一般解決臨界問題的基本解決方法及例題介紹

　　1.演繹法:以原理、定理和定律為依據,先找出所研究問題的一般規律和一般解,然后分析討論其特殊規律和特殊解,即采用從一般到特殊的推理方法。

　　2.臨界法:以原理、定理或定律為依據,直接從臨界狀態和相應的臨界量入手,求出所研究問題的特殊規律和特殊解,以此對一般情況進行分析討論和推理,即采用林特殊到一般的推理方法。

　　由于臨界狀態比一般狀態簡單,故解決臨界問題時用臨界法比演繹法簡捷。在找臨界狀態和臨界量時,常常用到極限分析法:即通過恰當地選取某個物理量(臨界物理量)推向極端(“極大”和“極小”,“極左”和“極右”等),從而把隱蔵的臨界現象(或“各種可能性”)暴露出來,找到解決問題的“突破口”。因此,先分析臨界條件

　　物理學中臨界問題題1 如圖所示,細桿的一端與一小球相連,可繞過O點的水平軸自由轉動。現給小球一初速度,使它做圓周運動,圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點,則桿對球的作用力可能是

　　A.處為拉力,為拉力

　　B.處為拉力,為推力

　　C.處為推力,為拉力

　　D.處為推力,為推力

　　解析 因為圓周運動的物體,向心力指向圓心,小球在最低點時所需向心力沿桿由a指向O,向心力是桿對小球的拉力與小球重力的合力,而重力方向向下,故桿必定給球向上的拉力,小球在最高點時若桿恰好對球沒有作用力,即小球的重力恰好對球沒有作用力,即小球的重力恰好提供向心力,設此時小球速度為vb,則:mg = m vb =

　　當小球在最高點的速度vvb時,所需的向心力Fmg,桿對小球有向下的拉力;若小球的速度vvb時,桿對小球有向上推力,故選A、B正確

　　評析 本題關鍵是明確越過臨界狀態vb = 時,桿對球的作用力方向將發生變化。

　　題2 在光滑的水平軌道上有兩個半徑都是r的小球A和B,質量分別為m和2m,當兩球心間距離大于L(L比2r大得多)時,兩球之間無相互作用力;當兩球心間距離等于或小于L時,兩球間存在相互作用的恒定斥力F。設A球從遠離B球處以速度v0沿兩球連心線向原來靜止的B球運動,如圖所示,欲使兩球不發生接觸,v0必須滿足什么條件

　　臨界解析 據題意,當A、B兩球球心間距離小于L時,兩球間存在相互作用的恒定斥力F。故A減速而B加速。當vAvB時,A、B間距離減小;當vAvB時,A、B間距離增大。可見,當vA = vB時,A、B相距最近。若此時A、B間距離x2r,則A、B不發生接觸(圖12-3)。上述狀態即為所尋找的臨界狀態,vA = vB時x2r則為臨界條件。

　　兩球不接觸的條件是:vA = vB (1)

　　L+sB?sA2r (2)

　　其中vA、vB為兩球間距離最小時,A、B球的速度;sA、sB為兩球間距離從L變至最小的過程中,A、B球通過的路程。

　　設v0為A球的初速度,由動量守恒定律得:m v0 = mvA + 2mvB (3)

　　由動能定律得 F ? sA = mv02 ? mvA2 (4)

　　F ? sB = (2m)vB2 (5)

　　聯立解得:v0

　　評析 本題的關鍵是正確找出兩球“不接觸”的臨界狀態,為vA = vB且此時x2r

　　物理學題3 一帶電質點,質量為m電量為q,以平行于ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖示的第Ⅰ象限區域,為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于ox軸的速度射出,可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場,若此磁場僅分布在一個圓形區域內,試求這圓形磁場區域的最小半徑. 重力忽略不計.

　　【分析】帶電粒子以速度v,沿垂直于磁場方向射入勻強磁場B時,在洛侖茲力作用下,帶電粒子將做勻速圓周運動.為了保證帶電粒子能從b點垂直于ox軸出射,帶電粒子必須偏轉90o角,即粒子在磁場中只能運動1 / 4圓周,而且磁場也不可能充滿坐標中的第一象限.所加圓形磁場區域最小的含義,應理解為能使帶電粒子完成1 / 4圓周運動,磁場范圍剛好能覆蓋帶電粒子的軌跡——即1 / 4圓周.

　　【示范解答】帶電粒子進入勻強磁場前做勻速直線運動,進入勻強磁場后做勻速圓周運動,圓的半徑:

　　根據向心力公式:qBv = m

　　得 R =

　　圓心在O1點,如圖15?5?2所示.從圖中可以知道:連接這1 / 4圓弧兩個端點的線段就時最小圓形磁場區域的直徑.最小磁場區域的半徑為:

　　r = =

　　【點評】為達到控制帶電粒子運動軌跡的目的而設置一勻強磁場的問題,著重考查的是逆向思維的能力.在科研實踐當中,這類設計實驗條件的問題是經常遇到的,因此這類題目具有實際研究的意義,它必然是一種重要的習題類型,它不僅考查了學生對帶電粒子在勻強磁場中運動規律掌握的熟練程度,而且考查了學生的空間想象能力和運用數學方法解決物理問題的能力.

　　評析 臨界值可能以極值形式出現,也可能是邊界值(即最大值和最小值)此題中最小值是利用幾何知識判斷而得到的。A、B兩點及AB圓弧分別是磁場的邊界點和磁場內的一段弧,是尋找最小圓形磁場區域的依據。

　　題4 圓筒形的薄壁玻璃容器中,盛滿某種液體,容器底部外面有光源S,試問液體折射率至少為多少時,才不能通過容器壁在筒外看到光源S(壁厚不計)。

　　解析 要在容器外空間看不到光源S,即要求光源S進入液體后,射向容器壁光線的入射角?≥C(臨界角),如圖所示,由折射定律可知

　　N = sinC = (1)

　　由圖可知 ? + ? = 90? ,?≥C , ? ≤ 90? ? C (2)

　　在A點入射處,由折射定律有

　　n = = =

　　所以 cosC = (3)

　　由(1)(3)兩式可知C = 45?,n = =

　　由(2)式可知:? 越小越好,臨界角C也是越小越好:由sinC = 可知,n越大,C越小;而由n = 可知,當 i 一定時,n越大,? 越小。

　　所以液體的折射率n≥

　　評析 本題臨界條件有兩個,當折射角為90°時的入射角為臨界角C和當入射角為90°時?最大。一般幾何光學中習題涉及前一個臨界條件的較多,涉及后一個臨界條件的較少。而求出折射率的臨界值為,還要進一步利用(3)式進行討論n的范圍。該題的分析方法是從結果利用臨界值C,采取倒推的方法來求解。一般來講,凡是求范圍的物理問題都會涉及臨界條件。

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