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數學函數求值域的好方法
函數值域是函數的重要性質之一，有關函數值域的問題教材中介紹得很少，而求函數的值域較求定義域更困難、更靈活，沒有較完整較規范的方法，所以學生難以掌握。本文借助初等函數等有關知識，歸納出求函數值域的方法。
數學函數求值域的好方法
一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函數的值域為{y∣y≥3｝.
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。
解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。
這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y∣y1｝)
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。
配方法是數學的一種重要的思想方法。練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2當y=2時,方程(*)無解�！嗪瘮档闹涤驗�2點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。
練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y0)。
五.最值法
對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。
解：∵3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。∴函數z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。
練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。
解：原函數化為-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，+∞]。
點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。
七.單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例7求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。
解：設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為{y|y≤4/3｝。
點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。
練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
八.換元法
以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。
例8求函數y=x-3+√2x+1的值域。
點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。
解：設t=√2x+1(t≥0),則x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數的值域為{y|y≥-7/2｝。
點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習：求函數y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
九.構造法
根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。
例9求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。
解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共線時取等號。∴原函數的值域為{y|y≥5｝。
點評：對于形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
練習：求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
十.比例法
對于一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。
解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。函數的值域為{z|z≥1｝.
點評：本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。
練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
十一.利用多項式的除法
例11求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)�！�1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函數y的值域為y≠3的一切實數。
點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。
練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
十二.不等式法
例12求函數Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值范圍，構造不等式。
解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],由對數函數的定義知x/(1-x)0，1-x≠0。解得：01或y
數學函數求值域的好方法
給出函數的解析式和定義域可以求出其值域，有時我們也會遇到給出函數式并給出值域，要求其函數式中參數的取值范圍，很多學生遇到這類問題都會無從下手，其實有些問題雖然不是直接求函數的值域，而是已知函數的值域，求其函數中某個參數的范圍，但仍然離不開求值域的常用方法。學習中發現逆向思維還不會，所以碰到已知函數的某些性質，求函數式里的參數問題就一籌莫展。
對于例1：已知函數的值域為，求的取值范圍。要大部分學生認為首先要開口向上，然后滿足。其實，這里學生犯的錯誤是沒理解清楚值域為的真正含義，它是要求值域從0開始全部都要取到，不能多也不能少。當時，不滿足題意，所以只有時滿足。
對于例3:已知函數的值域為，求的取值范圍。
對這一題，求偶次根式下函數的定義域，要求是根號里的函數式的值要達到大于或等于0，在未指明函數定義域情況下，認為是錯的。這可以看作是一個復合函數，若設，則≥0是求定義域的必然要求，的值的范圍是能包含[0，+∞）的集合，要滿足值域為[0，+∞），要能夠取遍非負實數，所以且開口向上。
聽課的老師普遍認為這一節課只安排例1、例3，效果會更好。本節課的教學實例說明，已知函數的值域求參數是一個較復雜的問題，要根據不同的函數形式選擇適當的方法求解。從中也說明學習函數知識及解決函數問題，首先是要非常準確理解與掌握函數中的每個概念，許多函數的概念都有很深刻的內涵，解決問題時要仔細揣摩各種概念之間的聯系與不同，才能作出準確的解答，并要在學習中不斷積累經驗。
數學函數求值域的好方法
1、配方法。將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域，求得函數的值域。（畫一個簡易的圖能更便捷直觀的求出值域。）
2、常數分離。這一般是對于分數形式的函數來說的，將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離，求得值域。
3、逆求法。對于y=某x的形式，可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。
4、換元法。對于函數的某一部分，較復雜或生疏，可用換元法，將函數轉變成我們熟悉的形式，從而求解。
數學函數求值域的好方法
一、直接觀察法
對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。
例1 ：求函數y=3-■的值域。
解：因為■≥0，
所以-■≤0，3-■≤3，
故函數的值域是: （-∞,3]。
二、圖象法
利用函數的圖象，直觀地得出函數的值域。此方法廣泛應用于一些分段函數的值域和求二次函數在閉區間上的值域。其關鍵在于能否準確作出函數的圖象。
例2：求函數y＝x■-x-6（如圖所示）,x∈-2,4的值域。
解：由函數圖象得所求函數的值域為-6.25,6.
三、配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域。其關鍵在于能否正確地將二次函數式配成完全平方式。
例3：求函數y=■的值域。
解：由-x■+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2].此時-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函數的值域是0,■。
四、判別式法
若函數式為分式結構，分子分母均為二次式，且函數的定義域為R，則可用此法.通常先將分式轉化為一元二次方程，再由?駐≥0，確定y的范圍，即得原函數的值域.
例4：求函數y=■的值域。
解：函數的定義域為R（?駐=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函數化為關于x的一元二次方程為(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以
�。�1）當y≠1時，?駐=(1-y)■-4y(y-1)≥0，
解得-■≤y≤1。
�。�2）當y=1時，1≠0，故y≠1。
綜上，原函數的值域為[-■,1)。
評注：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域.常適應于形如y=■的函數。
五、換元法
通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，常用代數代換或三角代換法，其題型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均為常數，且ac≠0）等。
例5 ：求函數y=x+■的值域。
解：令■=t(t≥0)，則x=t■+1，
所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，
由二次函數的性質可知原函數的值域為[1,+∞)。
六、函數單調性法
首先確定函數的定義域，然后再根據函數在給定的區間上的單調性求值域.常用到函數y=x+■(p＞0)的單調性：增區間為(-∞,-■]和[■,∞)，減區間為[-■,0]和[0,■]。
例6：求函數y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。
解：令y■=2■，y■=log■■,
則y■,y■在[2，10]上都是增函數,
所以y=y■+y■在[2，10]上是增函數。
當x=2時，y■=2■+log■■=■；
當x=10時，y■=2■+log■■=33，
故所求函數的值域為：■,33。
例7：求函數y=x+■,x∈(0,5]的值域。
解：原函數的導數為y＇=1-■，其單調遞增區間為[■,+∞)，單調遞減區間為(0,■]，故原函數在x=■處取得最小值2■，在x=5處取得最大值■，所以原函數的值域為[2■,■]。
七、分離常數法
此方法適用于分式型函數,且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常數，且ac≠0），這時通過拼湊,將分子進行常數分離。
例8：求函數y=■的值域。
解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。
評注：此題也可利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域，即反函數法。
八、函數有界性法
利用函數的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因為sinα≤1,x■≥0，可解出y的范圍，從而求出其值域或最值.
例9：求函數y=■的值域。
解：由原函數式可得e■=■，
e■＞0，
■＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函數的值域為(-1,1)。
求值域的方法篇3
1. 觀察法
對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。
例1.求函數y= 的值域。
解：x≠0， ≠0
顯然函數的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。
2. 二次函數法
例2.已知函數f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。
(1)若f(x)的定義域為(－∞，+∞)，求實數a的取值范圍；
(2)若f(x)的值域為(－∞，+∞)，求實數a的取值范圍。
解：（1）依題意(a －1）x +(a+1)x+1＞0對一切x∈R恒成立，
當a －1≠0時，其充要條件是
a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0
即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1
a＜-1或a＞ 。
又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意。
故a≤－1或a＞ 為所求。
(2)依題意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又當a －1=0即a=1時t=2x+1符合題意，而a=-1時不合題意，1≤a≤ 為所求。
3. 配方法
配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。
例3.求函數y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。
解：將函數配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函數的性質可知：
當x=1時，y =4
當x=-1時，y =8
故函數的值域是［4，8］。
4. 反函數法
直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。
例4.求函數y= 值域。
解：由原函數式可得：x=
則其反函數為：y=
其定義域為x≠
故所求函數的值域為（-∞， ）。
5. 函數有界性法
直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。
例5.求函數y= 的值域。
解：由原函數式可得e =
e ＞0， ＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函數的值域為(-1，1)。
6. 換元法
通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發揮作用。
例6.函數y=x+ 的值域是( )。
A. (－∞，1］
B. (－∞，－1］
C. R
D .［1，+∞）
解：令 =t(t≥0)，則x= 。
y= +t=－ (t－1) +1≤1
值域為(－∞，1］。
答案：A。
總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法、函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。
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