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2016年孝感市中考數學試題及答案
為了幫助大家提高數學能力，百分網小編為大家準備了一份2016年孝感市中考的數學試題，文末附有答案，有需要的同學可以看一看，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!
一、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
1.下列各數中，最小的數是( )
A.5 B.﹣3 C.0 D.2
2.如圖，直線a，b被直線c所截，若a∥b，∠1=110°，則∠2等于( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
3.下列運算正確的是( )
A.a2+a2=a4B.a5﹣a3=a2C.a2•a2=2a2D.(a5)2=a10
4.如圖是由四個相同的小正方體組成的幾何體，則這個幾何體的主視圖是( )
A. B. C. D.
5.不等式組 的解集是( )
A.x>3 B.x<3 C.x<2 D.x>2
6.將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA=2，將三角板繞原點O順時針旋轉75°，則點A的對應點A′的坐標為( )
A.( ，﹣1) B.(1，﹣ ) C.( ，﹣ ) D.(﹣ ， )
7.在2016年體育中考中，某班一學習小組6名學生的體育成績如下表，則這組學生的體育成績的眾數，中位數，方差依次為( )
成績(分) 27 28 30
人數 2 3 1
A.28，28，1 B.28，27.5，1 C.3，2.5，5 D.3，2，5
8.“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現.科學證實：近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例.如果500度近視眼鏡片的焦距為0.2m，則表示y與x函數關系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
9.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF=2，則AB的長為( )
A.3 B.5 C.2或3 D.3或5
10.如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象，其頂點坐標為(1，n)，且與x軸的一個交點在點(3，0)和(4，0)之間.則下列結論：
①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根.
其中正確結論的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
11.若代數式 有意義，則x的取值范圍是 .
12.分解因式：2x2﹣8y2= .
13.若一個圓錐的底面圓半徑為3cm，其側面展開圖的圓心角為120°，則圓錐的母線長是 cm.
14.《九章算術》是東方數學思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何.”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少步.”該問題的答案是 步.
15.如圖，已知雙曲線y= 與直線y=﹣x+6相交于A，B兩點，過點A作x軸的垂線與過點B作y軸的垂線相交于點C，若△ABC的面積為8，則k的值為 .
16.如圖示我國漢代數學家趙爽在注解《周脾算經》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為 .
三、解答題(共8小題，滿分72分)
17.計算： +|﹣4|+2sin30°﹣32.
18.如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，AD=AE.求證：BE=CD.
19.為弘揚中華優秀傳統文化，我市教育局在全市中小學積極推廣“太極拳”運動.弘孝中學為爭創“太極拳”示范學校，今年3月份舉行了“太極拳”比賽，比賽成績評定為A，B，C，D，E五個等級，該校七(1)班全體學生參加了學校的比賽，并將比賽結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請根據圖中信息，解答下列問題：
(1)該校七(1)班共有 名學生;扇形統計圖中C等級所對應扇形的圓心角等于 度;并補全條形統計圖;
(2)A等級的4名學生中有2名男生，2名女生，現從中任意選取2名學生作為全班訓練的示范者，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到1名男生和1名女生的概率.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：
①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點D;
②過點D作AC的垂線，垂足為點E.
(2)在(1)作出的圖形中，若CB=4，CA=6，則DE= .
21.已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個實數根x1，x2.
(1)求m的取值范圍;
(2)當x12+x22=6x1x2時，求m的值.
22.孝感市在創建國家級園林城市中，綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A，B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級，經市場調查：購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元;購買A種樹木3棵，B種樹木1棵，共需380元.
(1)求A種，B種樹木每棵各多少元?
(2)因布局需要，購買A種樹木的數量不少于B種樹木數量的3倍.學校與中標公司簽訂的合同中規定：在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素)，實際付款總金額按市場價九折優惠，請設計一種購買樹木的方案，使實際所花費用最省，并求出最省的費用.
23.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，經過點A的⊙O與BC相切于點D，與AC，AB分別相交于點E，F，連接AD與EF相交于點G.
(1)求證：AD平分∠CAB;
(2)若OH⊥AD于點H，FH平分∠AFE，DG=1.
①試判斷DF與DH的數量關系，并說明理由;
②求⊙O的半徑.
24.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點M的坐標為(﹣1，﹣4)，且與x軸交于點A，點B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C.
(1)填空：b= ，c= ，直線AC的解析式為 ;
(2)直線x=t與x軸相交于點H.
①當t=﹣3時得到直線AN(如圖1)，點D為直線AC下方拋物線上一點，若∠COD=∠MAN，求出此時點D的坐標;
②當﹣3
參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
1.下列各數中，最小的數是( )
A.5 B.﹣3 C.0 D.2
【考點】有理數大小比較.
【分析】根據有理數大小比較的法則解答即可.
【解答】解：﹣3<0<2<5，
則最小的數是﹣3，
故選：B.
【點評】本題考查的是有理數的大小比較，有理數大小比較的法則：①正數都大于0; ②負數都小于0; ③正數大于一切負數; ④兩個負數，絕對值大的其值反而小.
2.如圖，直線a，b被直線c所截，若a∥b，∠1=110°，則∠2等于( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
【考點】平行線的性質.
【分析】根據平行線的性質求出∠3的度數，根據對頂角相等得到答案.
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠1=70°，
∴∠2=∠3=70°，
故選：A.
【點評】本題考查的是平行線的性質和對頂角的性質，掌握兩直線平行，同位角相等、兩直線平行，內錯角相等、兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵.
3.下列運算正確的是( )
A.a2+a2=a4B.a5﹣a3=a2C.a2•a2=2a2D.(a5)2=a10
【考點】冪的乘方與積的乘方;合并同類項;同底數冪的乘法.
【分析】分別利用合并同類項法則以及同底數冪的乘法運算法則和冪的乘方運算法則分別化簡判斷即可.
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此選項錯誤;
B、a5﹣a3，無法計算，故此選項錯誤;
C、a2•a2=a4，故此選項錯誤;
D、(a5)2=a10，正確.
故選：D.
【點評】此題主要考查了合并同類項以及同底數冪的乘法運算和冪的乘方運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.
4.如圖是由四個相同的小正方體組成的幾何體，則這個幾何體的主視圖是( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】主視圖就是從主視方向看到的正面的圖形，也可以理解為該物體的正投影，據此求解即可.
【解答】解：觀察該幾何體發現：從正面看到的應該是三個正方形，上面1個，下面2個，
故選C.
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是了解主視圖的定義，屬于基礎題，難度不大.
5.不等式組 的解集是( )
A.x>3 B.x<3 C.x<2 D.x>2
【考點】解一元一次不等式組.
【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.
【解答】解： ，
解①得：x>2，
解②得：x>3，
則不等式的解集是：x>3.
故選：A.
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.
6.將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA=2，將三角板繞原點O順時針旋轉75°，則點A的對應點A′的坐標為( )
A.( ，﹣1) B.(1，﹣ ) C.( ，﹣ ) D.(﹣ ， )
【考點】坐標與圖形變化-旋轉.
【分析】先根據題意畫出點A′的位置，然后過點A′作A′C⊥OB，接下來依據旋轉的定義和性質可得到OA′的長和∠COA′的度數，最后依據特殊銳角三角函數值求解即可.
【解答】解：如圖所示：過點A′作A′C⊥OB.
∵將三角板繞原點O順時針旋轉75°，
∴∠AOA′=75°，OA′=OA.
∴∠COA′=45°.
∴OC=2× = ，CA′=2× = .
∴A′的坐標為( ，﹣ ).
故選：C.
【點評】本題主要考查的是旋轉的定義和性質、特殊銳角三角函數值的應用，得到∠COA′=45°是解題的關鍵.
7.在2016年體育中考中，某班一學習小組6名學生的體育成績如下表，則這組學生的體育成績的眾數，中位數，方差依次為( )
成績(分) 27 28 30
人數 2 3 1
A.28，28，1 B.28，27.5，1 C.3，2.5，5 D.3，2，5
【考點】方差;中位數;眾數.
【分析】根據眾數、中位數的定義和方差公式分別進行解答即可.
【解答】解：這組數據28出現的次數最多，出現了3次，則這組數據的眾數是28;
把這組數據從小到大排列，最中間兩個數的平均數是(28+28)÷2=28，則中位數是28;
這組數據的平均數是：(27×2+28×3+30)÷6=28，
則方差是： ×[2×(27﹣28)2+3×(28﹣28)2+(30﹣28)2]=1;
故選A.
【點評】本題考查了眾數、中位數和方差，眾數是一組數據中出現次數最多的數;中位數是將一組數據從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個數(或最中間兩個數的平均數);一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為 ，則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2].
8.“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現.科學證實：近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例.如果500度近視眼鏡片的焦距為0.2m，則表示y與x函數關系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】函數的圖象.
【分析】由于近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(米)成反比例，可設y= ，由于點(0.2，500)在此函數解析式上，故可先求得k的值.
【解答】解：根據題意近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(米)成反比例，設y= ，
由于點(0.2，500)在此函數解析式上，
∴k=0.2×500=100，
∴y= .
故選：B.
【點評】考查了根據實際問題列反比例函數關系式的知識，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式.
9.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF=2，則AB的長為( )
A.3 B.5 C.2或3 D.3或5
【考點】平行四邊形的性質.
【分析】根據平行線的性質得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代換得到∠DFC=∠FDC，根據等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到AB=CD，AD=BC，即可得到結論.
【解答】解：①如圖1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，
∴AB=5;
②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，
∴AB=3;
綜上所述：AB的長為3或5.
故選D.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是判斷出BA=BE=CF=CD.
10.如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象，其頂點坐標為(1，n)，且與x軸的一個交點在點(3，0)和(4，0)之間.則下列結論：
①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根.
其中正確結論的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】二次函數圖象與系數的關系.
【專題】數形結合.
【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點(﹣2，0)和(﹣1，0)之間，則當x=﹣1時，y>0，于是可對①進行判斷;利用拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，即b=﹣2a，則可對②進行判斷;利用拋物線的頂點的縱坐標為n得到 =n，則可對③進行判斷;由于拋物線與直線y=n有一個公共點，則拋物線與直線y=n﹣1有2個公共點，于是可對④進行判斷.
【解答】解：∵拋物線與x軸的一個交點在點(3，0)和(4，0)之間，而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點(﹣2，0)和(﹣1，0)之間.
∴當x=﹣1時，y>0，
即a﹣b+c>0，所以①正確;
∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②錯誤;
∵拋物線的頂點坐標為(1，n)，
∴ =n，
∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n)，所以③正確;
∵拋物線與直線y=n有一個公共點，
∴拋物線與直線y=n﹣1有2個公共點，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根，所以④正確.
故選C.
【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右;常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于(0，c)：拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
11.若代數式 有意義，則x的取值范圍是 x≧2 .
【考點】二次根式有意義的條件.
【專題】計算題.
【分析】根據式子 有意義的條件為a≥0得到x﹣2≥0，然后解不等式即可.
【解答】解：∵代數式 有意義，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2.
故答案為x≥2.
【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：式子 有意義的條件為a≥0.
12.分解因式：2x2﹣8y2= 2(x+2y)(x﹣2y) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】觀察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后發現x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式繼續分解可得.
【解答】解：2x2﹣8y2=2(x2﹣4y2)=2(x+2y)(x﹣2y).
故答案為：2(x+2y)(x﹣2y).
【點評】考查了對一個多項式因式分解的能力.一般地，因式分解有兩種方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考慮公式法(平方差公式).要求靈活運用各種方法進行因式分解.
13.若一個圓錐的底面圓半徑為3cm，其側面展開圖的圓心角為120°，則圓錐的母線長是 9 cm.
【考點】圓錐的計算.
【分析】利用圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開圖的弧長即可求解.
【解答】解：設母線長為l，則 =2π×3
解得：l=9.
故答案為：9.
【點評】考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.
14.《九章算術》是東方數學思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何.”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少步.”該問題的答案是 6 步.
【考點】三角形的內切圓與內心.
【分析】根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據直角三角形的內切圓的半徑的求法確定出內切圓半徑，得到直徑.
【解答】解：根據勾股定理得：斜邊為 =17，
則該直角三角形能容納的圓形(內切圓)半徑r= =3(步)，即直徑為6步，
故答案為：6.
【點評】此題考查了三角形的內切圓與內心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為為a、b，斜邊為c，其內切圓半徑r= 是解題的關鍵.
15.如圖，已知雙曲線y= 與直線y=﹣x+6相交于A，B兩點，過點A作x軸的垂線與過點B作y軸的垂線相交于點C，若△ABC的面積為8，則k的值為 5 .
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】根據雙曲線和直線的解析式，求出點A、B的坐標，繼而求出AC、BC的長度，然后根據△ABC的面積為8，代入求解k值.
【解答】解： ，
解得： ， ，
即點A的坐標為(3﹣ ，3+ )，
點B的坐標為(3+ ，3﹣ )，
則AC=2 ，BC=2 ，
∵S△ABC=8，
∴ AC•BC=8，
即2(9﹣k)=8，
解得：k=5.
故答案為：5.
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解答本題的關鍵是把兩個函數關系式聯立成方程組求出交點，然后根據三角形的面積公式求解.
16.如圖示我國漢代數學家趙爽在注解《周脾算經》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為 .
【考點】勾股定理;全等三角形的判定;銳角三角函數的定義.
【分析】小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，則小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是 a，設AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用熟記函數即可解答.
【解答】解：設小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，
∴小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是 a，
∵圖中的四個直角三角形是全等的，
∴AE=DH，
設AE=DH=x，
在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，
即13a2=x2+(x+a)2
解得：x1=2a，x2=﹣3a(舍去)，
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE= ，
故答案為： .
【點評】此題中根據正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數的定義求解.
三、解答題(共8小題，滿分72分)
17.計算： +|﹣4|+2sin30°﹣32.
【考點】實數的運算;特殊角的三角函數值.
【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及結合絕對值、二次根式的性質分別化簡求出答案.
【解答】解： +|﹣4|+2sin30°﹣32
=3+4+1﹣9
=﹣1.
【點評】此題主要考查了實數運算，根據相關運算法則正確化簡是解題關鍵.
18.如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，AD=AE.求證：BE=CD.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】要證明BE=CD，只要證明AB=AC即可，由條件可以求得△AEC和△ADB全等，從而可以證得結論.
【解答】證明;∵BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(ASA)
∴AB=AC，
又∵AD=AE，
∴BE=CD.
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.
19.為弘揚中華優秀傳統文化，我市教育局在全市中小學積極推廣“太極拳”運動.弘孝中學為爭創“太極拳”示范學校，今年3月份舉行了“太極拳”比賽，比賽成績評定為A，B，C，D，E五個等級，該校七(1)班全體學生參加了學校的比賽，并將比賽結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請根據圖中信息，解答下列問題：
(1)該校七(1)班共有 50 名學生;扇形統計圖中C等級所對應扇形的圓心角等于 144 度;并補全條形統計圖;
(2)A等級的4名學生中有2名男生，2名女生，現從中任意選取2名學生作為全班訓練的示范者，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到1名男生和1名女生的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統計圖;條形統計圖.
【分析】(1)由A的人數和其所占的百分比即可求出總人數;C的人數可知，而總人數已求出，進而可求出其所對應扇形的圓心角的度數;根據求出的數據即可補全條形統計圖;
(2)列表得出所有等可能的情況數，找出剛好抽到一男一女的情況數，即可求出所求的概率.
【解答】解：
(1)由題意可知總人數=4÷8%=50人;扇形統計圖中C等級所對應扇形的圓心角=20÷50×100%×360°=144°;
補全條形統計圖如圖所示：
故答案為：50，144;
(2)列表如下：
男 男 女 女
男 ﹣﹣﹣ (男，男) (女，男) (女，男)
男 (男，男) ﹣﹣﹣ (女，男) (女，男)
女 (男，女) (男，女) ﹣﹣﹣ (女，女)
女 (男，女) (男，女) (女，女) ﹣﹣﹣
得到所有等可能的情況有12種，其中恰好抽中一男一女的情況有8種，
所以恰好選到1名男生和1名女生的概率= .
【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：
①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點D;
②過點D作AC的垂線，垂足為點E.
(2)在(1)作出的圖形中，若CB=4，CA=6，則DE= .
【考點】作圖—基本作圖.
【分析】(1)以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交BC，AC兩點，再以這兩點為圓心，大于這兩點的線段的一半為半徑畫弧，過這兩弧的交點與C在直線交AB于D即可，根據過直線外一點作已知直線的垂線的方法可作出垂線即可;
(2)根據平行線的性質和角平分線的性質推出∠ECD=∠EDC，進而證得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質即可推得結論.
【解答】解：(1)如圖所示;
(2)解：∵DC是∠ACB的平分線，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
設DE=CE=x，則AE=6﹣x，
∴ = ，
解得：x= ，
即DE= ，
故答案為： .
【點評】本題考查了角的平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，基本作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.
21.已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個實數根x1，x2.
(1)求m的取值范圍;
(2)當x12+x22=6x1x2時，求m的值.
【考點】根與系數的關系;根的判別式.
【分析】(1)根據一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個實數根，可得△≥0，據此求出m的取值范圍;
(2)根據根與系數的關系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可.
【解答】解：(1)∵原方程有兩個實數根，
∴△=(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2;
(2)∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=6x1•x2，
即4=8(m﹣1)，
解得：m= .
∵m= <2，
∴符合條件的m的值為 .
【點評】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解答本題的關鍵是掌握兩根之和與兩根之積的表達方式.
22.孝感市在創建國家級園林城市中，綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A，B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級，經市場調查：購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元;購買A種樹木3棵，B種樹木1棵，共需380元.
(1)求A種，B種樹木每棵各多少元?
(2)因布局需要，購買A種樹木的數量不少于B種樹木數量的3倍.學校與中標公司簽訂的合同中規定：在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素)，實際付款總金額按市場價九折優惠，請設計一種購買樹木的方案，使實際所花費用最省，并求出最省的費用.
【考點】一次函數的應用;二元一次方程組的應用.
【分析】(1)設A種樹每棵x元，B種樹每棵y元，根據“購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元;購買A種樹木3棵，B種樹木1棵，共需380元”列出方程組并解答;
(2)設購買A種樹木為a棵，則購買B種樹木為(100﹣a)棵，根據“購買A種樹木的數量不少于B種樹木數量的3倍”列出不等式并求得a的取值范圍，結合實際付款總金額=0.9(A種樹的金額+B種樹的金額)進行解答.
【解答】解：(1)設A種樹每棵x元，B種樹每棵y元，
依題意得： ，
解得 .
答：A種樹每棵100元，B種樹每棵80元;
(2)設購買A種樹木為a棵，則購買B種樹木為(100﹣a)棵，
則a>3(100﹣a)，
解得a≥75.
設實際付款總金額是y元，則
y=0.9[100a+80(100﹣a)]，即y=18a+7200.
∵18>0，y隨a的增大而增大，
∴當a=75時，y最小.
即當a=75時，y最小值=18×75+7200=8550(元).
答：當購買A種樹木75棵，B種樹木25棵時，所需費用最少，最少為8550元.
【點評】本題考查了一次函數的應用和二元一次方程組的應用.解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系.
23.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，經過點A的⊙O與BC相切于點D，與AC，AB分別相交于點E，F，連接AD與EF相交于點G.
(1)求證：AD平分∠CAB;
(2)若OH⊥AD于點H，FH平分∠AFE，DG=1.
①試判斷DF與DH的數量關系，并說明理由;
②求⊙O的半徑.
【考點】切線的性質;角平分線的性質;垂徑定理.
【分析】(1)連接OD.先證明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根據OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，進而得到∠CAD=∠BAD，即可解答.
(2)①DF=DH，利用FH平分∠AFE，得到∠AFH=∠EFH，再證明∠DFH=∠DHF，即可得到DF=DH.
②設HG=x，則DH=DF=1+x，證明△DFG∽△DAF，得到 ，即 ，求出x=1，再根據勾股定理求出AF，即可解答.
【解答】解：(1)如圖，連接OD，
∵⊙O與BC相切于點D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB.
(2)①DF=DH，理由如下：
∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
又∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH.
②設HG=x，則DH=DF=1+x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2(1+x)，
∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，
∴△DFG∽△DAF，
∴ ，
∴ ，
∴x=1，
∵DF=2，AD=4，
∵AF為直徑，
∴∠ADF=90°，
∴AF=
∴⊙O的半徑為 .
【點評】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，本題涉及的知識點：兩直線平行，等腰三角形的判定、三角形相似.
24.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點M的坐標為(﹣1，﹣4)，且與x軸交于點A，點B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C.
(1)填空：b= 2 ，c= ﹣3 ，直線AC的解析式為 y=﹣x﹣3 ;
(2)直線x=t與x軸相交于點H.
①當t=﹣3時得到直線AN(如圖1)，點D為直線AC下方拋物線上一點，若∠COD=∠MAN，求出此時點D的坐標;
②當﹣3
【考點】二次函數綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)根據頂點坐標列出關于b、c的方程組求解可得，由拋物線解析式求得A、C坐標，利用待定系數法可得直線AC解析式;
(2)①設點D的坐標為(m，m2+2m﹣3)，由∠COD=∠MAN得tan∠COD=tan∠MAN，列出關于m的方程求解可得;②求出直線AM的解析式，進而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的長度，根據等腰三角形定義即可判定;由等腰三角形底角的余弦值為 可得 = ，列方程可求得t的值.
【解答】解：(1)∵拋物線y=x2+bx+c的頂點M的坐標為(﹣1，﹣4)，
∴ ，解得： ，
∴拋物線解析式為：y=x2+2x﹣3，
令y=0，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)，
令x=0，得y=﹣3，
∴C(0，﹣3)，
設直線AC的解析式為：y=kx+b，
將A(﹣3，0)，C(0，﹣3)代入，
得： ，解得： ，
∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3;
故答案為：2，﹣3，y=﹣x﹣3.
(2)①設點D的坐標為(m，m2+2m﹣3)，
∵∠COD=∠MAN，
∴tan∠COD=tan∠MAN，
∴ = ，
解得：m=± ，
∵﹣3
∴m=﹣ ，
故點D的坐標為(﹣ ，﹣2 );
②設直線AM的解析式為y=mx+n，
將點A(﹣3，0)、M(﹣1，﹣4)代入，
得： ，解得： ，
∴直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，
∵當x=t時，HE=﹣(﹣t﹣3)=t+3，HF=﹣(﹣2t﹣6)=2t+6，HP=﹣(t2+2t﹣3)，
∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=﹣t2﹣4t﹣3，
∵HE+EF﹣FP=2(t+3)+t2+4t+3=(t+3)2>0，
∴HE+EF>FP，
又HE+FP>EF，EF+FP>HE，
∴當﹣3
由題意得： = ，即 = ，
整理得：5t2+26t+33=0，
解得：t1=﹣3，t2=﹣ ，
∵﹣3
∴t=﹣ .
【點評】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式函數圖象交點的求法等知識點、等腰三角形的判定等知識點，主要考查學生數形結合的數學思想方法.綜合性強.
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