北師版八年級上冊數學知識點整理

　　在平平淡淡的學習中，說到知識點，大家是不是都習慣性的重視？知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。掌握知識點有助于大家更好的學習。以下是小編幫大家整理的北師版八年級上冊數學知識點整理，希望對大家有所幫助。

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　　1、變量與常量

　　在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。

　　一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有確定的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。

　　2、函數解析式

　　用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。

　　使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

　　3、函數的三種表示法及其優缺點

　　(1)解析法

　　兩個變量間的`函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。

　　(2)列表法

　　把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

　　(3)圖像法

　　用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。

　　4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟

　　(1)列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

　　(2)描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點

　　(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

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　　四邊形

　　平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

　　平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等;平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。

　　平行四邊形的判定

　　1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

　　2.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;

　　3.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

　　4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

　　三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

　　直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

　　矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。

　　矩形的性質：矩形的四個角都是直角;矩形的對角線平分且相等。AC=BD

　　矩形判定定理：

　　1.有一個角是直角的`平行四邊形叫做矩形。

　　2.對角線相等的平行四邊形是矩形。

　　3.有三個角是直角的四邊形是矩形。

　　菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

　　菱形的性質：菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

　　菱形的判定定理：

　　1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

　　2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

　　3.四條邊相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2×ab(a、b為兩條對角線)

　　正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

　　正方形的性質：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

　　正方形判定定理：

　　1.鄰邊相等的矩形是正方形。

　　2.有一個角是直角的菱形是正方形。

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　　一、實數的概念及分類

　　1、實數的分類

　　一是分類是：正數、負數、0;

　　另一種分類是：有理數、無理數

　　將兩種分類進行組合：負有理數，負無理數，0，正有理數，正無理數

　　2、無理數：無限不循環小數叫做無理數。

　　在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一時之，歸納起來有四類：

　　(1)開方開不盡的數，如 等;

　　(2)有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如 +8等;

　　(3)有特定結構的數，如0.1010010001…等;

　　(4)某些三角函數值，如sin60o等

　　二、實數的倒數、相反數和絕對值

　　1、相反數

　　實數與它的相反數時一對數(只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零)，從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

　　2、絕對值

　　在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的`絕對值。(|a|≥0)。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0;若|a|=-a，則a≤0。

　　3、倒數

　　如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

　　4、數軸

　　規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可)。

　　解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

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　　1.分式：一般地，用A、B表示兩個整式，AB就可以表示為 的形式，如果B中含有字母，式子 叫做分式.

　　2.有理式：整式與分式統稱有理式;即 .

　　3.對于分式的兩個重要判斷：(1)若分式的分母為零，則分式無意義，反之有意義;(2)若分式的分子為零，而分母不為零，則分式的值為零;注意：若分式的分子為零，而分母也為零，則分式無意義.

　　4.分式的基本性質與應用：

　　(1)若分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不為零的整式，分式的值不變;

　　(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變; 即

　　(3)繁分式化簡時，采用分子分母同乘小分母的最小公倍數的方法，比較簡單.

　　5.分式的約分：把一個分式的'分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分;注意：分式約分前經常需要先因式分解.

　　6.最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式，這個分式叫做最簡分式;注意：分式計算的最后結果要求化為最簡分式.

　　7.分式的乘除法法則： .

　　8.分式的乘方： .

　　9.負整指數計算法則：

　　(1)公式： a0=1(a0), a-n= (a

　　(2)正整指數的運算法則都可用于負整指數計算;

　　(3)公式： ， ;

　　(4)公式： (-1)-2=1， (-1)-3=-1.

　　10.分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先確定最簡公分母.

　　11.最簡公分母的確定：系數的最小公倍數?相同因式的最高次冪.

　　12.同分母與異分母的分式加減法法則： .

　　13.含有字母系數的一元一次方程：在方程ax+b=0(a0)中,x是未知數,a和b是用字母表示的已知數，對x來說，字母a是x的系數，叫做字母系數，字母b是常數項，我們稱它為含有字母系數的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知數，用x、y、z等表示未知數.

　　14.公式變形：把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形;注意：公式變形的本質就是解含有字母系數的方程.特別要注意：字母方程兩邊同時乘以含字母的代數式時，一般需要先確認這個代數式的值不為0.

　　15.分式方程：分母里含有未知數的方程叫做分式方程;注意：以前學過的，分母里不含未知數的方程是整式方程.

　　16.分式方程的增根：在解分式方程時，為了去分母，方程的兩邊同乘以了含有未知數的代數式，所以可能產生增根，故分式方程必須驗增根;注意：在解方程時，方程的兩邊一般不要同時除以含未知數的代數式，因為可能丟根.

　　17.分式方程驗增根的方法：把分式方程求出的根代入最簡公分母(或分式方程的每個分母)，若值為零，求出的根是增根，這時原方程無解;若值不為零，求出的根是原方程的解;注意：由此可判斷，使分母的值為零的未知數的值可能是原方程的增根.

　　18.分式方程的應用：列分式方程解應用題與列整式方程解應用題的方法一樣，但需要增加驗增根的程序.

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　　一、平面直角坐標系：

　　在平面內有公共原點而且互相垂直的兩條數軸，構成了平面直角坐標系。

　　二、知識點與題型總結：

　　1、由點找坐標：

　　A點的坐標記作A( 2，1 )，規定：橫坐標在前,縱坐標在后。

　　2、由坐標找點：例找點B( 3，-2 ) ?

　　由坐標找點的方法：先找到表示橫坐標與縱坐標的點，然后過這兩點分別作x軸與y軸的垂線，垂線的交點就是該坐標對應的點。

　　各象限點坐標的符號：

　　①若點P(x，y)在第一象限，則x > 0，y > 0 ;

　　②若點P(x，y)在第二象限，則x < 0，y > 0 ;

　　③若點P(x，y)在第三象限，則x < 0，y < 0 ;

　　④若點P(x，y)在第四象限，則x > 0，y < 0 。

　　典型例題：

　　例1、點P的坐標是(2，-3)，則點P在第四象限。

　　例2、若點P(x，y)的坐標滿足xy>0，則點P在第一或三象限。

　　例3、若點A的坐標為(a^2+1, -2–b^2) ,則點A在第四象限。

　　4、坐標軸上點的坐標符號：

　　坐標軸上的點不屬于任何象限。

　　① x軸上的點的縱坐標為0，表示為(x，0)，

　　② y軸上的點的橫坐標為0，表示為(0，y)，

　　③原點(0，0)既在x軸上，又在y軸上。

　　例4、點P(x,y )滿足xy = 0,則點P在x軸上或y軸上。 .

　　5、與坐標軸平行的兩點連線：

　　①若AB‖ x軸，則A、B的'縱坐標相同;

　　②若AB‖ y軸，則A、B的橫坐標相同。

　　例5、已知點A(10，5)，B(50，5)，則直線AB的位置特點是(A )

　　A、與x軸平行B、與y軸平行C、與x軸相交，但不垂直D、與y軸相交,但不垂直

　　6、象限角平分線上的點：

　　①若點P在第一、三象限角的平分線上,則P( m, m );

　　②若點P在第二、四象限角的平分線上，則P( m, -m )。

　　例6、已知點A(2a+1，2+a)在第二象限的平分線上，試求A的坐標。

　　解：由條件可知：2a+1 +(2+a)=0，解得a = -1，

　　∴ A(-1,1)。

　　例7、已知點M(a+1，3a-5)在兩坐標軸夾角的平分線上，試求M的坐標。

　　解：當在一、三象限角平分線上時，a+1=3a-5，

　　解得：a=3 ∴ M(4，4)

　　當在二、四象限角平分線上時，a+1+(3a-5 )=0，

　　解得：a=1 ∴ M(2，-2)

　　∴M的坐標為(4，4)或(2，-2)

　　7、關于坐標軸、原點的對稱點：

　　①點(a, b )關于X軸的對稱點是(a , -b );

　　②點(a, b )關于Y軸的對稱點是( -a , b );

　　③點(a, b )關于原點的對稱點是( -a , -b )。

　　例8、已知點A(3a-1，1+a)在第一象限的平分線上，試求A關于原點的對稱點的坐標。

　　解：由條件得：3a-1=1+a解得：a=1，∴ A(2，2)，

　　∴ A關于原點的對稱點的坐標為(-2，-2)。

　　8、點到坐標軸的距離：

　　①點( x, y )到x軸的距離是∣y∣;

　　②點( x, y )到x軸的距離是∣x∣。

　　例9、點P到x軸、y軸的距離分別是2,1，則點P的坐標可能為?

　　答案：(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2) 。

　　三、知識拓展與提高：

　　例10、在平面直角坐標系中，已知兩點A(0,1)，B(8,5)，點P在x軸上，則PA + PB的最小值是多少?

　　解：作點A(0,1)關于x軸的對稱點A(0，-1)，連接AB與x軸交于點P，

　　則AB路徑最短，即PA + PB最小。

　　根據勾股定理得：AB = √[(1+5)^2 + 8^2] = 10 。

　　∴PA + PB的最小值是10 。

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　　1、分式的基本性質：

　　分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。

　　2、通分：

　　利用分式的基本性質，使分子和分母都乘以適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。

　　通分的關鍵是：確定幾個分式的最簡公分母。確定最簡公分母的一般方法是：

　　(1)如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數的最小公倍數、相同字母的次冪、所有不同字母及指數的積。

　　(2)如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的'分解因式，再參照單項式求最簡公分母的方法，從系數、相同因式、不同因式三個方面去確定。

　　3、約分：

　　根據分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。

　　在約分時要注意：

　　(1)如果分子、分母都是單項式，那么可直接約去分子、分母的公因式，即約去分子、分母系數的公約數，相同字母的最低次冪;

　　(2)如果分子、分母中至少有一個多項式就應先分解因式，然后找出它們的公因式再約分;

　　(3)約分一定要把公因式約完。

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　　一、變量與函數

　　[變量和常量]

　　在一個變化過程中，數值發生變化的量，我們稱之為變量，而數值始終保持不變的量，我們稱之為常量。

　　[函數]

　　一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 與 ，并且對于 的每一個確定的值， 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 是自變量， 是 的函數。如果當 時 ，那么 叫做當自變量的值為 時的函數值。

　　[自變量取值范圍的確定方法]

　　1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義。

　　當解析式為整式時，自變量的取值范圍是全體實數;當解析式為分數形式時，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實數;當解析式中含有二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數大于等于0的所有實數。

　　2、自變量的取值范圍必須使實際問題有意義。

　　[函數的圖像]

　　一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

　　[描點法畫函數圖形的一般步驟]

　　第一步：列表(表中給出一些自變量的值及其對應的函數值);

　　第二步：描點(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的`各點);

　　第三步：連線(按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來)。

　　[函數的表示方法]

　　列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。

　　解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。

　　圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。

　　[正比例函數]

　　一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數(proportional function)，其中k叫做比例系數.

　　[正比例函數圖象和性質]

　　一般地，正比例函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖象是一條經過原點和(1，k)的直線.我們稱它為直線y=kx.當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.

　　(1) 解析式：y=kx(k是常數，k≠0)

　　(2) 必過點：(0，0)、(1，k)

　　(3) 走向：k>0時，圖像經過一、三象限;k<0時，圖像經過二、四象限

　　(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小

　　(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸;|k|越小，越接近x軸

　　[正比例函數解析式的確定]——待定系數法

　　1. 設出含有待定系數的函數解析式y=kx(k≠0)

　　2. 把已知條件(一個點的坐標)代入解析式，得到關于k的一元一次方程

　　3. 解方程，求出系數k

　　4. 將k的值代回解析式

　　二、一次函數

　　[一次函數]

　　一般地，形如y=kx+b(k、b是常數，k 0)函數，叫做一次函數. 當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數是一種特殊的一次函數.

　　[一次函數的圖象及性質]

　　一次函數y=kx+b的圖象是經過(0，b)和(- ，0)兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.(當b>0時，向上平移;當b<0時，向下平移)

　　(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數，k 0)

　　(2)必過點：(0，b)和(- ，0)

　　(3)走向： k>0，圖象經過第一、三象限;k<0，圖象經過第二、四象限

　　b>0，圖象經過第一、二象限;b<0，圖象經過第三、四象限

　　直線經過第一、二、三象限

　　直線經過第一、三、四象限

　　直線經過第一、二、四象限

　　直線經過第二、三、四象限

　　(4)增減性： k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.

　　(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸;|k|越小，圖象越接近于x軸.

　　(6)圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位;

　　當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

　　[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系]

　　(1)兩直線平行：k1=k2且b1 b2

　　(2)兩直線相交：k1 k2

　　(3)兩直線重合：k1=k2且b1=b2

　　[確定一次函數解析式的方法]

　　(1)根據已知條件寫出含有待定系數的函數解析式;

　　(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數解析式中得到以待定系數為未知數的方程;

　　(3)解方程得出未知系數的值;

　　(4)將求出的待定系數代回所求的函數解析式中得出結果.

　　[一次函數建模]

　　函數建模的關鍵是將實際問題數學化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題. 建立一次函數模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關系，構建函數模型，從而利用數學知識解決實際問題.

　　正比例函數的圖象和一次函數的圖象在賦予實際意義時，其圖象大多為線段或射線. 這是因為在實際問題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實際問題有意義.

　　從圖象中獲取的信息一般是：(1)從函數圖象的形狀判定函數的類型;

　　(2)從橫、縱軸的實際意義理解圖象上點的坐標的實際意義.

　　解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中某個變量作為自變量，再根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數.

　　三、用函數觀點看方程(組)與不等式

　　[一元一次方程與一次函數的關系]

　　任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值. 從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.

　　[一次函數與一元一次不等式的關系]

　　任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大(小)于0時，求自變量的取值范圍.

　　[一次函數與二元一次方程組]

　　(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數y= 的圖象相同.

　　(2)二元一次方程組 的解可以看作是兩個一次函數y= 和y= 的圖象交點.

　　三個重要的數學思想

　　1.方程的思想。數學是研究事物的空間形式和數量關系的，初中數學最重要的就是等量關系，其次是不等量關系。最常見的等量關系就是方程。

　　2.數形結合的思想。任何一道題，只要與形沾邊，就應該根據題意中的草圖分析一番。這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強。

　　3.對應的思想。

　　初中生數學成績的提高，需要靠自己勤加練習和腳踏實地的去接受數學。

　　合數的概念

　　合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(0除外)整除的數。與之相對的是質數，而1既不屬于質dao數也不屬于合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。

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　　1.無理數定義：無限不循環小數

　　2.實數的分類：分為有理數和無理數。有理數分為：正有理數、負有理數、零

　　3.算術平方根：若一個正數x的平方等于a，即x=a，則這個正數x為a的算術平方根。a的算術平方根記作，讀作“根號a”，a叫做被開方數。規定：0的算術平方根為0。

　　4.平方根：如果一個數x的平方等于a，即x=a，那么這個數x就叫做a的平方根。

　　5.二次根式的定義：一般形如(a≥0)的代數式叫做二次根式，其中，a叫做被開方數，被開方數必須大于或等于0。

　　6.最簡二次根式滿足：

　　①.分母中不含根號=根號下沒有分母=根號下沒有分數

　　②.根號下不含可以開得盡方的數

　　7.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

　　8.()2=a(a≥0) =a(a≥0)

　　①二次根式的.乘法法則：×(a≥0，b≥0)

　　兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.

　　②積的算術平方根的_質：(a≥0，b≥0)

　　兩個非負數的積的算術平方根，等于這兩個因數的算術平方根的乘積.

　　③二次根式的除法法則：=(a≥0，b>0)

　　兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.

　　④商的算術平方根的_質：=(a≥0，b>0)

　　數學單項式知識點

　　1、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。

　　2、單項式的數字因數叫做單項式的系數。

　　3、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。

　　4、單獨一個數或一個字母也是單項式。

　　5、只含有字母因式的單項式的系數是1或―1。

　　6、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。

　　7、單獨的一個非零常數的次數是0。

　　8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

　　9、單項式的系數包括它前面的符號。

　　10、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。

　　11、單項式的系數是1或―1時，通常省略數字“1”。

　　12、單項式的次數僅與字母有關，與單項式的系數無關。

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