四年級奧數基礎：頁碼問題

　　顧名思義，頁碼問題與圖書的頁碼有密切聯系。事實上，頁碼問題就是根據書的頁碼而編制出來的一類應用題。

　　編一本書的頁碼，一共需要多少個數碼呢?反過來，知道編一本書的頁碼所需的數碼數量，求這本書的頁數。這是頁碼問題中的兩個基本內容。

　　為了順利地解答頁碼問題，我們先看一下“數”與“組成它的數碼個數”之間的關系。一位數共有9個，組成所有的一位數需要9個數碼;兩位數共有90個，組成所有的兩位數需要2×90=180(個)數碼;三位數共有900個，組成所有的三位數需要3×900=2700(個)數碼……為了清楚起見，我們將n 位數的個數、組成所有n位數需要的數碼個數、組成所有不大于n位的數需要的數碼個數之間的'關系列表如下：

　　由上表看出，如果一本書不足100頁，那么排這本書的頁碼所需的數碼個數不會超過189個;如果某本書排的頁碼用了10000個數碼，因為

　　2889<10000<38889，所以這本書肯定是上千頁。

　　下面，我們看幾道例題。

　　例1一本書共204頁，需多少個數碼編頁碼?

　　分析與解：1～9頁每頁上的頁碼是一位數，共需數碼

　　1×9=9(個);

　　10～99頁每頁上的頁碼是兩位數，共需數碼

　　2×90=180(個);

　　100～204頁每頁上的頁碼是三位數，共需數碼

　　(204-100+1)×3=105×3=315(個)。

　　綜上所述，這本書共需數碼

　　9+180+315=504(個)。

　　例2一本小說的頁碼，在排版時必須用2211個數碼。問：這本書共有多少頁?

　　分析：因為189<2211<2889，所以這本書有幾百頁。由前面的分析知道，這本書在排三位數的頁碼時用了數碼(2211-189)個，所以三位數的頁數有

　　(2211-189)÷3=674(頁)。

　　因為不到三位的頁數有99頁，所以這本書共有

　　99+674=773(頁)。

　　解：99+(2211--189)÷3=773(頁)。

　　答：這本書共有773頁。

　　例3一本書的頁碼從1至62、即共有62頁。在把這本書的各頁的頁碼累加起來時，有一個頁碼被錯誤地多加了一次。結果，得到的和數為2000。問：這個被多加了一次的頁碼是幾?

　　分析與解：因為這本書的頁碼從1至62，所以這本書的全書頁碼之和為

　　1+2+…+61+62

　　=62×(62+1)÷2

　　=31×63

　　=1953。

　　由于多加了一個頁碼之后，所得到的和數為2000，所以2000減去1953就是多加了一次的那個頁碼，是

　　2000--1953=47。

　　例4有一本48頁的書，中間缺了一張，小明將殘書的頁碼相加，得到1131。老師說小明計算錯了，你知道為什么嗎?

　　分析與解：48頁書的所有頁碼數之和為

　　1+2+…+48

　　=48×(48+1)÷2

　　=1176。

　　按照小明的計算，中間缺的這一張上的兩個頁碼之和為1176--1131=45。這兩個頁碼應該是22頁和23頁。但是按照印刷的規定，書的正文從第 1頁起，即單數頁印在正面，偶數頁印在反面，所以任何一張上的兩個頁碼，都是奇數在前，偶數在后，也就是說奇數小偶數大。小明計算出來的是缺22頁和23 頁，這是不可能的。

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