高考專屬數學復習資料

　　出入相補原理

　　我國古代幾何學不僅有悠久的歷史，豐富的內容，重大的成就，而且有一個具有我國自己的獨特風格的體系，和西方的歐幾里得體系不同。這一幾何體系的全貌還有待于發掘清理，本文僅就出入相補原理這一局部方面，就所知提出幾點，主要根據是流傳至今的以下各經典著作：

　　《周髀算經》（簡稱《周髀》），

　　《九章算術》（簡稱《九章》），

　　劉徽《九章算術注》（簡稱《劉注》），

　　《海島算經》（簡稱《海島》），

　　趙爽《日高圖說》和《勾股圓方圖說》（簡稱《日高說》和《勾股說》）。

　　田畝丈量和天文觀測是我國幾何學的主要起源，這和外國沒有什么不同，二者導出面積問題和勾股測量問題。稍后的計算容器容積、土建工程又導出體積問題。

　　我國古代幾何學的特色之一是，依據這些方面的經驗成果，總結提高成一個簡單明白、看起來似乎極不足道的一般原理──出入相補原理，并且把它應用到形形色色多種多樣的不同問題上去。

　　以下將列舉這些不同的應用。

　　簡單應用和比例理論

　　所謂出入相補原理，用現代語言來說，就是指這樣的明顯事實：一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關系。立體的情形也是這樣。

　　應用這一原理，容易得出三角形面積等于高底相乘積的一半這一通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另一簡單實例，可以觀察左圖，如果看作把△ACD移置△ACB處，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相補原理有：

　　Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，……（指面積相等）

　　由此得

　　PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……

　　而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……

　　因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……

　　就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相應勾股成比例。并且可以導出其他相應部分的比例關系。

　　以上這些極簡單的結果雖然沒有在《九章》中明白說出，但是曾經多處用這些關系來解決各種具體問題，參看《劉注》。

　　測望術和重差理論

　　在《周髀》中，就有用兩表測日影以求日高的方法，計算的公式是：

　　見上圖，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后兩表，DH和FI是日影。《海島》改測日高為測海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，于是日高公式成為：

　　劉徽證明和所用的圖都已經失傳，但是據現存《日高說》和殘圖以及其他佐證，原證當大致如下：

　　由出入相補原理，得

　　□JG＝□GB，（1）

　　□KE＝□EB，（2）

　　相減得 □JG－□KE＝□GD，

　　所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，

　　即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。

　　這就得到上述公式。

　　按《海島》共九題都屬測望之類，所得公式分母上都有兩測的差，“重差”這一名稱可能由此而來。其余八題公式都可依出入相補原理用和上面類似的方法證明，現在從略。

　　元朱世杰《四元玉鑒》中有和《海島》完全類似的幾個題，朱世杰對這些題的解法應該有古代相傳下來的一定來歷。依據朱對海島一題的解法，我們認為原證比上面所示的可能稍復雜一些。如下圖，現在重作證明如下：

　　由出入相補原理，除（1）、（2）外又有

　　□PG＝□GD，（3）

　　由（1）、（2）、（3）得

　　□JN＝□EB＝□KE，

　　所以MI＝DH，（4）

　　FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。

　　由（3）式就得到海島公式。

　　如果依照歐幾里得幾何體系的習慣證法，那就自然應該添一平行線GM＇‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數學史家大都依這一方法補作海島公式的證明，這當然不是劉徽的原意，也和我國古代幾何的傳統相違背。注意作平行線的時候應有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。

　　明末耶穌會傳教士利瑪竇（1552—1610）來我國，他的主要學術工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測量法義》一書，其中載有和海島題完全類似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點M使（4）式成立，再用比例理論作證，見本頁上圖。按常理來說，利瑪竇應該作平行線而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國古代傳統不謀而合，頗使人迷惑不解。現在提出這一問題，希望大家共同探討。

　　勾股定理

　　在《周髀》和《九章》中，都已經明確給出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。雖然原證不傳，但是據《勾股說》以及《劉注》，都依出入相補原理證明，并且有遺留到現在可以用來作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應該大致如下：

　　如下圖所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。

　　歐幾里得《幾何原本》中勾股定理的證明如下圖所示，其中要先證有關三角形全等形以及三角形面積的一些定理，為此要作不少準備工作，因而在《幾何原本》中直到卷一之末出現這一定理，而在整個《幾何原本》中幾乎沒有用到。而在我國，勾股定理在《九章》中已經有多種多樣的應用，成為兩千來年數學發展的一個重要出發點，參閱以下各節和文末附表。

　　在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所占的地位是頗不相同的。

　　勾、股、弦和它們的和差互求

　　勾、股、弦和它們之間的和差共九個數，只須知道其中的二個就可以求得其他幾個。

　　除勾、股、弦互求就是開平方之外，《九章》勾股章中有不少這方面的問題：

　　第一，知股弦差、勾，求股、弦（五題）；

　　第二，知勾股差、弦，求勾、股（一題）；

　　第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一題）；

　　第四，知股弦和、勾，求股、弦（一題）。

　　各題都列出了一般公式，《勾股說》的許多命題也屬這一類，《劉注》還給出了證明，公式的來歷和證明的方法都依據出入相補原理，有的也用比例原理作別證。

　　試以勾股章第十三折竹題為例。題設竹高已知，竹在某處折斷，竹梢著地，著地處和竹根距離也已知。求折斷處的高度，見上圖。如果以竹梢著地處和竹根的距離作為勾，就是從股弦和、勾求股的問題，《九章》原文給出的公式是：

　　股弦差＝勾2/股弦和，

　　《劉注》又給出了另一公式：

　　為了證明前一公式，可以考慮上圖，其中正方形ABCD和AEFG的邊各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面積應該等于勾2。現在把□FD如圖移到□CH，那么依出入相補原理，□BH的面積是勾2，而它的邊長各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。

　　另一公式的劉徽證明也相類似。試考察下圖，其中右下角曲尺部分的面積依勾股定理等于勾2，所以粗黑線圍成部分的面積等于股弦和2－勾2。把長方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相補原理，這一面積是斜線部分面積的兩倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。

　　秦九韶公式

　　秦九韶《數書九章》中有一題是已知不等邊三角形田地三邊的長（稱大斜、中斜、小斜，以下簡記為大、中、�。�，求田地面積。秦九韶的解法相當于下面的一般公式：

　　秦的公式來歷不明，證明也失傳了。

　　現在補作一證如下：

　　作大斜上的高分大斜成兩部分，作為勾股形的股和弦，見上圖。由

　　求高，或怎樣求股。由于

　　股弦和＝大，

　　勾2＝弦2－股2＝中2－小2，

　　所以問題歸結為怎樣從股弦和、勾求股。

　　依上節的劉徽公式，得

　　由此就得到秦的公式。

　　按秦公式的形式十分古怪，當是依某種思路自然引導到這一形式的。

　　上面的證法頗為自然，也符合我國古代幾何的傳統特色，說它是原證，也是不無可能的。

　　在西方有所謂海倫公式（a、b、c是三角形三邊的長）：

　　三角形面積＝

　　這一公式形式十分漂亮。正因為這樣，如果已知海倫公式而再來推出秦的公式，將是不可思議的。相反，從秦的公式化簡成海倫的公式，卻是比較自然的發展。

　　據此我們至少可以斷言，秦的公式是獨立于海倫公式而得來的。

　　關于海倫的生平，從公元前二世紀到公元后十世紀以后，數學史家聚訟紛紜。至于海倫留傳到現在的著作，也已經人指出，歷代都經過重新編纂，有所增改，已經不是本來面目。這是熟悉希臘數學史的應予澄清的事，這里就不考慮了。

　　開平、立方

　　從勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再開平方就得弦。因而勾股定理的應用自然導致開平方的問題。

　　事實上，《周髀》中已經給出了若干具體數目的平方根，而在《九章》中，更詳細說明了開平方的具體方法步驟。這一方法的根據是幾何的，就是出入相補原理。

　　試以求55225的平方根為例。這相當于已知正方形ABCD的面積是55225，求邊AB的長，見上圖。按我國記數用十進位位值制。因AB顯然是一個百位數，所以求AB的方法就是依次求出百位數字、十位數字和個位數字。先估計（《九章》中用“議”字）百位數字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的邊EF的兩倍稱為“定法”。把AEFG從ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面積是55225－2002＝15225。其次估計十位數字是3，在EB上截取EH＝30，并且補成正方形AHIJ。從AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面積依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以從ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面積是

　　15225－（2×30×200＋302）＝2325。

　　現在再估計個位數字是5，在HB上截取HK＝5，并補作正方形AKLM，從ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面積和前同法應該是

　　2325－（2×5×230＋522）＝0。

　　由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。

　　求立方根的方法步驟和這相似，但是要把一立方體逐步進行分解，比平方根求法稍復雜，所依據的仍是出入相補原理，這在《九章》中也有詳細敘述。

　　我國開平立方法來源很古，它的幾何本質十分清晰，而且方法上可以看出我國獨有而世界古代其他民族所無的位值制記數法的高度優越性。不僅這樣，至遲到十一世紀中葉，我國就已經把開平立方法推廣到開任何高次冪，就是所謂“增乘開方法”，并且出現了有關的二項式定理系數表，就是所謂“開方作法本源圖”。從這一方法的幾何淵源看來，如果說當時我國數學家已經有高維方體和高維幾何的稚影，似乎不是全無根據的。

　　解二次方程

　　在開平方的過程中，曾經出現像第84頁下圖中黑線部分那樣的圖形，其中2×EF稱定法。開平方在求得AE以后，其次幾步在于從曲尺形EBCDGF的已知面積求得EB。現在把□DF移到□CH，那么依出入相補原理，□BH面積已知，此外□BH的兩邊EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知數值。因而求EB的問題可以轉化為下面的問題：

　�。ˋ）已知一長方形（□BH）的面積、長闊差，求長闊。

　　反過來，這一問題的解法，可依開平方中第二步以下的方法求得，稱為“開帶從平方”。這在《九章》以來是用下面的語句來表達的。

　�。˙）“以‘長方形面積’為實，‘長闊差’為從法，開方除之，得‘闊’”。

　　以上“從法”一名，當來自開平方過程中的“定法”，“開方”一詞也說明了它的來歷。

　　下面的例取自《九章》，見下圖。圖中ABCD是一方城，出北門北行若干步到G有木，出南門南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望見木G，問題是求方城每邊的長。據《劉注》的方法是依出入相補原理得

　　□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。

　　□EJ的長闊差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”為實，以“南步＋北步”為從法，開平方除之，得EI，也就是方城邊長。

　　不僅應用開平方法可得問題（A）的數值解，而且應用出入相補原理，還可以求得解答的精確表達式。如果以長方形的闊作為勾，長作為股，那么問題（A）相當于：

　　（C）已知勾股積、勾股差，求勾、股。

　　為此考趙爽殘圖如附圖。圖中大小兩正方形的邊長各是勾股和、勾股差，所以得

　　勾股和2＝4×勾股積＋勾股差2。

　　由此得勾股和，因而得勾和股。同樣也可從勾股和、勾股積求得勾和股，這一方法可以參閱《勾股說》的末一命題。

　　宋元時期明確引入了未知數的概念。如果以X（當時稱為天元一）表長方形闊，那么問題（A）相當于解一個二次方程

　　x2+ax=b，

　　其中a相當于從法，b相當于實。所以在古代實質上已經給出了這一形式二次方程（a，b都是正數）的近似解和精確解，前者在宋元時期發展為求任意高次方程的數值解法，后者雖文獻散佚不可查考，但是據唐初王孝通的著作以及史書關于祖沖之的引述看來，不能排除我國曾經對三次方程用幾何方法求得精確表達式的可能性。

　　在其他各國，公元九世紀的時候，阿拉伯數學家花刺子模（約780—約850）的代數學名著中列舉了各種類型二次方程的精確解法，它的方法是幾何的，它的精神實質和出入相補原理頗相類似。公元十六世紀，意大利數學家關于三次方程的解法，也完全是幾何的。

　　體積理論和劉徽原理

　　如果規定長方形的面積是長闊的積，那么依據出入相補原理，容易得到：

　　由此可以完全奠定平面多角形的面積理論。但是在空間情形，如果規定長方體的體積是長、廣、深的積，是否依據出入相補原理，可以推得。

　　由此以建立多面體的體積理論，就不是那么明顯而是極其困難的問題。歐洲直到十九世紀末，才把它作為一個難題明確地提了出來。公元1900年德國數學家希耳伯特（1862—1943）在國際數學會上所作著名講演中，把體積理論列為二十三個問題之一。這一問題立即為德恩（1878—1952）所解決，答案是否定的：兩個多面體要分割成彼此重合的若干多面體，必須滿足某些條件，通稱德恩條件。自此以后直到1965年，一位瑞士數學家西德勒才證明了德恩條件也是充分的。但是問題決不能認為已經徹底解決。從希耳伯特直到晚近，多面體體積理論仍不斷成為一些知名數學家研討的課題。德恩條件敘述復雜，也難認為是合宜的最后形式。

　　在這種情勢下，看看中國古代對這一問題的處理方式是不無有啟發性的。

　　《九章》以至《劉注》解決體積問題的出發點是把一般的多面體分解為一些基本的立體。先把一長方體斜剖為二，如下圖（1），得兩塹堵（塹堵是兩底面是直角三角形的正柱體）。再把塹堵斜剖為二，如上圖（2）；一個是陽馬（陽馬是直角四棱錐體），如上圖（3）；一個是鱉?（鱉?是四面都是勾股形的四面體），如上圖（4）。其中鱉?的特征是AB和平面BFG垂直，FG和平面ABF垂直。由于任一多面體可以分割為四面體，而任一四面體可以分割為六個鱉?，如下圖，所以問題歸結為求鱉?（以及陽馬）的體積。依劉徽原話，就是所謂陽馬、鱉?，“功實之主也�！�

　　其次的問題是怎樣求得陽馬和鱉?的體積。如果長方體成為立方體，那么分解所得的陽馬的體積是鱉?的兩倍。劉徽作了長篇的分析，得出結論是：這個論斷普遍成立。用劉的原話是：“陽馬居二，鱉?居一，不易之率也�！蔽覀儼阉�稱作：

　　劉徽原理 斜解一長方體，所得陽馬和鱉?的體積的比恒是二比一。

　　從這一原理容易得到鱉?和陽馬的體積公式。由此又容易得到（2）式，因而整個多面體的體積理論可奠基于劉徽以及出入相補這兩個原理之上。

　　劉徽對他的原理有詳細的分析說明，實際上就是這一原理的證明。按希耳伯特和他的后繼者的研究指出，體積理論和面積理論不同，出入相補原理之外，必須輔以連續一類公理。也有人（例如沙頓諾斯基，1903年）提出排除連續公理，直接應用（2）式作為建立體積理論的基礎。但是這樣就要先證明（2）式中高和底面積的乘積凡四都彼此相等，這既不明顯也不簡單，似不如劉徽原理和出入相補原理的顯豁自然。

　　總之，多面體的體積理論到現在還余蘊未盡，估計中國古代幾何中的思想和方法或許對進一步的探討還不無幫助。

　　羨除公式

　　《九章》中列舉了各種多面體的體積，依據的就是出入相補原理和陽馬、鱉?公式�，F在以羨除即隧道（羨除是三個側面不是長方形而是梯形的楔形體，見上圖）為例，圖中ABCD是地面，成一梯形，CDEF是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整個隧道依剖面IJK對稱。EG、FH都和CD垂直是隧道的深，IJ是隧道地面的長，CD、EF、AB各稱上廣、下廣、末廣�！毒耪隆方o出的公式是：

　　《劉注》的證法是先把羨除分解，如在上圖中CD＞AB＞EF的情形，分解成一個塹堵EFGHLM，兩個小鱉?AGEL和BHFM，兩個不正規大鱉?ACEG和BDFH，再應用塹堵、鱉?公式和上一節公式（2），就得到這一公式。這一方法在《九章》中用來求得例如芻甍（楔形體）、芻童、盤池、冥谷（是各種棱臺）等多面體的體積公式。

　　如果依IJK剖面取羨除的一半，所得IJKACE如下圖是一斜截直柱體，是把一個以勾股形為底面的直柱體斜截而成，它的體積是三高平均值和底面面積的積。因由任意曲面所圍成的立體可以看作近似地由這樣的斜截直柱體構成，所以據此可以得出函數f（x，y）的積分近似公式，猶之微積分中求曲線下面積的辛普森積分近似公式。因而羨除公式具有重要意義。

　　在西方，斜截直柱體的體積公式最早見于1794年勒讓德（1752—1833）所著《幾何原理》一書，因此也稱為勒讓德公式。按勒讓德的書是從歐幾里得《幾何原本》以后最早可以代替《原本》的名著，它的有關公式的證明同樣依據四面體體積公式，但是它的分解方法和《劉注》不同。

　　此外某些多面體西方也有不同的分解法和證法，不妨中外參照，加以比較。

　　球體積和祖暅原理

　　從《九章》到《劉注》，我國對多面體的體積已經建立了相當完整的理論體系。但是對于曲面圍成的立體，特別是球的體積問題，卻遇到了困難。

　　這一球體積問題，直到南北朝時期祖暅才完全解決，為此并且提出了所謂祖暅原理 冪勢既同，則積不容異。

　　這一原理在公元十七世紀由意大利數學家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重見于歐洲，成為微積分得以創立的關鍵性的一步。

　　祖暅關于球體積公式的證明見于《九章》的唐李淳風注，論證極其詳細清晰。證明分三步：

　　第一，在一立方體中依兩不同方向作兩內切圓柱體，它的共同部分稱“牟棋”。依祖暅原理可得：

　　高處截面積的和跟陽馬同高處的截面積相等。

　　第三，再應用祖暅原理，知三外棋體積的和跟陽馬體積相等。

　　由陽馬的體積公式，就可從上述三步得球體積公式。

　　按牟合方蓋是劉徽所引入的，第一步的結果實質上也已經為劉徽所求得。事實上，在《劉注》中，他已經多次應用了祖暅原理來求曲面圍成立體的體積，例如從方堡?（長方體）求圓堡?（圓柱），從方錐求圓錐，從方亭（正方臺）求圓亭（圓臺），都已經使用這方法。祖暅的功績，不僅在于具體求出了牟合方蓋因而求出球的體積，更在于把實際上已知并且已經廣泛應用的實踐經驗總結提高到一般原理的形式。是否應該把祖暅原理改稱為劉祖原理，是可以商討的。

　　從祖暅原理可以立即得出前面講到的劉徽原理，因而多面體的體積理論也可以建立在出入相補原理和祖暅原理這兩個淺顯易明的基本原理之上。在歐洲，直到希耳伯特的《幾何基礎》問世以后，二十世紀初年，才有人（例如緒思）考慮依卡瓦列里原理以建立體積理論的問題。

　　其 他

　　《九章》中有豐富的幾何學內容，即使局限于出入相補原理，除了已經見于前面各節的以外，也還有一些成果為我國數學以后發展的重要出發點。例如所謂勾股容圓問題，在李冶的《測圓海鏡》中已經有了很大的發展。又如前面提到過的所謂方城問題，在秦九韶、李冶等的著作中已經把方城改成了圓城，就是舊有方法所不能解的。為此宋元時期創立了所謂天元術一類新的理論和方法，不僅可以用來解決許多新問題，對老的問題（所謂古問）也提供了新的有力工具，和老的方法（所謂古法）相比可以“省功數倍”。這些新理論新方法的實質在于幾何的代數化，乃是解析幾何的前奏，也是近代代數學的前驅。

　　總 結

　　出入相補、劉徽、祖暅等一般原理的建立，說明我國古代學者具有高度的抽象概括能力，善于在深入廣泛的實踐基礎上往高里提。這些原理之簡單易明正可和它們應用之廣互相輝映。這是我國古代數學的一種獨特風格，著重在問題的解決以及解決的一般方法和一般原理原則，同樣的風格也可見之于幾何的代數化、位值制記數法等等。這和西方數學之偏重于概念和概念之間的相互邏輯關系，是異其旨趣的。

　　我國數學經典著作散佚的多而保存的少，就像祖暅原理，也只靠李淳風一注才得以留傳下來。像這一類重要成果而失傳無從查考的，當不在少數。盡管如此，只從留傳至今的典籍看來，我國數學的生產實踐方面的淵源和發展演變的線索，仍舊很分明，參見下頁兩個附表。

　　漫談有理數

　　在小學里，同學們學習了自然數、零和分數，現在，又學習了負數。這些數統稱為有理數。但是，你想過沒有，有理數是怎么產生的？

　　很久很久以前，人類的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹葉，吃的是山上的野獸、樹上的野果和水里的魚，終年靠狩獵為生。那時候，雖然每天獵取的食物不多，但仍然有一個記數的問題。開始，人們只是以”多”和“少來區分。漸漸地，有人想到可以扳著手指頭來數（shu）數，因為那時每天狩獵的結果也只是“屈指可數”的水平。再后來，狩獵的工具改進了，水平也提高了，當獵物超過十個以后，“屈指”已不可數，于是又想到在一條繩子上打結來記數。周代（公元前10世紀前后）《易經·系辭》中記載的“上古結繩而治”，指的就是那個遠古的時代。又過了不知多少年代，人們漸漸感到“結繩’不但麻煩，而且時間一長往往記不清這些“結”指的是什么了，終于想到要用一些符號來表示各種不同的東西和各種東西的數目，出現了最早的數字。例如，公元前三、四千年我國西安的半坡遺址和公元前近二千年的二里頭遺址的陶文中，就有| || ||| ||||× 或X ∧ 或個 + 八 + |等符號，它們分別表示

　　1 2 3 4 5 6 7 8 70。

　　在殷墟的甲骨文卜辭中，也有許多數字（參見《中國數學的世界之最》一文）。在國外，大約在公元八世紀有一種印度的數字傳入阿拉伯，它們是：

　　? ∧ ∨ 10。等等，它們分別表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．這種數字后來由阿拉伯傳人歐洲，被歐洲人稱作阿拉伯拉字。這些數字符號，在使用過程中經人們不斷的改進，最后演變成現在我們所使用的數字。

　　數字的出現，給人們的生產和生活帶來了極大的方便。但如何用盡量少的數字來表示那么多的數呢？這個問題，在中國人首先創法了十進位置制記數法以后，才最終得到圓滿的解決。

　　打獵有時兩人合作才能獵獲一只兔子，有時五人合作一共獵獲二頭羊。如何分配這些食物呢？起初，人們只知道“二分一”、”五分二’；后來，才逐漸形成了分數的概念，記錄下來，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，這也是中國人首創的。《周髀算經》中已大量使用分數，《九章算術》（約公元前100～50年）給出了相當完整的分數理論，比歐洲同類著作大約早1400年。我們現在所說的分數除法把除數“顛倒相乘”，就是我國古代教學家劉徽（公元前三世紀）的原話。

　　人類對零的認識比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對“零”的印象──空虛、饑餓、一無所有。在記錄這種情況時，各民族大多不約而同地用空位來表示。后來，又用符號“□”表示空位（有人推測這是個空無一物的牲畜欄），慢慢地就演化成現的“0”了。

　　正如偉大導師恩格斯所精辟論斷的那樣“數和形的概念不是從其他任何地方，而是從現實世界中得來的”。

　　在小學教學中，算式“2-3”給我們的印象是“不夠減”。但學習了《有理教》的知識以后，我們就能解決這個問題了。有理數包括正數、負數和0。正負效的概念也是從生產實際的需要中產生的。生產發展了，一方面，人們的“財富”多起來，同時也促使人們“互通有無”，進行交換。于是，人們把私有財產記為正，欠債記為負；收入記為正，支出記為負；運進記為正，運出記為負；超出記為正，不足記為負... ...人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數和負數的概念。負數是相對于正數而言的。正數和負數既相互對立，又相互依存。我們的祖先不僅最早認識到負數的存在，而且總結出正負數的加減運算法則（如《九章算術》），這在當時也是一件具有世界意義的重大創造。

　　由于生產實踐的需要，隨著科學技術的發展，數的概念一直在不斷地擴充。目前，對于人類已經掌握的數的概念，其關系可綜述為：

　　高考數學沖刺輔導：導數中檔題是拿分點

　　導數中檔題是拿分點

　　近幾年導數的高考試題主要有下面幾種類型：

　　1.單調性問題

　　研究函數的單調性問題是導數的一個主要應用，解決單調性、參數的范圍等問題，需要解導函數不等式，這類問題常常涉及解含參數的不等式或含參數的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函數的表達式常常含有參數，所以在研究函數的單調性時要注意對參數的分類討論和函數的定義域。

　　2.極值問題

　　求函數y=f(x)的極值時，要特別注意f'(x0)=0只是函數在x=x0有極值的必要條件，只有當f'(x0)=0且在xx0時，f'(x0)異號，才是函數y=f(x)有極值的充要條件，此外，當函數在x=x0處沒有導數時， 在x=x0處也可能有極值，例如函數f(x)=x在x=0時沒有導數，但是，在x=0處，函數f(x)=x有極小值。

　　還要注意的是， 函數在x=x0有極值，必須是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在確定極值點時，要注意，由f'(x)=0所求的駐點是否在函數的定義域內。

　　3.切線問題

　　曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切線與曲線的綜合，可以出現多種變化，在解題時，要抓住切線方程的建立，切線與曲線的位置關系展開推理，發展理性思維。關于切線方程問題有下列幾點要注意：

　　(1)求切線方程時，要注意直線在某點相切還是切線過某點，因此在求切線方程時，除明確指出某點是切點之外，一定要設出切點，再求切線方程;

　　(2)和曲線只有一個公共點的直線不一定是切線，反之，切線不一定和曲線只有一個公共點，因此，切線不一定在曲線的同側，也可能有的切線穿過曲線;

　　(3)兩條曲線的公切線有兩種可能，一種是有公共切點，這類公切線的特點是在切點的函數值相等，導數值相等;另一種是沒有公共切點，這類公切線的特點是分別求出兩條曲線的各自切線，這兩條切線重合。

　　4.函數零點問題

　　函數的零點即曲線與x軸的交點，零點的個數常常與函數的單調性與極值有關，解題時要用圖像幫助思考，研究函數的極值點相對于x軸的位置，和函數的單調性。

　　5.不等式的證明問題

　　證明不等式f(x)≥g(x)在區間D上成立，等價于函數f(x)-g(x)在區間D上的最小值等于零;而證明不等式f(x)>g(x)在區間D上成立，等價于函數f(x)-g(x)在區間D上的最小值大于零，或者證明f(x)min≥g(x)max、f(x)min>g(x)max。因此不等式的證明問題可以轉化為用導數求函數的極值或最大(小)值問題。

　　高考數學易考易錯點總結

　　1.指數、對數函數的限制條件你注意了嗎?(真數大于零，底數大于零且不等于1)它們的函數值分布情況是如何的?

　　2.利用換元法證明或求解時，是否注意“新元”的范圍變化?是否保證等價轉化?

　　3.利用放縮法證明或求解時，是否注意放縮的尺度及方向的統一?

　　4.圖像變換的時候是否清楚任何變換都是對“變量本身”進行的?

　　5.對于集合，你是否清楚集合中的元素(數、點、符號、圖形等)是什么及元素的特性(確定性、互異性、無序性)?在集合運算時是否注意空集和全集?

　　6.命題的否定(只否結論)與否命題(條件、結論全否)的區別你知道嗎?

　　7.求一個函數或其反函數的解析式的時候你標明函數的定義域了嗎?

　　8.映射的概念你了解嗎?對于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中與它對應元素的唯一性(B中可有多余元素)?

　　9.根據定義證明函數的單調性時的一般步驟是什么(取值規定大小、作差化連乘積、判斷符號下結論)?

　　10.判斷一個函數的奇偶性時是否注意到定義域關于原點對稱這個必要非充分條件了?

　　11.“三個二次”的關系你清楚嗎?(二次函數的圖像與軸的交點的橫坐標即二次方程的根;不等式的解集為二次函數圖像上方或下方的點的橫坐標的集合)含有參數的二次型你是否注意對二次項系數、對稱軸、定義域、判別式、根的大小等的討論?

　　12.數列也是一種特殊的函數你忽視了嗎?是否能利用數列性質解題?

　　13.你還記得三角變換化簡的通性通法嗎(“角”的變換、“名”的變換、“冪”的變換、“形”的變換等)?

　　14.利用“均值不等式”證明或求最值的時候是否注意“一正、二定、三相等”的條件?如果等號取不到經常采用哪些辦法(利用單調性、配湊、圖像法等)?

　　15.分式不等式的一般解法是什么(移項、通分、合并同類項、分式化整式)?

　　16.理解直線的傾斜角和斜率的概念了嗎?在設直線方程解題時是否忽略斜率不存在的情況?

　　17.直線的'截距概念如何理解(截距可以是正數、負數、零)?

　　18.會求球面距離嗎?它的基本類型有哪些?你能把它們轉化為熟悉的圖形嗎(經度同緯度不同轉化為線面角、緯度同經度不同轉化為二面角)?

　　19.排列、組合應用問題的解題策略有哪些?(特殊元素優先安排、合理分類準確分步、混合問題先選后排、正難則反等價轉化、相鄰捆綁不鄰插空、分排問題直排處理、定序問題除法處理、分配問題列表隔板、取與不取用組合數、分堆問題沒有順序)

　　20.過定點的圓切線方程的求法你清楚嗎(首先判斷定點與圓的位置關系，如果在圓上，直接利用公式;如果在圓外，可由代數法列方程組求解，也可由幾何法圓心到直線的距離等于半徑列等式求解)?

　　21.圓的弦長的求法你清楚嗎(代數法、幾何法)?

　　22.能區分互斥事件和相互獨立事件(事件A或B是否發生對于事件B或A發生的概率沒有影響)嗎?

　　23.解答選擇題、填空題的特殊方法是什么?(數形結合、特值<含特殊值、特殊位置、特殊圖形>、排除、驗證、轉化、分析、估算、極限等)

　　24.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義，在它們的統一定義里清楚常數e的含義。掌握一些常用的求軌跡方程的方法并注意驗證，會用定義法判斷動點軌跡是什么曲線嗎?

　　25.能盡量多地記住圓錐曲線中的一些重要的點(如焦點、頂點)、線段(如長<實>半軸、短<虛>半軸、半焦距、焦準距、焦半徑、通徑)、線(如準線、漸近線)、圖形(如a,b,c的直角關系三角形、焦點三角形、直角梯形)及結論(如焦點弦、焦點三角形的面積公式)的含義并加以靈活運用嗎?

　　26.在直線與圓錐曲線的存在性或范圍問題的處理時，是否注意對聯立消去參數之后的方程的二次項系數、判別式等進行討論?是否也能想到利用曲線變量本身的范圍進行求解(如橢圓的有界性)?

　　27.采用不同的抽樣方法從總體中抽取相同容量的樣本各個體被抽到的概率相同嗎?(相同，可自行證明)

　　28.會用數學歸納法證明一些簡單的數學命題嗎?證明的一般步驟是什么(歸納、猜想、證明<先設n=c時，命題成立;再設n=k,k≥c時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立>)?

　　29.能用定義說明函數是否連續嗎?

　　30.兩個復數只能說相等或不相等，不能比較大小。會用兩個復數相等的充要條件解題嗎(實部和實部相等、虛部和虛部相等)?

　　31.清楚導數的物理意義和幾何意義嗎?函數連續與函數可導有什么聯系(可導一定連續，但連續不一定可導)?

　　32.了解復數的代數表示和幾何意義。能區分好復平面與平面直角坐標系嗎?

　　33.高中階段都遇到了哪些角的范圍，你能分清楚嗎?(1)直線與直線平行時為0;(2)直線與直線相交時夾角的范圍是(0,π/2]，到角的范圍是(0,π);(3)兩異面直線(含垂直)所成角的范圍是(0,π/2];(4)兩非零向量所成角的范圍是[0,π];(5)直線與平面所成角的范圍是[0,π/2];(6)斜線與平面所成角的范圍是(0,π/2);(7)二面角的平面角的范圍是[0,π]。

　　34.在證明空間位置關系和求距離的時候除了直接法以外是否能利用轉化法或向量法?

　　35.反三角函數表示角只能是特定區間上的角，你能用反三角函數表示任意區間上的角嗎?

　　36.向量是既有大小又有方向的量，不可比較大小。如何進行向量運算?

　　37.數量積的幾何意義是什么?數量積的運算率你清楚嗎(交換率、分配率)?

　　38.在解三角問題時，你是否注意到三角函數的定義域、有界性、周期性等，是否能利用圖像對三角函數問題進行分析?在條件求值問題中是否注意角的范圍討論?

　　39.圖像按向量平移的本質是什么(實際上就是點的平移，簡言之向量的坐標等于終點<目標函數>坐標減去起點<原函數>坐標)?

　　40.不等式有哪些重要性質?其中哪些性質在應用的時候要注意限制條件(可乘、累乘、乘方、開方)?

　　41.能區分互斥事件(A,B兩事件不可能同時發生)和對立事件(A,B兩事件不可能同時發生，但必有一個發生)嗎?

　　42.解答探索性問題時要注意思維的廣度，注重知識間的聯系，善于運用數學思想解題，一般分猜想歸納型、存在型問題、分類討論型幾種基本題型。

　　43.求數列通項公式的技巧有哪些(觀察、公式、作差、作積、構造等)，是否驗證每一項都滿足所求因式了?數列求和時是否先對通項公式加以分析?

　　高中數學學習方法：學數學就像吃牛軋花生糖

　　為了幫助學生們更好地學習高中數學，精心為大家搜集整理了“高中數學學習方法：學數學就像吃牛軋花生糖”，希望對大家的數學學習有所幫助！

　　高中數學學習方法：學數學就像吃牛軋花生糖

　　高三數學怎么學？其實，這是一個吃“牛軋花生糖”的過程。我想借用這5個字“牛、軋(同音“扎”，即扎實)、花生(諧音“化生”，即數學解題中的“化生為熟”策略)糖(甜蜜)”，來談談我對大家學習高三數學的建議。

　　提起“牛”，人們會說牛氣沖天、老黃牛、牛勁。是的，我們學習就是要一股牛氣，要有一股初生牛犢的精神，要有牛氣沖天的干勁，要不畏難、不怕苦，要勤于思考、敢于實踐，要把自卑心理一掃而光，代之而起的是高漲而持續的學習熱情。

　　牛在緊要關頭不僅有沖勁，在平時耕田拉車中還特有韌勁，我們特別需要能長久維持的韌勁，它是我們成功的必要條件，有了這股韌勁，就能克服一切困難，集中精力，發奮讀書，即使身體小有不適，也能盡量堅持學習，這是對自己意志的考驗。

　　“軋”音同 “扎”，寓意是學習要扎實。數學學習的扎實表現在：

　　(1)不滿足于聽懂、看懂，關鍵要能準確地書寫表達出來，還要能舉一反三，否則，沒有真懂。

　　(2)運算要既快又準。速度慢了不行，但算錯了更不行！

　　要做到這兩條，必須在課堂上認真聽講、用心思考、勤于演算、善于筆記。在課后還要通過一定數量模仿性練習、提高性練習等高質量作業才能牢固掌握，做作業不互相對答案，不抄襲，遇到不懂問題可以相互討論，但懂了以后自己再獨立做。還要自覺學會歸納解題成功的經驗和總結失敗的教訓，做到吃一塹，長一智。

　　花生的果實生長在地下，默默地被大地滋潤著，直到成熟才離開土地，營養價值極高。滋潤著學生成長的是國家以及你們的父母和老師。

　　“花生”的“生”單獨字面有陌生、生疏的意思，“花”有相間的意思，此處借用“花生”是想說在學習過程中會時常出現一些新的問題和困難，這需要我們正確的態度去對待，是強調基礎差、問題難，還是知難而進，用心思考，不恥下問，是對每個同學學習毅力的考驗。

　　“花生”的諧音是“化生”，借指數學中常用的方法——化生為熟。這是數學學習中解決問題的一條重要途徑，是學會分析問題和解決問題的重要方法。

　　糖是大家喜歡的食品，它給我們辛苦的學習帶來一絲甜意，我希望大家在繁重的學習間隙，可以唱支歌、跳曲舞來調節生活，來體驗學習的甜蜜，預示同學們三年高中生活有一個甜美的結果。但是大家知道，葡萄在成熟之前是不甜的，這預示著，在我們最后幾個月的學習中可能會有很多感觸，那種時而忽然開朗，眼前一片光明，時而百思不解，眼前一片黑暗，那種糾結、煩躁、甚至憤怒，沒有親身經歷的人是難以體會的！這樣的經歷是一個人成長、成熟所必須經歷的，我們只能面對，沒有逃避的余地，這或許是“先苦后甜”的深刻含義吧。

　　吃了今天的“牛軋花生糖”，我相信今后你們學習信心更大，克服困難的意志更堅強，解決問題方法更多，成績提高得更快，明天的日子會更甜！

　　經過精心的整理，有關“高中數學學習方法：學數學就像吃牛軋花生糖”的內容已經呈現給大家，祝大家學習愉快！

　　父與子

　　阿諾德、巴頓、克勞德和丹尼斯都是股票經紀人，其中有一人是其余三人中某一人的父親。一天，他們在證券交易所購買股票的情況是：

　　（l）阿諾德購買的都是每股3美元的股票，巴頓購買的都是每股4美元的股票，克勞德購買的都是每股6美元的股票，丹尼斯購買的都是每股8美元的股票。

　�。�2）父親所購的股數最多，他花了72美元。

　　（3）兒子所購的股數最少，他花了24美元。

　　（4）這四個人買股票總共花了161美元。

　　在這四個人當中，誰是那位父親？誰是那位兒子？

　�。ㄌ崾荆焊鶕�（1）和（4）列出一個方程。依次假定某個人是那位父親或者是那位兒子，則這個人買了多少股？如果一個數是方程中五項中四項的因數，則它必定也是第五項的因數。)

　　答 案

　　設

　　a為阿諾德所購的股數，

　　b為巴頓所購的股數，

　　c為克勞德所購的股數，

　　d為丹尼斯所購的股數。

　　于是，根據（1）和（4），就這四人購買股票總共所花的錢可寫出方程：

　　3a+4b+6c+8d=161。

　　假定阿諾德是那位父親，則根據（1）和（2），他買了24股；假定巴頓是那位兒子，則根據（1）和（3），他買了6股。如此等等，共有十二種可能，列表于下。

　　父親（花了72美元）

　　兒子（花了24美元）

　　a=24

　　b=6

　　a=24

　　c=4

　　a=24

　　d=3

　　b=18

　　a=8

　　b=18

　　c=4

　　b=18

　　d=3

　　c=12

　　a=8

　　c=12

　　b=6

　　c=12

　　d=3

　　d=9

　　a=8

　　d=9

　　b=6

　　d=9

　　c=4

　　注意：（A）a、b、c、d都是正整數，（B）如果一個整數能整除一個具有五個項的方程中的四項，則它也一定能整除其中的第五項。

　　根據上述的（B），a不能等于24或8，因為161不能被2整除。如果d等于3則b不能等于18，如果b等于6則d不能等于9，因為161不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。

　　如果d＝9，c＝4．則3a+4b=65.這樣，a或b要大于9，從而與（2）矛盾。如果c=12，b＝6則3a+8d=65。這樣，a或d要小于6,從而與（3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。

　　如果b＝18，c＝4．則3a+8d=65。3a必須是奇數，因為8d是偶數而65是奇數（偶數乘以任何整數總得偶數，偶數加上奇數總得奇數）。

　　于是，a必須是4和18之間的一個奇數（奇數乘以奇數總得奇數）。這里唯一能使d取整數的是a＝11。這意味著d=4，但這與（3）矛盾。因此，V被排除。

　　剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克勞德是那位父親，丹尼斯是那位兒子。

　　通過進一步分析，可以得出a、b、c、d的兩組可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根據與前面同樣的推理，a必須是3和12之間的一個奇數。這里能使b取整數的只有a=7和a=11。于是得到這樣兩組可能的值：

　　a=7

　　a=11

　　b=11

　　b=8

　　c=12

　　c=12

　　d=3

　　d=3

　　名師導學：高考數學首輪復習五項建議

　　古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學知識，更要學方法。伴隨著奧運會的如火如荼，新一屆高三生們的集訓也即將拉開序幕。他們的處境有些尷尬，一邊是世界矚目的盛事，一邊是關乎前途命運的決戰。這個暑假想必充滿了矛盾和猶豫。那么開學在即，就讓我們放下暑期的思想包袱，重新調整好狀態，準備迎戰。首先來看看關于高考首輪復習，專家是如何建議的。

　　高考復習有別于新知識的教學，它是在學生基本掌握了中學數學知識體系，具備了一定的解題經驗的基礎上的復課數學；也是在學生基本認識了各種數學基本方法、思維方法及數學思想的基礎上的復課教學。實際上，高考這一年數學復習工作概括起來就三句話：澄清概念（思維細胞）；歸納方法（何時用，用的要領）；學會思考。在此向進入數學第一輪復習的同學提五項建議：

　　一、夯實基礎，知識與能力并重。

　　沒有基礎談不上能力；復習要真正地回到重視基礎的軌道上來，搞清基本原理、基本方法，體驗知識形成過程以及對知識本質意義的理解與感悟，同時，對基礎知識進行全面回顧，并形成自己的知識體系。

　　二、復習中要把注意力放在培養自己的思維能力上。

　　培養自己獨立解決問題的能力始終是數學復習的出發點與落腳點，要在體驗知識的過程中，適時進行探究式、開放式題目的研究和學習，深刻領悟蘊涵在其中的數學思想方法，并加以自覺的應用，力求做到使自己的理性思維能力、分析問題和解決問題的能力有切實的提高。

　　學習好數學要抓住“四個三”：1.內容上要充分領悟三個方面：理論、方法、思維；2.解題上要抓好三個字：數、式、形；3.閱讀、審題和表述上要實現數學的三種語言自如轉化（文字語言、符號語言、圖形語言）；4.學習中要駕馭好三條線：知識（結構）是明線（要清晰），方法（能力）是暗線（要領悟、要提練），思維（訓練）是主線（思維能力是數學諸能力的核心，創造性的思維能力是最強大的創新動力，是檢驗自己大腦潛能開發好壞的試金石。）

　　三、講究復習策略。

　　在第一輪復習中，要注意構建完整的知識網絡，不要盲目地做題，不要急于攻難度大的“綜合題、探究題”，復習要以中檔題為主，選題要典型，要深刻理解概念，抓住問題的本質，抓住知識間的相互聯系。高考題大多數都很常規，只不過問題的情景、設問的角度改變了一下，因此，建議考生在首輪復習中，不要盲目地自己找題，而應在老師的指導下，精做題。

　　數學是應用性很強的學科，學習數學就是學習解題。搞題海戰術的方式、方法固然是不對的，但離開解題來學習數學同樣也是錯誤的的，其中的關鍵在于對待題目的態度和處理解題的方式上。

　　要精選做題，做到少而精。

　　只有解決高質量的、有代表性的題目才能達到事半功倍的效果，然而絕大多數的同學還沒有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導下來選擇復習的練習題，以了解高考題的形式、難度。

　　要分析題目。

　　解答任何一個數學題目之前，都要先進行分析。相對于比較難的題目，分析更顯得尤為重要，我們知道，解決數學問題實際上就是在題目的已知條件和待求結論中架起聯系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎上，化歸和消除這些差異。當然在這個過程中也反映出對數學基礎知識掌握的熟練程度、理解程度和數學方法的靈活應用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數名、結構形式統一后就可以解決問題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關鍵。

　　四、加強做題后的反思。

　　學習數學必須要做題，做題一定要獨立而精細，只有具備良好的反思能力，才談得上精做。做題前要把老師上課時復習的知識再回顧一下，對所學的知識結構要有一個完整的清楚的認識，不留下任何知識的盲點，對所涉及的解題方法要深刻領會、做題時，一定要全神貫注，保持最佳狀態，注意解題格式規范，養成良好的學習習慣，以良好的心態進入高考。做題后，一定要認真反思，仔細分析，通過做幾道相關的變式題來掌握一類題的解法，從中總結出一些解題技巧，更重要的是掌握解題的思維方式，內化為自己的能力，并總結出對問題的規律性認識和找出自己存在的問題，對做題中出現的問題，注意總結，及時解決，重點一定要放在培養自己的分析問題和解決問題的能力上。

　　注意分析探求解題思路時數學思想方法的運用。

　　解題的過程就是在數學思想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與結論間的差異的過程，也可以說是運用化歸思想的過程，解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程。

　　注意數學思想方法在解決典型問題中的運用。

　　如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據已知條件，在二面角內尋找或作出過一個面內一點到另一個面上的垂線，過這點再作二面角的棱的垂線，然后連結二垂足，這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個通法就是在化立體問題為平面問題的轉化思想的指導下求得的，其中三垂線定理在構圖中的運用，也是分析、聯想等數學思維方法運用之所得。

　　調整思路，克服思維障礙時，注意數學方法的運用。

　　通過認真觀察，以產生新的聯想；分類討論，使條件確切、結論易求；化一般為特殊、化抽象為具體，使問題簡化等都值得我們一試，分析、歸納、類比等數學思維方法；數形結合、分類討論、轉化等數學思想是走出思維困境的武器和指南。

　　注意數學思想的運用。

　　用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解的練習，培養思維的發散性、靈活性、敏捷性；對習題靈活變通、引申推廣，培養思維的深刻性，抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性、批判性，對同一數學問題的多角度的審視引發的不同聯想，是一題多解的思維本源，豐富的合理的聯想，是對知識的深刻理解，及類比、轉化、數形結合、函數與議程等數學思想運用的必然。數學方法、數學思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數學能力的必由之路。

　　解題不是目的，我們是通過解題來檢驗我們的學習效果，發現學習中的不足的，以便改進和提高。因此，解題后的總結至關重要，這正是我們學習的大好機會，對于一道完成的題目，有以下幾個方面需要總結：

　　1. 在知識方面

　　題目中涉及哪些概念、定理、公式等基礎知識，在解題過程中是如何應用這些知識的。

　　2. 在方法方面

　　題目是如何入手的，用到了哪些解題方法、技巧，自己是否能夠熟練掌握和應用。

　　3. 在解題步驟方面

　　能不能把解題過程概括、歸納成幾個步驟（比如用數學歸納法證明題目就有很明顯的三個步驟）。

　　五、高考主干知識八大塊：

　　1.函數；2.數列；3.平面向量；4.不等式（解與證）；5.解析幾何；6.立體幾何；7.概率、統計；8.導數及應用。要做到塊塊清楚，不足之處如何彌補有招法，并能自覺建立起知識之間的有機聯系，函數是其中最核心的主干知識，自然是高考考查的重點，也是數學首輪復習的重點。函數內容歷來是高考命題的重點，試題中占有比重最大，在數列、不等式、解析幾何等其他試題中，如能自覺應用函數思想方法來解題也往往能收到良好的效果。因此，掌握函數的基礎概念，函數的圖像與性質的相互聯系與相互轉化；掌握函數與方程、函數與不等式、函數與導數、函數與數列等知識的交匯與綜合是數學首輪復習的重中之重。

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