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數學反證法與放縮法知識點

　　有些不等式無法利用題設的已知條件直接證明，我們可以用間接的方法——反證法去證明，即通過否定原結論——導出矛盾——從而達到肯定原結論的目的。下面是小編整理的數學反證法與放縮法知識點，歡迎大家閱讀。

數學反證法與放縮法知識點

　　放縮法的定義：

　　把原不等式放大或縮小成一個恰好可以化簡的形式，比較常用的方法是把分母或分子適當放大或縮小（減去或加上一個正數）使不等式簡化易證。

　　反證法證題的步驟：

　　若A成立，求證B成立。

　　共分三步：

　　（1）提出與結論相反的假設；如負數的反面是非負數，正數的反面是非正數即0和負數；

　　（2）從假設出發，經過推理，得出矛盾；（必須由假設出發進行推理否則不是反證法或證錯）；

　　（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.矛盾：與定義、公理、定理、公式、性質等一切已有的結論矛盾甚至自相矛盾。

　　反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個數學命題時，如果運用直接證明法比較困難或難以證明時，可運用反證法進行證明。

　　放縮法的意義：

　　放縮法理論依據是不等式的傳遞性：若,a<b,b<c，則a<c.

　　放縮法的操作：

　　若求證P<Q，先證P<P1<P2<…<Pn,再證恰有Pn<,高考;Q.

　　需注意：

　　（1）只有同方向才可以放縮，反方向不可。

　　（2）不能放（縮）得太大（小），否則不會有最后的Pn<Q.

　　數學反證法與放縮法知識點 1

　　反證法

　　反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。

　　反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩個;唯一/至少有兩個。

　　歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設矛盾;自相矛盾。

　　證明步驟

　　反證法的證明主要用到“一個命題與其逆否命題同真假”的結論，為什么？這個結論可以用窮舉法證明：

　　已知某命題：若A，則B，則此命題有4種情況：

　　1.當A為真，B為真，則AB為真，得BA為真；

　　2.當A為真，B為假，則AB為假，得BA為假；

　　3.當A為假，B為真，則AB為真，得BA為真；

　　4.當A為假，B為假，則AB為真，得BA為真；

　　∴一個命題與其逆否命題同真假。

　　即反證法是正確的。

　　假設B，推出A，就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的。

　　但實際推證的過程中，推出A是相當困難的，所以就轉化為了推出與A相同效果的內容即可。這個相同效果就是與A（已知條件）矛盾，或是與已知定義、定理、大家都知道的事實等矛盾。