差是不變的;
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的;
3.歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個單一量，題目一般用照這樣的速度等詞語來表示。
關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量;
4.植樹問題
基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹
基本公式 棵數=段數+1
棵距段數=總長 棵數=段數-1
棵距段數=總長 棵數=段數
棵距段數=總長
關鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系
5.雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;
基本思路：
①假設，即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：
②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因;
④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數=(兔腳數總頭數-總腳數)(兔腳數-雞腳數)
②把所有兔子假設成雞：兔數=(總腳數一雞腳數總頭數)(兔腳數一雞腳數)
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
6.盈虧問題
基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量.
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量.
基本題型：
①一次有余數，另一次不足;
基本公式：總份數=(余數+不足數)兩次每份數的差
②當兩次都有余數;
基本公式：總份數=(較大余數一較小余數)兩次每份數的差
③當兩次都不足;
基本公式：總份數=(較大不足數一較小不足數)兩次每份數的差
基本特點：對象總量和總的組數是不變的。
關鍵問題：確定對象總量和總的組數。
7.牛吃草問題
基本思路：假設每頭牛吃草的速度為1份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的;
關鍵問題：確定兩個不變的量。
基本公式：
生長量=(較長時間長時間牛頭數-較短時間短時間牛頭數)(長時間-短時間);
總草量=較長時間長時間牛頭數-較長時間生長量;
8.周期循環與數表規律
周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。
周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。
關鍵問題：確定循環周期。
閏 年：一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;
9.平均數
基本公式：①平均數=總數量總份數
總數量=平均數總份數
總份數=總數量平均數
②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和總份數
基本算法：
①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.
②基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數;一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數;以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差; 再求出所有差的和;再求出這些差的平均數;最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式②。
10.抽屜原理
抽屜原則一：如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中nm，那么必有一個抽屜至少有:
①k=[n/m ]+1個物體：當n不能被m整除時。
②k=n/m個物體：當n能被m整除時。
理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。
11.定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
12.數列求和
等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。
基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示;
項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示;
公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示;
通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示;
數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.
基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an = a1+(n-1)d;
通項=首項+(項數一1) 公差;
數列和公式：sn,= (a1+ an)n
數列和=(首項+末項)項數
項數公式：n= (an+ a1)
項數=(末項-首項)公差+1;
公差公式：d =(an-a1))(n-1);
公差=(末項-首項)(項數-1);
關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;
13.二進制及其應用
十進制：用0～9十個數字表示，逢10進1;不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7++A3102+A2101+A1100
注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然數)
二進制：用0～1兩個數字表示，逢2進1;不同數位上的數字表示不同的含義。
(2)= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
++A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十進制化成二進制：
①根據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0，然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。
②先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。
14.加法乘法原理和幾何計數
加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的分類方法。
基本特征：每一種方法都可完成任務。
乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1m2....... mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的完成步驟。
基本特征：每一步只能完成任務的一部分。
直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。
直線特點：沒有端點，沒有長度。
線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點：有兩個端點，有長度。
射線：把直線的一端無限延長。
射線特點：只有一個端點;沒有長度。
①數線段規律：總數=1+2+3++(點數一1);
②數角規律=1+2+3++(射線數一1);
③數長方形規律：個數=長的線段數寬的線段數：
④數長方形規律：個數=11+22+33++行數列數
15.質數與合數
質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。
合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。
質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。
分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。
分解質因數的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合數N的質因數，且a1 p
求約數個數的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)
互質數：如果兩個數的最大公約數是1，這兩個數叫做互質數。
16.約數與倍數
約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
最大公約數的性質：
1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。
2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。
3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。
4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。
例如：12的約數有1、2、3、4、6、12;
18的約數有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公約數有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公約數是：6，記作(12，18)=6;
求最大公約數基本方法：
1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。
2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。
3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。
公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
12的倍數有：12、24、36、48
18的倍數有：18、36、54、72
那么12和18的公倍數有：36、72、108
那么12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36;
最小公倍數的性質：
1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。
2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。
求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數;2、分解質因數的方法
17.數的整除
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號|，不能整除符號因為符號∵，所以的符號
二、整除判斷方法：
1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質：
1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。
18.余數及其應用
基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0
余數的性質：
①余數小于除數。
②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。
④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。
19.余數、同余與周期
一、同余的定義：
①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。
②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作ab(mod m)，讀作a同余于b模m。
二、同余的性質：
①自身性：aa(mod m);
②對稱性：若ab(mod m)，則ba(mod m);
③傳遞性：若ab(mod m)，bc(mod m)，則a c(mod m);
④和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，則a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m);
⑤相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，則ac bd(mod m);
⑥乘方性：若ab(mod m)，則anbn(mod m);
⑦同倍性:若a b(mod m)，整數c，則ac bc(mod m
三、關于乘方的預備知識：
①若A=ab，則MA=Mab=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=McMd
四、被3、9、11除后的余數特征：
①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則Mn(mod 9)或(mod 3);
②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則MY-X或M11-(X-Y)(mod 11);
五、費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-11(mod p)。
20.分數與百分數的應用
基本概念與性質：
分數：把單位1平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。
分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。
分數單位：把單位1平均分成幾份，表示這樣一份的數。
百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。
常用方法：
①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。
②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。
③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。
④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。
⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。
⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。
⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。
21.分數大小的比較
基本方法：
①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。
②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。
③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。
⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規律)
⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數(求出分數的值)后進行比較。
⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。
⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。
⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。
⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。
22.分數拆分
一、 將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：
① =+;
②=+(d為自然數);
23.完全平方數
完全平方數特征：
1. 末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 約數個數為奇數;反之成立。
5. 奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6. 奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。
7. 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫比的后項。
比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。
比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(零除外)，比值不變。
比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。
反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。
比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。
25.綜合行程
基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.
基本公式：路程=速度時間;路程時間=速度;路程速度=時間
關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題：速度和相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)
追及問題：追及時間=路程差速度差(寫出其他公式)
流水問題：順水行程=(船速+水速)順水時間
逆水行程=(船速-水速)逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順水速度+逆水速度)2
水 速=(順水速度-逆水速度)2
流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。
過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。
主要方法：畫線段圖法
基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量，求第三個量。
26.工程問題
基本公式：
①工作總量=工作效率工作時間
②工作效率=工作總量工作時間
③工作時間=工作總量工作效率
基本思路：
①假設工作總量為1(和總工作量無關);
②假設一個方便的數為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數)，利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。
經驗簡評：合久必分，分久必合。
27.邏輯推理
基本方法簡介：
①條件分析假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。
②條件分析列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。
③條件分析圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有連線則表示是，有等肯定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。
④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。
⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。
28.幾何面積
基本思路：
在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。
常用方法：
1. 連輔助線方法
2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。
3. 大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上)。
4. 利用特殊規律
①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)
②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。
③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。
29.立體圖形
名稱 圖形 特征 表面積 體積
長
方
體 8個頂點;6個面;相對的面相等;12條棱;相對的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh
正
方
體 8個頂點;6個面;所有面相等;12條棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3
圓
柱
體 上下兩底是平行且相等的圓;側面展開后是長方形; S=S側+2S底
S側=Ch V=Sh
圓
錐
體 下底是圓;只有一個頂點;l:母線，頂點到底圓周上任意一點的距離; S=S側+S底
S側=rl V=Sh
球
體 圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r3
30.時鐘問題快慢表問題
基本思路：
1、 按照行程問題中的思維方法解題;
2、 不同的表當成速度不同的運動物體;
3、 路程的單位是分格(表一周為60分格);
4、 時間是標準表所經過的時間;
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