高考理科數學一輪復習直線及其方程學案帶答案
例1 已知兩點A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率．
一、選擇題(每小題5分，共25分)
10．(12分)(2011秦皇島模擬)已知線段PQ兩端點的坐標分別為(－1,1)、(2,2)，若直線l：x＋＋＝0與線段PQ有交點，求的范圍．
11．(14分)已知直線l：x－＋1＋2＝0 (∈R)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線不經過第四象限，求的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負半軸于A，交軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．
學案47 直線及其方程
自主梳理
1．(1)①正向 向上 0° ②0°≤α<180° (2)①正切值 tan α ②2－1x2－x1 2.(x2－x1，2－1) 3.Ax＋B＋C＝0
直線l上 4.－0＝(x－x0) ＝x＋b －12－1＝x－x1x2－x1 xa＋b＝1(a≠0，b≠0) Ax＋B＋C＝0(A、B不同時為0) 5.x1＋x22 1＋22
自我檢測
1．A 2.D 3.D 4 5.D
課堂活動區
例1 解題導引 斜率與傾斜角常與三角函數聯系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍．關鍵是熟練掌握好根據三角函數值確定角的范圍這一類題型．
解 設直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α，
由題意可知：tan 2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tan α1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tan α－3＝0.
解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0，
∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan>0，
故直線l的斜率為13.
變式遷移1 D [直線xsin α－＋1＝0的斜率是＝sin α，
又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤≤1.
當0≤≤1時，傾斜角的范圍是0，π4，
當－1≤<0時，傾斜角的范圍是3π4，π.]
例2 解題導引 (1)對直線問題，要特別注意斜率不存在的情況．
(2)求直線方程常用方法——待定系數法．
待定系數法就是根據所求的具體直線設出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數．
解 過點M且與x軸垂直的直線是軸，它和兩已知直線的交點分別是0，103和(0,8)，
顯然不滿足中點是點M(0,1)的條件．
故可設所求直線方程為＝x＋1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點，聯立方程組＝x＋1，x－3＋10＝0，①
＝x＋1，2x＋－8＝0，②
由①解得xA＝73－1，由②解得xB＝7＋2.
∵點M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73－1＋7＋2＝0，解得＝－14.
故所求直線方程為x＋4－4＝0.
變式遷移2 解 (1)設直線l在x，軸上的截距均為a，
若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)，
∴l的方程為＝23x，即2x－3＝0.
若a≠0，則設l的方程為xa＋a＝1，
∵l過點(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程為x＋－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3＝0或x＋－5＝0.
(2)由已知：設直線＝3x的傾斜角為α，
則所求直線的傾斜角為2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.
又直線經過點A(－1，－3)，
因此所求直線方程為＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4＋15＝0.
例3 解題導引 先設出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點的坐標，表示出△ABO的面積，然后利用相關的數學知識求最值．
確定直線方程可分為兩個類型：一是根據題目條件確定點和斜率或確定兩點，進而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質，先設出方程(含參數或待定系數)，再確定參數值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法．
解 設直線的方程為xa＋b＝1 (a>2，b>1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵2 2a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
當且僅當2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2時，S△AOB取最小值4，
此時直線l的.方程為x4＋2＝1，
即x＋2－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，變形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
當且僅當a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3時，|PA||PB|取最小值4.
此時直線l的方程為x＋－3＝0.
變式遷移3 解 如圖所示建立直角坐標系，則E(30,0)，F(0,20)，
∴線段EF的方程為x30＋20＝1(0≤x≤30)．
在線段EF上取點P(，n)，
作PQ⊥BC于點Q，
PR⊥CD于點R，設矩形PQCR的面積為S，
則S＝|PQ||PR|＝(100－)(80－n)．
又30＋n20＝1(0≤≤30)，
∴n＝20(1－30)．
∴S＝(100－)(80－20＋23)
＝－23(－5)2＋18 0503(0≤≤30)．
∴當＝5時，S有最大值，這時|EP||PF|＝30－55＝5.
所以當矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分EF成5∶1時，草坪面積最大．
例4 解題導引 解決這類問題的關鍵是弄清楚所求代數式的幾何意義，借助數形結合，將求最值問題轉化為求斜率取值范圍問題，簡化了運算過程，收到事半功倍的效果．
解 由＋3x＋2的幾何意義可知，它表示經過定點P(－2，－3)與曲線段AB上任一點(x，)的直線的斜率，由圖可知：
PA≤≤PB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤≤8，
故＋3x＋2的最大值為8，最小值為43.
變式遷移4 C
[如圖，過點M作軸的平行線與線段PQ相交于點N.
MP＝5，MQ＝－25.
當直線l從MP開始繞M按逆時針方向旋轉到MN時，傾斜角在增大，斜率也在增大，這時，≥5.當直線l從MN開始逆時針旋轉到MQ時，
∵正切函數在(π2，π)上仍為增函數，
∴斜率從－∞開始增加，增大到MQ＝－25，
故直線l的斜率范圍是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
課后練習區
1．B 2.B 3.B 4 5.D
6．－2 7.[34π，π) 8.x＋－5＝0
9．解 (1)當＝－1時，
直線AB的斜率不存在；(1分)
當≠－1時，＝1＋1.(3分)
(2)當＝－1時，AB的方程為x＝－1，(5分)
當≠－1時，AB的方程為－2＝1＋1(x＋1)，
即＝x＋1＋2＋3＋1.(7分)
∴直線AB的方程為x＝－1或＝x＋1＋2＋3＋1.
(8分)
(3)①當＝－1時，α＝π2；
②當≠－1時，
∵＝1＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
綜合①②，知直線AB的傾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解 直線x＋＋＝0恒過A(0，－1)點．(2分)
AP＝－1－10＋1＝－2，
AQ＝－1－20－2＝32，(5分)
則－1≥32或－1≤－2，
∴－23≤≤12且≠0.(9分)
又＝0時直線x＋＋＝0與線段PQ有交點，
∴所求的范圍是－23≤≤12.(12分)
11．(1)證明 直線l的方程是：(x＋2)＋(1－)＝0，
令x＋2＝01－＝0，解之得x＝－2＝1，
∴無論取何值，直線總經過定點(－2,1)．(4分)
(2)解 由方程知，當≠0時直線在x軸上的截距為－1＋2，在軸上的截距為1＋2，要使直線不經過第四象限，則必須有－1＋2≤－21＋2≥1，解之得>0；(7分)
當＝0時，直線為＝1，符合題意，故≥0.(9分)
(3)解 由l的方程，得A－1＋2，0，
B(0,1＋2)．依題意得－1＋2<0，1＋2>0，
解得>0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2|1＋2|
＝121＋22＝124＋1＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是>0且4＝1，
即＝12，
∴Sin＝4，此時l：x－2＋4＝0.(14分)
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