數(shù)學方法與思想方法

　　數(shù)學是研究事物的空間形式和數(shù)量關系的，初中最重要的數(shù)量關系是等量關系，其次是不等量關系。以下是小編整理的數(shù)學方法與思想方法，希望能夠幫助到大家！

　　初中數(shù)學常見的思想方法1

　　初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想很多，其中最主要的數(shù)學思想方法包括轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等．

　　（1）轉化思想．轉化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉化手段，歸結為另一種相對容易解決或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決．轉化思想體現(xiàn)在數(shù)學解題過程中就是將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹和歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題．

　　初中數(shù)學中諸如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等均是轉化思想的具體體現(xiàn)．具體而言，代數(shù)式中加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，用換元法解方程，在幾何中添加輔助線，將四邊形的問題轉化為三角形的問題，將一些角轉化為圓周角并利用圓的知識解決問題等等都體現(xiàn)了轉化思想．在初中數(shù)學中，轉化思想運用的最為廣泛．

　　（2）數(shù)形結合思想．數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，因而，在某種程度上可以說數(shù)學研究是圍繞著數(shù)與形展開的．初中數(shù)學中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號表達式，初中數(shù)學中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達式．數(shù)形結合思想的實質是將抽象的數(shù)學語言（“數(shù)”）與直觀的圖象（“形“）結合起來，數(shù)形結合思想的關鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉化．數(shù)形結合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微．”數(shù)形結合是研究數(shù)學、解決數(shù)學問題的重要思想，在初中數(shù)學中有著廣泛應用．

　　譬如，在初中數(shù)學中，通過數(shù)軸將數(shù)與點對應，通過直角坐標系將函數(shù)與圖象對應均體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用．再比如，用數(shù)形結合的思想學習相反數(shù)、絕對值等概念，學習有理數(shù)大小比較的法則，研究函數(shù)的性質等，從形象思維過渡到抽象思維，從而顯著降低了學習難度．

　　（3）分類討論思想．分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同的種類．分類是以比較為基礎的，它有助于揭示數(shù)學對象之間的內在聯(lián)系與規(guī)律，有助于學生總結歸納數(shù)學知識、

　　解決數(shù)學問題．

　　譬如，初中數(shù)學從整體上看分為代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等幾大版塊，并分別采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現(xiàn)．具體而言，實數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類、函數(shù)的分類、統(tǒng)計量的分類等等，都是分類思想的具體體現(xiàn)．分類思想在初中數(shù)學中有大量運用，從初中數(shù)學內容的組織與展開到數(shù)學概念的界定與劃分再到數(shù)學問題的分析與解決都大量運用著分類思想．

　　（4）函數(shù)與方程思想．函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點和方法分析問題、解決問題．函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學中的具體反映．函數(shù)與方程思想的本質是變量之間的對應，即用變化的觀點和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關系表示出來，然后用函數(shù)的性質進行研究，從而使問題獲得解決．如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示，那么就可以將函數(shù)解析式看作方程，并通過解方程和對方程的研究使問題得到解決，這就是方程思想．

　　譬如初中數(shù)學中大量涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內容的數(shù)學問題都要用到函數(shù)與方程思想來解決．由于函數(shù)思想與方程思想的內容和形式相一致，因而往往將其并稱為函數(shù)與方程思想，并將二者結合學習與

　　運用．

　　除上述幾種主要的數(shù)學思想之外，初中數(shù)學中還有集合思想、對應思想、符號化思想、公理化思想等．初中數(shù)學主要包括如下基本的數(shù)學方法：（1）幾種重要的科學思維方法：比較與分類、觀察與嘗試、分析與綜合、概括與抽象、特殊與一般、歸納與類比等；（2）幾種重要的推理方法：完全歸納法、綜合法、分析法、反證法、演繹法等；（3）幾種常用的求解方法：待定系數(shù)法、數(shù)學建模法、配方法、消元法、換元法、構造法、坐標法、參數(shù)法等．

　　1、配方法

　　所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

　　2、因式分解法

　　因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

　　3、換元法

　　換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

　　4、判別式法與韋達定理

　　一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b2—4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

　　初中數(shù)學常見的思想方法2

　　特殊與一般的數(shù)學思想：對于在一般情況下難以求解的問題，可運用特殊化思想，通過取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規(guī)律和方法，進而推廣到一般，從而使問題順利求解。常見情形為：用字母表示數(shù)；特殊值的應用；特殊圖形的應用；用特殊化方法探求結論；用一般規(guī)律解題等。

　　整體的數(shù)學思想：所謂整體思想，就是當我們遇到問題時，不著眼于問題的各個部分，而是有意識地放大考慮問題的視角，將所需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體與局部的內在聯(lián)系來解決問題的.思想。用整體思想解題時，是把一些彼此獨立，但實質上又相互緊密聯(lián)系的量作為整體來處理，一定要善于把握求值或求解的問題的內在結構、數(shù)與形之間的內在結構，要敏銳地洞察問題的本質，有時也不要放棄直覺的作用，把注意力和著眼點放在問題的整體上。常見的情形為：整體代入；整式約簡；整體求和與求積；整體換元與設元；整體變形與補形；整體改造與合并；整體構造與操作等。分類討論的數(shù)學思想：也稱分情況討論，當一個數(shù)學問題在一定的題設下，其結論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數(shù)學問題根據(jù)題設分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。分類討論是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法。運用分類討論思想解題的關鍵是如何正確的進行分類，即確定分類的標準。分類討論的原則是：（1）完全性原則，就是說分類后各子類別涵蓋的范圍之和，應當是原被分對象所涵蓋的范圍，即分類不能遺漏；（2）互斥性原則，就是說分類后各子類別涵蓋的范圍之間，彼此互相獨立，不應重疊或部分重疊，即分類不能重復；（3）統(tǒng)一性原則，就是說在同一次分類中，只能按所確定的一個標準進行分類，即分類標準統(tǒng)一。分類的方法是：明確討論的對象，確定對象的全體，確立分類標準，正確進行分類，逐步進行討論，獲取階段性結果，歸納小結，綜合得出結論。常見的情形為：由字母系數(shù)引起的討論；由絕對值引起的討論；由點、線的運動變化引起的討論；由圖形引起的討論；由邊、點的不確定引起的討論；存在特殊情形而引起的討論；應用問題中的分類討論等。

　　轉化的數(shù)學思想：將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換，化歸為在已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問題。解題的過程實際就是轉化的過程。常見的情形為：高次轉化為低次、多元轉化為一元、式子轉化為方程、次元轉化為主元、正面轉化為反面、分散轉化為集中、未知轉化為已知、動轉化為靜、部分轉化為整體、還有一般與特殊、數(shù)與形、相等與不等之間的相互轉化。

　　數(shù)形結合的數(shù)學思想：數(shù)與形是數(shù)學教學研究對象的兩個側面，把數(shù)量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結合思想。數(shù)、式能反映圖形的準確性，圖形能增強數(shù)、式的直觀性，“數(shù)形結合”可以調動和促進學生形象思維和抽象思維的協(xié)調發(fā)展，溝通數(shù)學知識之間的聯(lián)系，從復雜的數(shù)量關系中凸顯最本質的特征。數(shù)形結合是研究數(shù)學問題的有效途徑和重要策略，它體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美、統(tǒng)一美。華羅庚先生曾用“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微”作高度的概括。常見的情形為：利用數(shù)軸、函數(shù)的圖象和性質、幾何模型、方程與不等式以及數(shù)式特征可以將代數(shù)問題轉化為集合問題；利用代數(shù)計算、幾何圖形特征可以將幾何問題轉化為代數(shù)問題；利用三角知識解決幾何問題；利用統(tǒng)計圖表讓統(tǒng)計數(shù)據(jù)更形象更直觀等。

　　函數(shù)與方程的思想：函數(shù)的思想就是利用運動與變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數(shù)學中的等量關系，建立和構造函數(shù)關系，再運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決。方程的思想就是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。函數(shù)與方程的思想實際是就是一種模型化的思想。常見的情形為：數(shù)字問題、面積問題、幾何問題方程化；應用函數(shù)思想解方程問題、不等問題、幾何問題、實際問題；利用方程作判斷；構建方程模型探求實際問題；應用函數(shù)設計方案和探求面積等。

　　常用數(shù)學方法如：配方法、消元法、換元法、待定系數(shù)法、構造法、主元法、面積法、類比法、參數(shù)法、降次法、圖表法、估算法、分析法、綜合法、拼湊法、割補法、反證法、倒數(shù)法、同一法等。

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