閉區(qū)間最大值最小值定理證明
閉區(qū)間的最大值最小值的問題相信一直是同學們比較困擾的一個知識點，不用擔心，小編就讓為你詳細介紹及通過案例的介紹，一定能夠充分認識并熟練運用的。
閉區(qū)間介紹
直線上介于固定的兩點間的所有點的 集合(包含給定的兩點)。 閉區(qū)間是直線上的 連通的` 閉集。由于它是 有界閉集，所以它是 緊致的。
閉區(qū)間的函數(shù)為 小于等于的關系 即 —∞≤a≤+∞ 在數(shù)軸上為實心點。
閉區(qū)間的 余集(就是 補集)是兩個 開區(qū)間的 并集。
實數(shù)理論中有著名的 閉區(qū)間套定理。
代表符號：
[x,y] --> 從x值開始到y(tǒng)值，包含x、y
比如：x的取值范圍是 3到5的閉區(qū)間 那么用數(shù)學語言表示即為 [3,5] 也就是從3(含)到5(含)之間的數(shù)。
最大值最小值定理證明
對于在區(qū)間上有定義的函數(shù)，如果有，使得對于任一都有則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值.
例如:
定理1(最大值和最小值定理)：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.
定理表明：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使是閉區(qū)間上的最小值;又至少存在一點，使在閉區(qū)間上的最大值
注：當定理中的“閉區(qū)間上連續(xù)”的條件不滿足是，定理的結論可能不成立.
如，若是開區(qū)間內的連續(xù)函數(shù)，結論可能不成立.
又如，函數(shù) 在開區(qū)間內沒有最大值，因為它在閉區(qū)間上不連續(xù).
若在上有間斷點，結論不一定成立.
函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，但函數(shù)在閉區(qū)間上既無最大值又無最小值.
案例過程講解
證明：設函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，記M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
則必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m.
也就是說，有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到它在這個區(qū)間上的最大值和最小值.
現(xiàn)證明如下
因為函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，
所以函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上有界，
即數(shù)集{f(x)：x∈[a，b]}有界，
利用確界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上確界和下確界，m和M都是有限數(shù).
顯然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])， 考察上確界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
根據(jù)上確界的定義，
對任意n∈N*，
必定存在xn∈[a，b]，使得
M−1n
由于a≤xn≤b，{xn}有界，
根據(jù)列緊性定理，存在一個子列{xnk}和一點x*∈[a，b]，使得{xnk}，
由于f在x*處連續(xù)，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限)
在不等式M−1nk<(xnk)≤M的兩端讓k→∞，得出M≤f(x*)≤M
故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M.
同理可證存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m.
什么是極值定理
已知x、y都是正數(shù),x+y=S,xy=P。 (1)如果S是定值,那么當x=y時,P的值最大; (2)如果P是定值,那么當x=y時,S的值最小。 這是眾所周知的極值定理。
設函數(shù)f(x)在x0附近的連續(xù)，則除x0以外函數(shù)f(x)可導，那么:
<1>:若點x0左邊f(xié)(x)'>0,在x0右邊f(xié)(x)'<0,則x0點為f(x)的一個極大值點
<2>:若在x0點左邊f(xié)(x)'<0,在x0右邊f(xié)(x)'>0,則x0為f(x)的一個極小值點
<3>:若在x0點的兩邊的導數(shù)f(x)'的正負號相同,則x0不是f(x)的極值點
函數(shù)的極值不僅是反映函數(shù)性態(tài)的一個重要特征，而且在解決實際問題中也占有極其重要的地位。很多經濟和生活中的問題都可以轉化為數(shù)學中的函數(shù)極值問題進行討論，從而得到該問題的最優(yōu)方案。
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