全集的高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)
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任意集合都可能是全集。當(dāng)研究一個(gè)特定集合的時(shí)候，這個(gè)集合就是全集。 若研究實(shí)數(shù)，則所有實(shí)數(shù)的集合實(shí)數(shù)線R就是全集。 這是康托爾在1870年代和1880年代運(yùn)用實(shí)分析第一次發(fā)展現(xiàn)代樸素集合論和集合的勢(shì)的時(shí)候默認(rèn)的全集。 康托爾一開始只關(guān)心 R的子集。
這種全集概念在文氏圖的應(yīng)用中有所反映。 在文氏圖中，操作傳統(tǒng)上發(fā)生在一個(gè)表示全集 U的大長(zhǎng)方形中。 集合通常表示為圓形，但這些集合只能是 U的子集。 集合 A的補(bǔ)集則為長(zhǎng)方形中表示 A的圓形的外面的部分。 嚴(yán)格地說，這是A對(duì) U的相對(duì)補(bǔ)集UA;但在 U是全集的場(chǎng)合下，這可以被當(dāng)成是 A的`絕對(duì)補(bǔ)集A。 同樣的，有空交集的概念，即零個(gè)集合的交集(指沒有集合，而不是空集)。 沒有全集，空交集將是所有東西組成的集合，這一般被認(rèn)為是不可能的;但有了全集，空交集可以被當(dāng)成是有條件(即U)下的所有東西組成的集合。
這種慣例在基于布爾格的代數(shù)方法研究基礎(chǔ)集合理論時(shí)非常有用。 但對(duì)公理化集合論的一些非標(biāo)準(zhǔn)形式并非如此，例如新基礎(chǔ)集合論，這里所有集合的類并不是布爾格，而僅僅是相對(duì)有補(bǔ)格。 相反，U的冪集，即 U的所有子集組成的集合，是一個(gè)布爾格。 上述的絕對(duì)補(bǔ)集是布爾格中的補(bǔ)運(yùn)算;而空交集 U則作為布爾格中的最大元(或空交)。 這里，適用于補(bǔ)運(yùn)算、交運(yùn)算和并運(yùn)算(集合論中的并集)的德·摩根律成立，而且對(duì)空交和空并(即空集)也成立。
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