經(jīng)典的小學(xué)奧數(shù)行程問題及詳解
在行程問題中，當(dāng)考慮兩人或兩個物體運動時，就有"相向"、"同向"、"背向"這三種情況。"相向而行"是指兩者面對面地行進(jìn)，其距離越來越近;"同向而行"是指兩者的運動方向相同;"背向而行"是指兩者背對背行進(jìn)。如果兩人或兩個物體相向而行，到一定時間就會相遇;相遇后仍按原方向行進(jìn)，就會變成背向而行。總之，相向而行與背向而行，其運動方向都是相反的，所以我們可作如下分類：
兩人(物體)運動
如果運動路線不是直線，而是一個圓圈(比如我們在操場上進(jìn)行環(huán)形賽跑)，情況就要復(fù)雜一些。這時兩人(或物體)如果面對面跑，那么也就是背對背跑，這兩人(或物體)的距離會有"增加--減少--增加--減少--增加……"的現(xiàn)象;如果不是面對面跑，而是同向跑，那么速度快的，就會比速度慢的先多跑1圈，然后多跑2圈，3圈，……。這兩人(或物體)的距離也會有"增加--減少--增加--減少--增加……"的現(xiàn)象。對于這些情況，只要到操場上試一試或在紙上畫幅圖分析一下，就可以明白。
在行程問題中還有一類順逆航行的問題。如果航行的工具是輪船，那么常用的相等關(guān)系是：
順?biāo)俣?靜水速度+水流速度;
逆水速度=靜水速度-水流速度。
如果航行的工具是飛機(jī)，那么常用的相等關(guān)系是：
順風(fēng)速度=無風(fēng)時飛機(jī)速度+風(fēng)速;
逆風(fēng)速度=無風(fēng)時飛機(jī)速度-風(fēng)速。
【例1】一條環(huán)形跑道長400米。甲練習(xí)騎自行車，平均每分鐘行駛550米;乙練習(xí)長跑，平均每分鐘跑250米。兩人同時、同地、同向出發(fā)，經(jīng)過多少時間，兩人首次相遇?
分析本題是行程問題的追及問題。它有兩個相等關(guān)系：
甲的路程-乙的路程=環(huán)形跑道-圓的周長;
甲用的時間=乙用的時間。
解答設(shè)經(jīng)過x分鐘兩人首次相遇。根據(jù)題意，得方程
550x-250x=400。
解這個方程，得x=1。
答：經(jīng)過1分鐘，甲、乙兩人首次相遇。
說明在追及問題中常用的等量關(guān)系是：
(1)若甲、乙同地出發(fā)，甲先行，則乙追上甲時有：
甲所走的路程=乙所走的路程;
甲所用的時間=乙所用的時間+甲先行的時間。
(2)若甲、乙同時不同地出發(fā)，甲在乙后面，則甲追上乙時有：
甲所走的路程=乙所走的路程+甲、乙出發(fā)時的距離;
甲所用的時間=乙所用的.時間。
【例2】一架飛機(jī)飛行在兩城市之間。風(fēng)速為24千米/時，順風(fēng)飛行需要2小時50分，逆風(fēng)飛行需要3小時。求兩個城市之間的飛行路程。
分析一、(設(shè)直接未知數(shù))設(shè)兩個城市之間的飛行路程為x千米，則順、逆風(fēng)飛行的路程都是x千米，順風(fēng)飛行的速度為千米/時，逆風(fēng)飛行的速度為千米/時。所以，應(yīng)該在速度這個量上找相等關(guān)系：
∵順風(fēng)機(jī)速-風(fēng)速=無風(fēng)機(jī)速;
逆風(fēng)機(jī)速+風(fēng)速=無風(fēng)機(jī)速，
∴順風(fēng)機(jī)速-風(fēng)速=逆風(fēng)機(jī)速+風(fēng)速。即-24=+24。
二、(設(shè)間接未知數(shù))設(shè)無風(fēng)時的機(jī)速為x千米/時，則順風(fēng)機(jī)速為(x+24)千米/時，逆風(fēng)機(jī)速為(x-24)千米/時。又因為時間是已知量，有x和已知量可表示順、逆飛行的路程，它們應(yīng)相等。
解法一設(shè)兩個城市之間的飛行路程為x千米。根據(jù)題意，得
-24=+24。
解這個方程，得x=2448。
答：兩個城市之間的飛行路程為2448千米。
解法二設(shè)無風(fēng)時飛行的機(jī)速為x千米/時。根據(jù)題意，得
2(x+4)=3(x-4)。
解這個方程，得x=840。
3(x-4)=3(840-4)=2448。
答：兩個城市之間的飛行路程為2448千米。
說明有關(guān)船只航行問題可仿此分析解決。
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