高一數學必修1知識點：冪函數的性質考點
在平時的學習中，大家對知識點應該都不陌生吧？知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。相信很多人都在為知識點發愁，以下是小編幫大家整理的高一數學必修1知識點：冪函數的性質考點，希望能夠幫助到大家。
定義：
形如y=x^a（a為常數）的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。
定義域和值域：
當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：
在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。
在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函數的值域
性質：
對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^（p/q）=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對于x>；0，則a可以是任意實數；
排除了為0這種可能，即對于x<；0和x>；0的所有實數，q不能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。
總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。
在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。
在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函數的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的'，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況。
可以看到：
（1）所有的圖形都通過（1，1）這點。
（2）當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。
（3）當a大于1時，冪函數圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數圖形上凸。
（4）當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
（5）a大于0，函數過（0，0）；a小于0，函數不過（0，0）點。
（6）顯然冪函數無界。
1、函數性質
冪函數的、圖象一定會出現在、第一象限內，一定不會出現在、第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的、奇偶性;冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內;如果冪函數圖象與、坐標軸相交，則交點一定是、原點.
正值性質
當α>0時，冪函數y=x、α有下列性質：
a、圖像都經過點(1,1)(0,0);
b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是、增函數;
c、在第一象限內，α>1時，、導數值逐漸增大;α=1時，導數為、常數;0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近于0;
負值性質
當α<0時，冪函數y=x、α有下列性質：
a、圖像都通過點(1,1);
b、圖像在區間(0，+∞)上是、減函數;(內容補充：若為X、-2，易得到其為、偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間(-∞，0)上單調遞增。其余偶函數亦是如此)
c、在、第一象限內，有兩條漸近線(即坐標軸)，、自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。
零值性質
當α=0時，冪函數y=x、a有下列性質：
a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。
2、函數特性
對于α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
α為約分數
如果α=p/q，且p/q為、既約分數(即p，q、互質)，q和p都是、整數，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)。如果q是、奇數，函數的、定義域是R;如果q是、偶數，函數的、定義域是[0,+∞)。
α為負整數
當指數α是、負整數時，設α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
α小于0時，x不等于0;
α的分母為偶數時，x不小于0;
α的分母為奇數時，x取R。
3、函數判定
冪函數的一般形式是y=x，其中，n可為任何實數，但中學階段僅研究n為有理數的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質。特別，當k=1時為整數指數冪。
(1)當m，k都為正奇數時，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數;
(2)當m為負奇數，k為正奇數時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數;
(3)當m為正奇數，k為正偶數時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數;
(4)當m為負奇數，k為正偶數時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數;
(5)當m為正偶數，k為正奇數時，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數;
(6)當m為負偶數，k為正奇數時，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。、[1]
4、討論分析
由于x大于0是對α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各、象限的各自情況。可以看到：
(1)所有的圖像都通過(1，1)這點.(α≠0)、α>0時、圖象過點(、0，0)和(1，1)。
(2)、單調區間：
當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：
①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增;
②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增;
③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);
④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。
當α為分數時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：
①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增;
②當α>0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞增;
③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減;
④當α<0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);
(3)當α>1時，冪函數圖形下凹(豎拋);
當0<α<1時，冪函數圖形上凸(橫拋);
當α<0時，圖像為雙曲線。
(4)在(0,1)上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。
(5)當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。
(6)顯然冪函數無界限。
(7)α=2n(n為整數),該函數為偶函數、{x|x≠0}。
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