高二下冊數學期中考三角函數知識點

　　01

　　銳角三角函數定義

　　銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的銳角三角函數。

　　正弦(sin)等于對邊比斜邊;sinA=a/c

　　余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;cosA=b/c

　　正切(tan)等于對邊比鄰邊;tanA=a/b

　　余切(cot)等于鄰邊比對邊;cotA=b/a

　　正割(sec)等于斜邊比鄰邊;secA=c/b

　　余割(csc)等于斜邊比對邊。cscA=c/a

　　02

　　互余角的三角函數間的關系

　　sin(90-)=cos, cos(90-)=sin,

　　tan(90-)=cot, cot(90-)=tan.

　　03

　　平方關系

　　sin^2()+cos^2()=1

　　tan^2()+1=sec^2()

　　cot^2()+1=csc^2()

　　04

　　積的關系

　　sin=tancos

　　cos=cotsin

　　tan=sinsec

　　cot=coscsc

　　sec=tancsc

　　csc=seccot

　　05

　　倒數關系

　　tancot=1

　　sincsc=1

　　cossec=1

　　特殊角三角函數值

　　06

　　銳角三角函數公式

　　兩角和與差的三角函數：

　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?

　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

　　三角和的三角函數：

　　sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin

　　cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

　　tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)

　　輔助角公式：

　　Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中

　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

　　tant=B/A

　　Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B

　　倍角公式：

　　sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)

　　cos(2)=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()

　　tan(2)=2tan/[1-tan^2()]

　　三倍角公式：

　　sin(3)=3sin-4sin^3()

　　cos(3)=4cos^3()-3cos

　　半角公式：

　　sin(/2)=((1-cos)/2)

　　cos(/2)=((1+cos)/2)

　　tan(/2)=((1-cos)/(1+cos))=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin

　　降冪公式

　　sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

　　cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

　　tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

　　萬能公式：

　　sin=2tan(/2)/[1+tan^2(/2)]

　　cos=[1-tan^2(/2)]/[1+tan^2(/2)]

　　tan=2tan(/2)/[1-tan^2(/2)]

　　積化和差公式：

　　sincos=(1/2)[sin(+)+sin(-)]

　　cossin=(1/2)[sin(+)-sin(-)]

　　coscos=(1/2)[cos(+)+cos(-)]

　　sinsin=-(1/2)[cos(+)-cos(-)]

　　和差化積公式：

　　sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]

　　sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]

　　cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]

　　cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]

　　推導公式：

　　tan+cot=2/sin2

　　tan-cot=-2cot2

　　1+cos2=2cos^2

　　1-cos2=2sin^2

　　1+sin=(sin/2+cos/2)^2

　　其他：

　　sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0

　　cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及

　　sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

　　函數名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

　　在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為，設OP=r，P點的坐標為(x，y)有

　　正弦函數 sin=y/r

　　余弦函數 cos=x/r

　　正切函數 tan=y/x

　　余切函數 cot=x/y

　　正割函數 sec=r/x

　　余割函數 csc=r/y

　　正弦(sin):角的對邊比上斜邊

　　余弦(cos):角的鄰邊比上斜邊

　　正切(tan):角的對邊比上鄰邊

　　余切(cot):角的鄰邊比上對邊

　　正割(sec):角的斜邊比上鄰邊

　　余割(csc):角的斜邊比上對邊

　　三角函數萬能公式

　　萬能公式

　　(1)(sin)^2+(cos)^2=1

　　(2)1+(tan)^2=(sec)^2

　　(3)1+(cot)^2=(csc)^2

　　證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)^2,第二個除(cos)^2即可

　　(4)對于任意非直角三角形,總有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證:

　　A+B=-C

　　tan(A+B)=tan(-C)

　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得證

　　同樣可以得證,當x+y+z=nZ)時,該關系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論

　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

　　(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

　　(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

　　萬能公式為：

　　設tan(A/2)=t

　　sinA=2t/(1+t^2) (A+，kZ)

　　tanA=2t/(1-t^2) (A+，kZ)

　　cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A+，且A+(/2) kZ)

　　就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來表示,當要求一串函數式最值的時候,就可以用萬能公式,推導成只含有一個變量的函數,最值就很好求了.

　　三角函數關系

　　倒數關系

　　tan cot=1

　　sin csc=1

　　cos sec=1

　　商的.關系

　　sin/cos=tan=sec/csc

　　cos/sin=cot=csc/sec

　　平方關系

　　sin^2()+cos^2()=1

　　1+tan^2()=sec^2()

　　1+cot^2()=csc^2()

　　同角三角函數關系六角形記憶法

　　構造以上弦、中切、下割;左正、右余、中間1的正六邊形為模型。

　　倒數關系

　　對角線上兩個函數互為倒數;

　　商數關系

　　六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積，下面4個也存在這種關系。)。由此，可得商數關系式。

　　平方關系

　　在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。

　　兩角和差公式

　　sin(+)=sincos+cossin

　　sin(-)=sincos-cossin

　　cos(+)=coscos-sinsin

　　cos(-)=coscos+sinsin

　　tan(+)=(tan+tan )/(1-tan tan)

　　tan(-)=(tan-tan)/(1+tan tan)

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin2=2sincos

　　cos2=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()

　　tan2=2tan/(1-tan^2())

　　tan(1/2*)=(sin )/(1+cos )=(1-cos )/sin

　　半角的正弦、余弦和正切公式

　　sin^2(/2)=(1-cos)/2

　　cos^2(/2)=(1+cos)/2

　　tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)

　　tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos

　　萬能公式

　　sin=2tan(/2)/(1+tan^2(/2))

　　cos=(1-tan^2(/2))/(1+tan^2(/2))

　　tan=(2tan(/2))/(1-tan^2(/2))

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3=3sin-4sin^3()

　　cos3=4cos^3()-3cos

　　tan3=(3tan-tan^3())/(1-3tan^2())

　　誘導公式

　　誘導公式的本質

　　所謂三角函數誘導公式，就是將角n(/2)的三角函數轉化為角的三角函數。

　　常用的誘導公式

　　公式一： 設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

　　sin(2k)=sin kz

　　cos(2k)=cos kz

　　tan(2k)=tan kz

　　cot(2k)=cot kz

　　公式二： 設為任意角，的三角函數值與的三角函數值之間的關系：

　　sin()=-sin

　　cos()=-cos

　　tan()=tan

　　cot()=cot

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