物理中求極值的方法
隨著教改的不斷深入，物理教學(xué)更加結(jié)合實際，物理習(xí)題的題型不斷拓寬。在中學(xué)物理競賽及高考試卷中都出現(xiàn)了一些具有一定難度的求極值問題。求極值的一般方法是用導(dǎo)數(shù)求解。但中學(xué)生還沒有學(xué)過關(guān)于異數(shù)的數(shù)學(xué)知識。
幾何法求極值
在初中幾何中我們曾經(jīng)學(xué)過“點到直線的距離以垂線為最短。”此結(jié)論對于求極小值問題，是一條捷徑。
例1.如圖1-1所示，船A從港口P出發(fā)去攔截正以速度υ0沿直線航行的船B 。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時與B船相距為b，b>a 。如果略去A船起動時的加速過程，認(rèn)為它一起航就勻速運動。則A船能攔截到B船的.最小速率為多少？
分析與解：分析本題是兩個運動物體求它們之間的相對位置的問題。若以地球為參照系，兩個物體都運動，且運動方向不一致，它們之間的相對位置隨時間變化的關(guān)系比較復(fù)雜，一時不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運動的物體上，（如B上）由于以誰為參照系，就認(rèn)為誰不動，此題就簡化為一個物體，（如A）在此運動參照系的運動問題了。當(dāng)然解一個物體的運動問題比解兩個物體都運動的問題自然容易多了。
以B為參照系，B不動，在此參照系中A將具有向左的分速度υ0，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B 。應(yīng)用“點到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過O點作PB的垂線，交PB于E點，OE即為A船對地的速度的最小值υA，在△AOE中
∵υA=υ0Sinθ 而
∴，由于靈活運用了幾何知識，使較為復(fù)雜的問題，變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴}了。
例2.如圖1-3所示，重為G的物體與水平地面的動摩擦因數(shù)為μ，欲以一個拉力F使物體沿地面勻速前進。問F與水平地面的夾角θ為何值時最省力？這個最小拉力是多大？
分析與解：畫出物體的受力分析圖，如圖1-4所示。物體受到四個力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面對物體的滑動摩擦力f，其中f=Nμ。這四個力為共點力，合力為零。可將N與f合成為一個力N′，N與f的作用將被N′等效，N′與N、f的關(guān)系滿足平行四邊形法則。再畫出物體受N′、G、F的力的矢量三角形，如圖1-5所示。N′的方向如圖，應(yīng)用“點到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過B點作N′的垂線交N′于C點，則BC的長度即表示最小作用力Fmin，由于Fmin與水平面夾角為θ,
∴∠CAB=∠θ Fmin=Gsinθ
由圖1-6可知，
即 θ=arctanμ
幾何法一般用于求極小值問題，其特點是簡單、直觀，把物體運動的較為復(fù)雜的極值問題，轉(zhuǎn)化為簡單的幾何問題去解，便于學(xué)生掌握。
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