淺談數學的教學設計

　　一、我國社會發展對數學課程的要求

　　促進數學課程發展的眾多動力中，沒有比社會發展這一動力更大的了，社會發展的需要主要包括：社會生產力發展的需要，經濟和科學技術發展的需要和政治方面的要求。

　　我國社會發展對數學課程提出了以下要求。

　　（一）目的性

　　教育必須為社會主義經濟建服務。這就要求數學課程要有明確的目的性，即要為社會主義經濟建設培養各級人才奠定基礎，為提高廣大勞動者的素質做出貢獻。當今社會正由工業社會向信息社會過渡，在信息社會里多數人將從事信息管理和生產工作；社會財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術進步周期和人的職業壽命都在日益縮短，要適應日新月異的社會，必須把勞動者的素質、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學習的能力。

　　（二）實用性

　　數學課程的內容應具有應用的廣泛性，可以運用于解決社會生產、社會生活以及其他學科中的大量實際問題；運用于訓練人的思維。應該精選現代社會生和生活中廣泛應用的數學知識作為數學課程的內容。另外，還要考慮其他學科對數學的要求。數學課程還應滿足現代科學技術發展的需要，加進其中廣泛應用的數學知識，如計算機初步知識、統計初步知識離散概率空間、二項分布等概率初步知識。

　　數學不僅是解決實際問題的工具，而且也廣泛用來訓練人的思維，培養有數學素養的社會成員，要使學生懂得數學的價值，對自己的數學能力有信心，有解決數學問題的能力，學會數學交流，學會數學思想方法。

　　（三）思想性和教育性

　　我們培養的人應該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛社會主義祖國和社會主義事業，具有國家興旺發達而艱苦奮斗的精神；應當不斷追求新知、實事求是、獨立思考、勇于創新，具有辯證唯物主義觀點。這就要求數學課程適當介紹中國數學史，以激發學生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點來闡述課程內容，有意識地體現數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點。體現運動、變化、相互聯系的觀點。

　　《實驗教材》用“精簡實用”的選材標準來滿足這些要求。

　　二、數學的發展對數學課程的要求

　　（一）中學數學課程應當是代數、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體

　　數學研究對象是現實世界的數量關系和空間形式。基礎數學的對象是數、空間、函數，相應的是代數、幾何、分析等學科，它們是各成體系但又密切聯系的。現代數學中出現了許多綜合性數學分支，都是在它們的基礎上產生并發展起來的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數、幾何、分析在相鄰學科和解決各種實際問題中都有廣泛應用，所以中學數學課程應當是它們恰當配合的整體。曾經出現過的把中學課程代數結構化（如“新數”）的設計方案。“以函數為綱”使中學數學課程分析化的設計方案都不成功，正是沒有滿足這一要求。

　　（二）適當增加應用數學的內容

　　應用數學近年來蓬勃發展，出現了許多新的分支和領域，應用范圍也在日益擴大，這種形勢也要求在中學數學課程中有所反映。從“新數運動”開始，各國數學課程內容中陸續增加了概率統計和計算機的初步知識。這一方面說明概率統計和計算機知識在社會生產和社會生活中的廣泛應用，另一方面也說明數學的發展擴大了它的基礎，對中學數學課程提出了新的要求。

　　由于計算機科學研究的需要，“離散數學”越來越顯得重要。因此，中學數學課程中應當增加離散數學的比重。

　　（三）系統性

　　基礎數學，包括代數、幾何、分析到19世紀末都相繼奠定了嚴格的邏輯基礎。到本世紀30年代法國布爾巴基學派用公理化方法，使整個數學結構化。任何一個數學系統都可以歸結為代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構的復合。經過用公理化方法的整理，使數學成為一個邏輯嚴密、系統的整體結構。因此，作為符合數學知識結構要求的中學數學課程就必須具有一定的系統性和邏輯嚴密性。

　　（四）突出數學思想和數學方法

　　現代數學進行著不同領域的思想、方法的相互滲透。許多曾經認為沒有任何共同之處的數學分支，現在已建立在共同的統一的思想基礎上了。

　　數學思想和方法把數學科學聯結成一個統一的有結構的整體。所以，我們應該體現突出數學思想和數學方法。

　　《實驗教材》以“反璞歸真”的指導思想來滿足數學學科發展的要求。

　　三、教育、心理學發展對數學課程的要求

　　教育、心理學的發展，對教學規律和學生的心理規律有了更深入的認識。數學課程的設計要符合學生認知發展的規律。認知發展，要經歷多種水平，多種階段。認知的發展呈現一定的規律。基于這些規律，要求數學課程具有：

　　（一）可接受性

　　教學內容、方法都要適合學生的認知發展水平。獲得新的數學知識的過程，主要依賴于數學認知結構中原有的適當概念，通過新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數學認知結構的過程，它包括輸入、同化、操作三個階段。因此，作為數學課程內容要同學生已有的數學基礎有密切聯系。其抽象性與概括性不能過低或過高，要處于同級發展水平。這樣才能使數學課程內容被學生理解，被他們接受，才能產生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數學認知結構。

　　（二）直觀性

　　皮亞杰的認知發展階段的理論認為，中學生的認知發展水平已由具體運算進入了抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經達到了抽象運算的水平，在每個新數學概念的學習過程中仍然要經歷從具體到抽象的轉化，他們在學習新的數學概念時仍采用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，數學課程應向學生提供豐富的直觀背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向學生提示抽象概念的來龍去脈和其本質。也就是要“反璞歸真”。

　　（三）啟發性

　　蘇聯心理學家維果斯基認為兒童心理機能“最近發展區”的水平。表現為發展程序尚未成熟，正處于形成狀態。兒童還不能獨立地解決一定的靠智力解決的任務，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務。數學課程的啟發性就在于激發、誘導那些正待成熟的心理機能的發展，不斷地使“最近發展區”的矛盾得到轉化，而進入更高一級的數學認知水平。

　　要使數學課程真正具有啟發性，需要克服兩種偏向：第一，內容過于簡單，缺乏思考余地。沒有挑戰性，不能激發學生思維，甚至不能滿足學生學習愿望。第二，內容過于復雜、抽象。超過了學生數學認知結構中“最近發展區”的水平，學生將會由于不能理解它，產生畏懼心理，最后厭惡學習數學。

　　布魯納曾指出，向成長中的兒童提出難題，激勵他們向下一階段發展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導下，他的數學課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內容啟發性的體現。

　　《實驗教材》用“順理成章、深入淺出”的指導思想來體現以上諸要求。

　　四、三方面需求的和諧統一

　　上面分別考查了三個方面對數學課程提出的要求，這些要求有時互為前題，互相補充，而有時卻是彼此矛盾的。這導致了數學課程設計的復雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統一呢？從《實驗教材》11年的實驗中形成了16字指導數學課程設計的思想，比較恰當的統一了以上三方面的需求。這16字的指導思想是“精簡實用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。

　　“精簡實用”是個基本的指導思想，它恰當地表現了理論和實際的正確關系。由實際到理論，就是由繁精簡，把實際中多樣的事物、現象，經過分析、綜合，歸納出簡單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡的理論才能用來“以簡馭繁”。所以“精簡實用”在科學上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡明扼要的理論。要做到精簡，必須抓住重點。教材中普遍實用的最基礎部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點。中學數學課程內容應是代數、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體，這樣做既可滿足社會的需要、數學知識結構的要求，又可滿足可接受性的要求。其中普遍實用的最基礎部分是代數中的數系，最普遍有用的是數系的運算律（“數系通性”）；解代數方程；多項式運算；待定系數法。幾何中的重要內容是教導學生研習演繹法，要點在于讓學生逐步體會空間基本性質的本質與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結構全面代數化的理論基礎。用向量把幾何學全面代數化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點。分析的重要內容除函數、極限、連續等分析學的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。

　　“反璞歸真”就是著重于教學生以基礎數學的本質，而不拘泥于抽象的形式。初等代數最基本的思想、最重要的本質就是那些非常簡單的數的運算律，它們是整個代數學的根本所在。把它形式化，也就是多項式的運算和理論。傳統的代數教學從多項式的形式理論開始，學生不解其義，感到枯燥。《實驗教材》反璞歸真，先講代數的基本原理就是靈活運用運算律，首先用以解決一次方程的實際問題，學生自然地覺得應該有一個多項式理論，然后再講多項式，這樣學生易于理解多項式的來源與本質。“這就是反璞歸真”的一個實例。

　　基本的數學思想與數學方法是基礎數學的本質，突出其教學是把知識教學與能力訓練統一起來的重要一環。把知識看作一個過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡，學生的數學才能才發展起來，要學生“會學”數學，就必須讓學生掌握基本的數學思想和方法，會“數學地”提出問題，思考問題、解決問題。

　　《實驗教材》一開始就突出了用符號（字母）表示數的基本思想和方法。

　　集合的思考方法，在幾何和代數中都十分重視。經常訓練學生從考慮具體的數學對象到考慮對象的集合，進而考慮分類等問題。

　　函數的思考方法，考慮對應，考慮運動的變化、相依關系，由研究狀態過渡到研究過程。分解和組合的方法。對數學問題的分析與綜合、轉化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類比、遞推、歸納等基本的數學思想與方法都分別得到強調。

　　“順理成間”就是要從歷史發展程序和認識規律出發，“順理成間”地設計數學課程。數學是一種演繹體系，有時甚至本末倒置。這正是數學本身的要求和學生心理發展的要求相矛盾的所在。正確處理這個矛盾，使這兩方面的要求和諧統一，課程設計就既不能違背邏輯次序。更要符合認識程序。因此，要參照數學發展歷史，用數學概念的逐步進化演變過程作為明鏡，用基礎數學的層次與脈絡作為依據來設計數學課程。

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