高一數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)的知識點
在我們的學(xué)習(xí)時代，不管我們學(xué)什么，都需要掌握一些知識點，知識點在教育實踐中，是指對某一個知識的泛稱。掌握知識點有助于大家更好的學(xué)習(xí)。以下是小編為大家收集的高一數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)的知識點，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
高一數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)的知識點1
1.不等式的定義：a-bb，a-b=0a=b，a-b0a
①其實質(zhì)是運用實數(shù)運算來定義兩個實數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。
②可以結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個熟悉的知識背景，來認識作差法比大小的理論基礎(chǔ)是不等式的性質(zhì)。
作差后，為判斷差的符號，需要分解因式，以便使用實數(shù)運算的符號法則。
2.不等式的性質(zhì)：
①不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運算性質(zhì)兩部分。
不等式基本性質(zhì)有：
(1)abb
(2)acac(傳遞性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0時，abc
c0時，abac
運算性質(zhì)有：
(1)ada+cb+d。
(2)a0，c0acbd。
(3)a0anbn(nN，n1)。
(4)a0N，n1)。
應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：和即推出關(guān)系和等價關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。
②關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察，主要有以下三類問題：
(1)根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。
(2)利用不等式的性質(zhì)及實數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實數(shù)值的大小。
(3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。
高一數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)的知識點2
一、目標與要求
1.感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式和一元一次不等式的意義，通過解決簡單的實際問題，使學(xué)生自發(fā)地尋找不等式的解，會把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程，經(jīng)歷探究不等式解與解集的不同意義的過程，滲透數(shù)形結(jié)合思想;
3.通過對不等式、不等式解與解集的探究，引導(dǎo)學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論，培養(yǎng)他們的合作交流意識;讓學(xué)生充分體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域。
三、重點
1.理解并掌握不等式的性質(zhì);
2.正確運用不等式的性質(zhì);
3.建立方程解決實際問題，會解ax+b=cx+d類型的一元一次方程;
4.尋找實際問題中的不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型;
5.一元一次不等式組的解集和解法。
四、難點
1.一元一次不等式組解集的理解;
2.弄清列不等式解決實際問題的思想方法，用去括號法解一元一次不等式;
3.正確理解不等式、不等式解與解集的意義，把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上。
五、知識點、概念總結(jié)
1.不等式：用符號，，，表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。
2.不等式分類：不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。
一般地，用純粹的大于號、小于號，連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號(大于或等于號)、不大于號(小于或等于號)，連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。
3.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。
4.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。
5.不等式解集的表示方法：
(1)用不等式表示：一般的，一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式表達出來，例如：x-12的解集是x3
(2)用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地說明不等式有無限多個解，用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點：一是定邊界線;二是定方向。
6.解不等式可遵循的一些同解原理
(1)不等式F(x)G(x)與不等式G(x)F(x)同解。
(2)如果不等式F(x)G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，那么不等式F(x)G(x)與不等式H(x)+F(x)
(3)如果不等式F(x)G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，并且H(x)0，那么不等式F(x)G(x)與不等式H(x)F(x)0，那么不等式F(x)G(x)與不等式H(x)F(x)H(x)G(x)同解。
7.不等式的性質(zhì)：
(1)如果xy，那么yy;(對稱性)
(2)如果xy，y那么x(傳遞性)
(3)如果xy，而z為任意實數(shù)或整式，那么x+z(加法則)
(4)如果xy，z0，那么xz如果xy，z0，那么xz
(5)如果xy，z0，那么xzy如果xy，z0，那么xz
(6)如果xy，mn，那么x+my+n(充分不必要條件)
(7)如果x0，m0，那么xmyn
(8)如果x0，那么x的n次冪y的n次冪(n為正數(shù))
8.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。
9.解一元一次不等式的一般順序：
(1)去分母(運用不等式性質(zhì)2、3)
(2)去括號
(3)移項(運用不等式性質(zhì)1)
(4)合并同類項
(5)將未知數(shù)的系數(shù)化為1(運用不等式性質(zhì)2、3)
(6)有些時候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集
10.一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合運用：
一般先求出函數(shù)表達式，再化簡不等式求解。
11.一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一一起，就組成了一個一元一次不等式組。
12.解一元一次不等式組的步驟：
(1)求出每個不等式的解集;
(2)求出每個不等式的解集的公共部分;(一般利用數(shù)軸)
(3)用代數(shù)符號語言來表示公共部分。(也可以說成是下結(jié)論)
13.解不等式的訣竅
(1)大于大于取大的(大大大);
例如：X-1，X2，不等式組的解集是X2
(2)小于小于取小的(小小小);
例如：X-4，X-6，不等式組的解集是X-6
(3)大于小于交叉取中間;
(4)無公共部分分開無解了;
14.解不等式組的口訣
(1)同大取大
例如，x2，x3，不等式組的解集是X3
(2)同小取小
例如，x2，x3，不等式組的解集是X2
(3)大小小大中間找
例如，x2，x1，不等式組的解集是1
(4)大大小小不用找
例如，x2，x3，不等式組無解
15.應(yīng)用不等式組解決實際問題的步驟
(1)審清題意
(2)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組
(3)解不等式組
(4)由不等式組的解確立實際問題的解
(5)作答
16.用不等式組解決實際問題：其公共解不一定就為實際問題的解，所以需結(jié)合生活實際具體分析，最后確定結(jié)果。
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1.不等式性質(zhì)比較大小方法：
(1)作差比較法
(2)作商比較法
不等式的基本性質(zhì)
①對稱性：a>bb>a
②傳遞性:a>b，b>ca>c
③可加性:a>ba+c>b+c
④可積性:a>b，c>0ac>bc
⑤加法法則:a>b，c>da+c>b+d
⑥乘法法則：a>b>0，c>d>0ac>bd
⑦乘方法則：a>b>0，an>bn(n∈N)
⑧開方法則：a>b>0
2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：
(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時等號)
(2)如果a、b∈R+，那么(當且僅當a=b時等號)推廣：
如果為實數(shù)，則重要結(jié)論
(1)如果積xy是定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S，那么當x=y時，和xy有最大值S2/4。
3.證明不等式的常用方法：
比較法：比較法是最基本、最重要的方法。
當不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法;當不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小，
則選擇作商比較法;碰到絕對值或根式，我們還可以考慮作平方差。
綜合法：從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的'放縮經(jīng)常用到均值不等式。
分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。
4.不等式的解法
(1)不等式的有關(guān)概念同解不等式：兩個不等式如果解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式。同解變形：一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。提問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形去分母、去括號、移項、合并同類項
(2)不等式ax>b的解法①當a>0時不等式的解集是{x|x>b/a};②當a<0時不等式的解集是{x|x
(3)一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系
(4)絕對值不等式|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，幾何表示為：oo-a0a小結(jié)：解絕對值不等式的關(guān)鍵是-去絕對值符號(整體思想，分類討論)轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，
通常有下列三種解題思路：
(1)定義法：利用絕對值的意義，通過分類討論的方法去掉絕對值符號;
(2)公式法：|f(x)|>af(x)>a或f(x)<-a;|f(x)|<a-a
(3)平方法：|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2;|f(x)|<a(a>0)f2(x)<a2;
(4)幾何意義
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法數(shù)軸標根法把不等式化為f(x)>0(或<0)的形式(首項系數(shù)化為正)，然后分解因式，再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標出來，從右邊入手畫線，最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。
(7)含有絕對值的不等式定理：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|?|a|-|b|≤|a+b|中當b=0或|a|>|b|且ab<0等號成立?|a+b|≤|a|+|b|中當且僅當ab≥0等號成立推論1：|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|推廣：|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|推論2：|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
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1、不等式及其解集
用“<”或“>”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。
使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式解的集合，簡稱解集。
含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。
2、不等式的性質(zhì)
不等式有以下性質(zhì)：
不等式的性質(zhì)1不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。
不等式的性質(zhì)2不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。
不等式的性質(zhì)3不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。
3、實際問題與一元一次不等式
解一元一次方程，要根據(jù)等式的性質(zhì)，將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式，則要根據(jù)不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化為xa)的形式。
4、一元一次不等式組
把兩個不等式合起來，就組成了一個一元一次不等式組。
幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。
對于具有多種不等關(guān)系的問題，可通過不等式組解決。解一元一次不等式組時。一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集。
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1、不等式的解集
(1)一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。
(2)不等式解集的表示方法：
①用不等式表示
②用數(shù)軸表示：大于向右畫，小于向左畫，有等號的畫實心圓點，無等號的畫空心圓圈。
③求不等式解集的過程，就是解不等式。
2、求不等式組的解集的方法
(1)把各個不等式的解集表示在數(shù)軸上，觀察公共部分。
(2)不等式組的解集不外乎以下4種情況：
若a<b，<p="">
當x>b時;(同大取大)
當x<a時;(同小取小)<p="">
當a<x<b時;(大小小大中間找)<p="">
當xb時無解，(大大小小無處找)
3、怎么在數(shù)軸上表示不等式的解集
1、確定不等式解集的起點
在表示解集時，“≥”和“≤”要用實心圓點表示;“<”和“>”要用空心圓點表示。
2、確定不等式解集的方向
若是“>”和“≥”向右畫，“<”和“≤”向左畫。
3、確定不等式解集的方向
若是“>”和“<”兩條線相向時應(yīng)該連成閉合范圍，否則是開放范圍。
滿足所有不等式的范圍就是在數(shù)軸上表示的不等式解集。
4、舉例說明
(1)如不等式的解集為x>3，在數(shù)軸“3”上畫一個空心圓點，從這個空心圓點開始往上畫一段垂直線，并向右邊畫一條與數(shù)軸平行的直線，就表示x>3。
(2)如不等式的解集為x≥3，在數(shù)軸“3”上畫一個實心圓點，后續(xù)步驟依此類推。
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