七年級下數學經驗歸納法競賽輔導資料
甲內容提要
1.通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。
通過有限的幾個特例，觀察其一般規律，得出結論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經驗歸納法。例如
①由(-1)2=1，(-1)3=-1，(-1)4=1，……，
歸納出-1的奇次冪是-1，而-1的偶次冪是1。
②由兩位數從10到99共90個(9×10)，
三位數從100到999共900個(9×102)，
四位數有9×103=9000個(9×103)，
…………
歸納出n位數共有9×10n-1 (個)
③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推斷出從1開始的n個連續奇數的和等于n2等。
可以看出經驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進的階梯。
2. 經驗歸納法是通過少數特例的試驗，發現規律，猜想結論，要使規律明朗化，必須進行足夠次數的試驗。
由于觀察產生的片面性，所猜想的結論，有可能是錯誤的，所以肯定或否定猜想的`結論，都必須進行嚴格地證明。(到高中，大都是用數學歸納法證明)
乙例題
例1平面內n條直線，每兩條直線都相交，問最多有幾個交點?
解：兩條直線只有一個交點，12
第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個交點，得1+23
第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個交點，得1+2+3
第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個交點，得1+2+3+4
………
第n條直線和前n-1條直線都相交，增加了n-1個交點
由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點1+2+3+……n-1(個)，
這里n≥2，其和可表示為[1+(n+1)]×, 即個交點。
例2.符號n!表示正整數從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如
5!=1×2×3×4×5。試比較3n與(n+1)!的大小(n是正整數)
解：當n=1時，3n=3, (n+1)!=1×2=2
當n=2時，3n=9， (n+1)!=1×2×3=6
當n=3時，3n=27, (n+1)!=1×2×3×4=24
當n=4時，3n=81, (n+1)!=1×2×3×4×5=120
當n=5時，3n=243, (n+1)!=6!=720 ……
猜想其結論是：當n=1，2，3時，3n>(n+1)!，當n>3時3n<(n+1)!。
例3 求適合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解。
分析：這2003個正整數的和正好與它們的積相等，要確定每一個正整數的值，我們采用經驗歸納法從2個，3個，4個……直到發現規律為止。
解：x1+x2=x1x2的正整數解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整數解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想結論是：適合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解為x1=x2=x3=……=x2001=1, x2002=2， x2003=2003。
丙練習
1.除以3余1的正整數中，一位數有__個，二位數有__個，三位數有__個，n位數有____個。
2.十進制的兩位數可記作10a1+a2,三位數記作100a1+10a2+a3,四位數記作____，n位數___記作______
3.由13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43
=(___)2,13+______=152，13+23+…+n3=()2。
4.用經驗歸納法猜想下列各數的結論(是什么正整數的平方)
①=(___)2;;-=( __)2。
②=(____)2;=(___)2
5.把自然數1到100一個個地排下去：123……91011……99100
①這是一個幾位數?②這個數的各位上的各個數字和是多少
6.計算+++…+=
(提示把每個分數寫成兩個分數的差)
7.a是正整數，試比較aa+1和(a+1)a的大小.
8..如圖把長方形的四條邊涂上紅色，然
后把寬3等分，把長8等分，分成24個
小長方形，那么這24個長方形中，
兩邊涂色的有__個，一邊涂色的有__個，四邊都不著色的有__個。
本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大于1的自然數)那么這mn個長方形中，兩邊涂色的有__個，一邊涂色的有__個，四邊都不著色的有__個
9.把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分，切成64個小正方體，那么這64個中，三面涂色的有__個，兩面涂色的有___個，一面涂色的有___個，四面都不涂色的有____個。
本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分，(m,n,p都是大于2的自然數)那么這mnp個正方體中，三面涂色的有___個，兩面涂色的有___個，一面涂色的有____個，四面都不涂色的有_____個。
10.一個西瓜按橫，縱，垂直三個方向各切三刀，共分成___塊，其中不帶皮的有__塊。
11.已知兩個正整數的積等于11112222，它們分別是___，___。
丙答案
1.3，30，3×102，3×10n-1
2.10n-1a1+10n-2a2_+……+10an-1+an
4.①333332, ②，
5.①192位，②901位(50個18，加上1)
6. ∵=- ……
7.a=1,2時，aa+1<(a+1)a……
8.4,14,6;4,2m+2n-8,(m-2)(n-2)
9.8,24,24,8;
8，4×[(m-2)+(n-2)+(p-2)],2[(m-2)(n-2)+(m-2)](p-2)+(n-2)(p-2)],
(m-2)(n-2)(p-2)
10.64,8
11.3334
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