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數學必背向量知識點

　　在日常的學習中，是不是經常追著老師要知識點？知識點也可以理解為考試時會涉及到的知識，也就是大綱的分支。那么，都有哪些知識點呢？以下是小編收集整理的數學必背向量知識點，歡迎閱讀與收藏。

數學必背向量知識點

　　數學必背向量知識點1

　　1、向量的基本概念

　　（1）向量

　　既有大小又有方向的量叫做向量。物理學中又叫做矢量。如力、速度、加速度、位移就是向量。

　　向量可以用一條有向線段（帶有方向的線段）來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可以用一個小寫字母a，b，c表示，或用兩個大寫字母加表示（其中前面的字母為起點，后面的字母為終點）

　　（5）平行向量

　　方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。平行向量也叫做共線向量。

　　若向量a、b平行，記作a∥b。

　　規定：0與任一向量平行。

　　（6）相等向量

　　長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

　　①向量相等有兩個要素：一是長度相等，二是方向相同，二者缺一不可。

　　②向量a，b相等記作a=b。

　　③零向量都相等。

　　④任何兩個相等的非零向量，都可用同一有向線段表示，但特別要注意向量相等與有向線段的起點無關。

　　2、對于向量概念需注意

　　（1）向量是區別于數量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但向量的模可以比較大小。

　　（2）向量共線與表示它們的有向線段共線不同。向量共線時，表示向量的有向線段可以是平行的，不一定在同一條直線上；而有向線段共線則是指線段必須在同一條直線上。

　　（3）由向量相等的定義可知，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動的，因此用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點，由此也可得到：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上。

　　3、向量的運算律

　　（1）交換律：α+β=β+α

　　（2）結合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）

　　（3）數量加法的分配律：（λ+μ）α=λα+μα

　　（4）向量加法的分配律：γ（α+β）=γα+γβ

　　高中數學學習方法

　　掌握數學學習實踐階段：在高中數學學習過程中，我們需要使用正確的學習方法，以及科學合理的學習規則。先生著名的日本教育在米山國藏在他的數學精神、思想和方法，曾經說過，尤其是高階段的數學學習數學，必須遵循“分層原則”和“循序漸進”的原則。與教學內容的第一周甚至是從基礎開始，一周后的頭幾天，在教學難以提升。以及提升的困難進步一步一步，最好不要去追求所謂的“困難”除了（感興趣），不利于解決問題方法掌握連續性。同時，根據時間和課程安排的長度適當的審查，只有這樣才能記住和使用在長期學習數學知識，不要忘記前面的學習。

　　高中數學學習技巧

　　不亂買輔導書。

　　關于數學，我一本輔導書都沒買（高三），從高三發的第一張卷子起到最后一張我高考結束后全部留著，厚厚的三打。這些卷子留好后你從第一張看的時候和輔導書是一樣一樣的因為高三復習的時候都是按章節來的，所以條目很清晰。

　　每一張卷子不留題。

　　不留錯題和不明白的題，把每一個題目都弄明白，不會的就去問別人問老師。我一開始也不好意思去問老師，因為我基礎太差了，可能我不會的題其實只是一個公式題，所以我都是問周圍的同學，所幸我周圍一圈學霸，每一個都被我問煩了要在這里要感謝一下他們～

　　整理錯題。

　　這個其實真的挺重要，但我前面也說過，我是一個超懶的人，所以我沒有做但是我在后期快三模的時候意識到了這個的重要性，所以把所有卷子集中起來把錯題回顧了一遍，不一定動筆（太懶）去做，在腦子里想一遍，一般只用不到一分鐘一道，這個時間什么時候都抽得出來的。

　　整理筆記。

　　關于數學的筆記我有兩本，一個是我們老師總結的一些方法和技巧，一些公式的記憶以及法則概念之類的（這個要好好記！做題的時候經常用到！沒有公式做題簡直是… ）另一本是關于一些好題難題錯題典型題，把這些題從紙上剪下來貼到本子上再做一遍，到高考前我把這個錯題本又全部重新做了一遍（當然，這個由于太懶，有的題有點三天打漁兩天曬網）

　　關于卷子。

　　由于筆記要剪下來（這年頭誰還自己抄題快去給我站墻角！）貼到筆記上，所以我都是要兩張卷子（老師都是直接問誰要兩張自己留下就行），兩張卷子一張自己做，另一張用來剪題（有的時候正反面都有就很討厭啦所以我有的時候拿三張）

　　ps：自己做的那張卷子呢做完聽題的時候要做好標記，答主有一套晨光的彩色筆，還蠻好用，把不會的題在題號標一種顏色，會但是典型的一種顏色。

　　一定要把做題過程在卷子上寫清楚！一定要把做題過程在卷子上寫清楚！一定要把做題過程在卷子上寫清楚！重要的事說三遍！否則你看卷子時說忘就忘哭都沒地方哭

　　關于老師。

　　答主老師長的帥啊大于一切優點啊要努力尋找老師的閃光點，畢竟老師對于學習興趣還是影響很大的。

　　補充。

　　我們老師當時特別喜歡給我們做模擬題，都是他做了的題然后剪貼出來的卷子，所以每道題都很好也是我說過不留題的原因。因為做套題的時候就算你很多都不懂，但是選擇題中的集合那些題總都會做，不至于像做導數數列那些單元的卷子一樣欲哭無淚=_=（數學不好的人都懂我！）所以可以多做套題來增強自己的信心。

　　信心。

　　當時數學就算很不好的時候我也沒有放棄過，有一股謎一樣的自信覺得我一定能學好…別問我為什么…我也不知道…總之就是對自己有信心一點！一定會成功！

　　數學必背向量知識點1

　　向量的概念、向量的基本定理

　　【內容解讀】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

　　注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移后所得向量與原向量相同；兩個向量無法比較大小，它們的模可比較大小。

　　考點二：向量的運算

　　【內容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算；掌握實數與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關系；掌握向量的數量積的運算，體會平面向量的數量積與向量投影的關系，并理解其幾何意義，掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

　　【命題規律】命題形式主要以選擇、填空題型出現，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算，有時也會與其它內容相結合。

　　考點三：定比分點

　　【內容解讀】掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并能熟練應用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來幫助理解。

　　【命題規律】重點考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現，難度一般。由于向量應用的廣泛性，經常也會與三角函數，解析幾何一并考查，若出現在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

　　考點四：向量與三角函數的綜合問題

　　【內容解讀】向量與三角函數的綜合問題是高考經常出現的問題，考查了向量的知識，三角函數的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求。

　　【命題規律】命題以三角函數作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。

　　考點五：平面向量與函數問題的交匯

　　【內容解讀】平面向量與函數交匯的問題，主要是向量與二次函數結合的問題為主，要注意自變量的取值范圍。

　　【命題規律】命題多以解答題為主，屬中檔題。

　　考點六：平面向量在平面幾何中的應用

　　【內容解讀】向量的坐標表示實際上就是向量的代數表示。在引入向量的坐標表示后，使向量之間的運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起。因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉化為大家熟悉的.代數運算的論證。也就是把平面幾何圖形放到適當的坐標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的坐標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決。

　　【命題規律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

　　成績不理想的原因

　　1、對知識點的理解停留在一知半解的層次上；

　　2、解題始終不能把握其中關鍵的數學技巧，孤立的看待每一道題，缺乏舉一反三的能力；

　　3、解題時，小錯誤太多，始終不能完整的解決問題；

　　4、解題效率低，在規定的時間內不能完成一定量的題目，不適應考試節奏；

　　5、未養成總結歸納的習慣，不能習慣性的歸納所學的知識點；

　　6、學習缺少科學性，上課不認真記筆記，課后不能及時鞏固、復習；忙于應付作業，對知識不求甚解。

　　7、忽視基礎，有些“自我感覺良好”的學生，常輕視基礎知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，反而對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，沒有堅實的基礎和基本功，到考試時取得不了高分；

　　8、忽視作業或練習，缺乏對問題的深入思考，有時練習冊上的答案由于印刷錯誤，孩子們作業做完后核對答案時不相信自己的結論，把自己的答案一劃，把錯誤答案抄上；書寫規范性差；

　　9、周練考試出錯率高，一種是一時想不出怎么做，事后會做，臨場狀態不好；第二種是表面上會做，但由于審題不仔細，對概念理解不清，計算不準確；第三種是時間不夠，解題速度慢，平時做題習慣不好，不講速度；第四種是根本做不出來，基本功不行，更欠缺融會貫通能力。

　　集合的特性

　　1、確定性

　　給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現。

　　2、互異性

　　一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

　　3、無序性

　　一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關系，定義了序關系后，元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。

　　數學必背向量知識點2

　　數乘向量

　　實數和向量a的乘積是一個向量，記作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

　　當0時，a與a同方向；

　　當0時，a與a反方向；

　　當=0時，a=0，方向任意。

　　當a=0時，對于任意實數，都有a=0。

　　注：按定義知，如果a=0，那么=0或a=0。

　　實數叫做向量a的系數，乘數向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

　　當∣∣1時，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長為原來的∣∣倍；

　　當∣∣1時，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上縮短為原來的∣∣倍。

　　數與向量的乘法滿足下面的運算律

　　結合律：（a）b=（ab）=（ab）。

　　向量對于數的分配律（第一分配律）：（+）a=a+a。

　　數對于向量的分配律（第二分配律）：（a+b）=a+b。

　　數乘向量的消去律：① 如果實數0且a=b，那么a=b。② 如果a0且a=a，那么=。

　　數學必背向量知識點3

　　向量的的數量積

　　定義：已知兩個非零向量a，b。作OA=a，OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉并規定0≤〈a，b〉≤π

　　定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作ab。若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉；若a、b共線，則ab=+—？a？？b？。

　　向量的數量積的坐標表示：ab=xx'+yy'。

　　向量的數量積的運算律

　　ab=ba（交換律）；

　　（λa）b=λ（ab）（關于數乘法的結合律）；

　　（a+b）c=ac+bc（分配律）；

　　向量的數量積的性質

　　aa=a的平方。

　　a⊥b 〈=〉ab=0。

　　ab≤ab。

　　向量的數量積與實數運算的主要不同點

　　1、向量的數量積不滿足結合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。

　　2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 ab=ac （a≠0），推不出 b=c。

　　3、ab≠ab

　　4、由 a=b ，推不出 a=b或a=—b。

　　數學必背向量知識點4

　　1、有向線段的定義

　　線段的端點A為始點，端點B為終點，這時線段AB具有射線AB的方向。像這樣，具有方向的線段叫做有向線段。記作：。

　　2。有向線段的三要素：有向線段包含三個要素：始點、方向和長度。

　　3。向量的定義：（1）具有大小和方向的量叫做向量。向量有兩個要素：大小和方向。

　　（2）向量的表示方法：①用兩個大寫的英文字母及前頭表示，有向線段來表示向量時，也稱其為向量。書寫時，則用帶箭頭的小寫字母，，，來表示。

　　4。向量的長度（模）：如果向量=，那么有向線段的長度表示向量的大小，叫做向量的長度（或模），記作||。

　　5、相等向量：如果兩個向量和的方向相同且長度相等，則稱和相等，記作：=。

　　6、相反向量：與向量等長且方向相反的向量叫做的相反向量，記作：—。

　　7、向量平行（共線）：如果兩個向量方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量平行也稱向量共線。向量平行于向量，記作//。規定： //。

　　8、零向量：長度等于零的向量叫做零向量，記作：。零向量的方向是不確定的，是任意的。由于零向量方向的特殊性，解答問題時，一定要看清題目中是零向量還是非零向量。

　　9、單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量。

　　10、向量的加法運算：

　　（1）向量加法的三角形法則

　　1１、向量的減法運算

　　12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關系

　　對于任意兩個向量，，都有|||—|||||+||。

　　13、數乘向量的定義：

　　實數和向量的乘積是一個向量，這種運算叫做數乘向量，記作。

　　向量的長度與方向規定為：（1）||=|

　　（2）當0時，與方向相同；當0時，與方向相反。

　　（3）當=0時，當=時，=。

　　14、數乘向量的運算律：（1））= （結合律）

　　（2）（+） =+（第一分配律）（3）（+）=+。（第二分配律）

　　15、平行向量基本定理

　　如果向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實數，使得=。

　　如果與不共線，若m=n，則m=n=0。

　　16、非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作。

　　=||，即==（，）

　　17、線段中點的向量表達式

　　點M是線段AB的中點，O是平面內任意一點，則=（+）。

　　18、平面向量的直角坐標運算：如果=（a1，a2），=（b1，b2），則

　　+=（a1+b1，a2+b2）；—=（a1—b1，a2—b2）；=（a1，a2）。

　　19、利用兩點表示向量：如果A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2—x1，y2—y1）。

　　20。兩向量相等和平行的條件：若=（a1，a2），=（b1，b2），則

　　=a1=b1且a2=b2。

　　//a1b2—a2b1=0。特別地，如果b10，b20，則// =。

　　21、向量的長度公式：若=（a1，a2），則||=。

　　22、平面上兩點間的距離公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），則||=。

　　23、中點公式

　　若點A（x1，y1），點B（x2，y2），點M（x，y）是線段AB的中點，則x=，y= 。

　　24、重心公式

　　在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），A（x3，y3），，△ABC的重心為G（x，y），則

　　x=，y=

　　2５、（1）兩個向量夾角的取值范圍是[0，p]，即0，p。

　　當=0時，與同向；當=p時，與反向

　　當= 時，與垂直，記作。

　　（3）向量的內積定義：=||||cos。

　　其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數量。規定=0。

　　（4）內積的幾何意義

　　與的內積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數量，或的模與在方向上的正射影數量的乘積

　　當0，90時，0；=90時，

　　90時，0。

　　26、向量內積的運算律：

　　（1）交換率

　　（2）數乘結合律

　　（3）分配律

　　（4）不滿足組合律

　　27、向量內積滿足乘法公式

　　29、向量內積的應用：

　　數學必背向量知識點5

　　平面向量

　　戴氏航天學校老師總結加法與減法的代數運算：

　　（1）若a=（x1，y1 ），b=（x2，y2 ）則a b=（x1+x2，y1+y2 ）。

　　向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

　　戴氏航天學校老師總結向量加法有如下規律：+= +（交換律）； +（ +c）=（ + ）+c （結合律）；

　　兩個向量共線的充要條件：

　　（1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= 。

　　（2）若=（），b=（）則‖b 。

　　平面向量基本定理：

　　若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，戴氏航天學校老師提醒有且只有一對實數，，使得= e1+ e2

　　高考數學必修四學習方法

　　養成良好的課前和課后學習習慣：在當前高中數學學習中，培養正確的學習習慣是一項重要的學習技能。雖然有一種刻板印象的猜疑，但在高中數學學習真的是反復嘗試和錯誤的。學生們不得不預習課本。我準備的數學教科書不是簡單的閱讀，而是一個例子，至少十分鐘的思考。在使用前不能通過學習知識解決問題的情況下，可以在教學內容中找到答案，然后在教材中考察問題的解決過程，掌握解決問題的思路。同時，在課堂上安排筆記也是必要的。在高中數學研究中，建議采用兩種形式的筆記，一種是課堂速記，另一種是課后筆記。這不僅提高了課堂記憶的吸收能力，而且有助于對筆記內容的查詢。

　　高考數學必修四學習技巧

　　養成良好的學習數學習慣

　　多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數學習慣包括課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。

　　及時了解、掌握常用的數學思想和方法

　　中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。

　　有了數學思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。

　　數學必背向量知識點6

　　【考綱解讀】

　　1、理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義；掌握向量加減與數乘運算及其意義；理解兩個向量共線的含義，了解向量線性運算的性質及其幾何意義。

　　2、了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算；理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

　　3、理解平面向量數量積的含義及其物理意義；了解平面向量數量積與向量投影的關系；掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

　　【考點預測】

　　高考對平面向量的考點分為以下兩類：

　　（1）考查平面向量的概念、性質和運算，向量概念所含內容較多，如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數乘、數量積等運算，高考中或直接考查或用以解決有關長度，垂直，夾角，判斷多邊形的形狀等，此類題一般以選擇題形式出現，難度不大。

　　（2）考查平面向量的綜合應用。平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角等內容交叉滲透，使數學問題的情境新穎別致，自然流暢，此類題一般以解答題形式出現，綜合性較強。

　　【要點梳理】

　　1、向量的加法與減法：掌握平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則，加法的運算律；

　　2、實數與向量的乘積及是一個向量，熟練其含義；

　　3、兩個向量共線的條件：平面向量基本定理、向量共線的坐標表示；

　　4、兩個向量夾角的范圍是：[0，π]

　　5、向量的數量積：熟練定義、性質及運算律，向量的模，兩個向量垂直的充要條件。

　　數學必背向量知識點7

　　1、基本概念：

　　向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

　　2、加法與減法的代數運算：

　　（1）若a=（x1，y1 ），b=（x2，y2 ）則a b=（x1+x2，y1+y2 ）、

　　向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

　　向量加法有如下規律：＋ = ＋（交換律）； +（ +c）=（ + ）+c （結合律）；

　　3、實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量。

　　（1）｜｜=｜｜｜｜；

　　（2）當 a＞0時，與a的方向相同；當a＜0時，與a的方向相反；當 a=0時，a=0、

　　兩個向量共線的充要條件：

　　（1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= 、

　　（2）若 =（），b=（）則 ‖b 、

　　平面向量基本定理：

　　若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使得 = e1+ e2、

　　4、P分有向線段所成的比：

　　設P1、P2是直線上兩個點，點P是上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數使 = ，叫做點P分有向線段所成的比。

　　當點P在線段上時，＞0；當點P在線段或的延長線上時，＜0；

　　分點坐標公式：若 = ；的坐標分別為（），（），（）；則（－1），中點坐標公式：、

　　5、向量的數量積：

　　（1）、向量的夾角：

　　已知兩個非零向量與b，作 = ， =b，則AOB= （）叫做向量與b的夾角。

　　（2）、兩個向量的數量積：

　　已知兩個非零向量與b，它們的夾角為，則 b=｜｜｜b｜cos 、

　　其中｜b｜cos 稱為向量b在方向上的投影、

　　（3）、向量的數量積的性質：

　　若 =（），b=（）則e = e=｜｜cos （e為單位向量）；

　　b b=0 （，b為非零向量）；｜｜= ；

　　cos = = 、

　　（4）、向量的數量積的運算律：

　　b=b（）b= （ b）= （ b）；（＋b）c= c+bc

　　6。主要思想與方法：

　　本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。

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