相似形的中學(xué)生數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料
知識(shí)點(diǎn)：
一、比例線(xiàn)段
1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是a：b＝m：n
2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線(xiàn)段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。
說(shuō)明：求兩條線(xiàn)段的比時(shí)，對(duì)這兩條線(xiàn)段要用同一單位長(zhǎng)度。
3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，
4、比例外項(xiàng)：在比例
（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。
5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例
（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。
6、第四比例項(xiàng)：在比例
（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。
7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為a:b=b:d時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。
8、比例線(xiàn)段：在四條線(xiàn)段中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么，這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段。
9、比例的基本性質(zhì)：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d
10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。
11、合比性質(zhì)：如果
那么
12、等比性質(zhì)：如果
那么
說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。
13、黃金分割把一條線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，使較長(zhǎng)的線(xiàn)段是原線(xiàn)段與較小的線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線(xiàn)段黃金分割。
說(shuō)明：把一條線(xiàn)段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上截取這條線(xiàn)段的
倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。
二、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例
1、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其它直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等。
格式：如果直線(xiàn)
， AB＝ BC，
那么：
，如圖4－l
說(shuō)明：由此定理可知推論1和推論2
推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線(xiàn)必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC
推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊。
格式，如果△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—3
2、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。
說(shuō)明：平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比問(wèn)定理的特殊情況。
3、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。
說(shuō)明1：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可用形象的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。如圖4—4
說(shuō)明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線(xiàn)段的位置關(guān)系依然存在。
4、三角形一邊的平行線(xiàn)的判定定理。如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。
5、三角形一邊的平行線(xiàn)的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線(xiàn)，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。
6、線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線(xiàn)段上的一個(gè)點(diǎn)，將線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)。
7、線(xiàn)段的外分點(diǎn)：在一條線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做這條線(xiàn)段的外分點(diǎn)。
說(shuō)明：外分點(diǎn)分線(xiàn)段所得的兩條線(xiàn)段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線(xiàn)段。
三、相似三角形
1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。
說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。
2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的`直線(xiàn)和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書(shū)把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。
4、三角形相似的判定定理：
（1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。
（2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。
（3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。
說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相似。
第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。
第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。
第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形．相似。
5、相似三角形的性質(zhì)：
（1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比。
（2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比。
（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。
6、介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形：
（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角形。
（2）共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角三角形，如圖4－6
（3）公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做公邊共角三角形。
說(shuō)明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線(xiàn)上的兩邊的乘積：如圖4—7若△ACD
△ABC，則
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