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考研數學高數中值定理的詳解
我們在準備考研數學高數的復習手，面對中值定理，我們應該掌握好它的學習方法。小編為大家精心準備了考研數學高數中值定理的解析，歡迎大家前來閱讀。
考研數學高數中值定理的詳解
中值定理的相關證明是考研數學中公認的重點和難點，往年這部分的常考證明題這種大題。然而最近兩年沒考這一部分大題。2014年的高數證明題考的函數不等式的證明，而2015出乎意料地考了一個用導數定義證明求導公式的證明題。雖然這兩年沒有考這部分的大題，但作為以前常考大題的考點，所以我們不能對這部分內容掉以輕心。
首先對于中值定理我們應該把這部分的定理內容弄清楚。我們要用這些定理去證明別的結論，先要自己把這些內容弄透、弄熟。具體來說，關于這部分涉及的定理有：費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個定理屬于微分中值定理的部分，中間三個定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，最后一個為積分相關定理。而這里，除了閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質這幾個定理外，其余定理是要求我們會證明的。
其次，我們在現階段應總結真題中考過的此類題目的處理思路。這部分工作可以自己完成，但可能需要花費一些時間。
中值相關證明大部分情況下應從結論出發(fā)。考研中所要求的關于中值定理這塊的證明百分之六十到七十都是要去用羅爾定理來證明的。在做此類證明時，我們要看所要證明的式子是含一個中值還是兩個中值，緊接著要看所要求的中值是屬于開區(qū)間還是閉區(qū)間的。如果是在含有一個中值的前提下，再看是否含有導數。若是含一個中值，且這個中值時屬于開區(qū)間的，并且有含有導數，這時我們往往要考研羅爾定理。在確定用羅爾定理的前提下，緊接著我們就是構造輔助函數并且找兩個點的函數值相等，當然這里我們在找兩個相等點時，不一定要求是找區(qū)間的端點，也有可能是區(qū)間內部的點。如果含有一個中值，中值所屬于的區(qū)間是開區(qū)間或者是閉區(qū)間，并且不含有導數，那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，在第一章閉區(qū)間上連續(xù)里我們有兩個常用的定理--零點定理和介值定理。如果區(qū)間是開區(qū)間則選擇零點定理，如果區(qū)間是閉區(qū)間則選擇介值定理來證明。
說到這里，一個中值的情況我們就分析完了。下面我們主要談談如何考慮兩個中值的情況。如果需要證明的式子中含有兩個中值，這個時候我們要考慮需要用幾次定理來證明。我們知道用一次定理得到的式子只含有一個中值，即使是比較麻煩的柯西中值定理也是這樣。因此，若是要出現兩個中值，那一定是用了兩次中值定理。當然，我們在用兩次定理后，這時一定會得到兩個式子，而最終所得到的式子含兩個中值應該為前面我們所得到的兩個式子合并后的結果。根據歷年真題的詳細解讀，含有兩個中值的情況一般我們會考慮用兩次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。具體怎么用這個兩個定理，以及如何選擇輔助函數，我們一般可以通過所要證明的式子來確定。
如果所要證明的式子有三個中值，這種情況和上面兩個中值的情況是類似的。一般情況下，如果三個中值要求是不同點，則一般分區(qū)間，我們可以考慮利用三次拉格朗日中值定理來處理。
因此，對于這一塊的有關中值定理的內容，要從中值出發(fā)，找相關的特質點，來確定所用是哪一個中值定理，到底用一次還是用兩次。又或者兩個結合起來用，又或者用三次中值定理來解決。無論怎樣，把基本定理整明白，理清我們上面分析真題的思路和方法。當然有上述這些情況的分析，并不是就可以解決掉所有有關這方面的題目了，畢竟是真題，它其中的變形是多樣的，因此，在我們有了上述大題分析題目的思路情況下，還需要把各個細節(jié)給打通。所以當我們確定用羅爾定理了，緊接著要考慮的就是輔助函數的構造，以及要找函數值相等的點。又或者當我們確定用拉格朗日中值定理或柯西中值定理時，也需要我們考慮有關輔助函數的構造。因此，如何選擇中值定理，如何考慮輔助函數的構造是需要我們仔細琢磨，慢慢精通的。
考研數學高數7大中值定理詳解
七大定理的歸屬。
零點定理與介值定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。三大中值定理與泰勒定理同屬于微分中值定理，并且所包含的內容遞進。積分中值定理屬于積分范疇，但其實也是微分中值定理的推廣。
對使用每個定理的體會
學生在看到題目時，往往會知道使用某個中值定理，因為這些問題有個很明顯的特征—含有某個中值。關鍵在于是對哪個函數在哪個區(qū)間上使用哪個中值定理。
1、使用零點定理問題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個(或者只有一個)根”。從題目中我們一目了然，應當是對函數f(x)在區(qū)間[a,b]內使用零點定理。應當注意的是零點定理只能說明零點在某個開區(qū)間內，當要求說明根在某個閉區(qū)間或者半開半閉區(qū)間內時，需要對這些端點做例外說明。
2、介值定理問題可以化為零點定理問題，也可以直接說明，如“證明在(a,b)內存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說明函數f(x)在[a,b]內連續(xù)，以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內。
3、用微分中值定理說明的問題中，有兩個主要特征：含有某個函數的導數(甚至是高階導數)、含有中值(也可能有多個中值)。應用微分中值定理主要難點在于構造適當的函數。在微分中值定理證明問題時，需要注意下面幾點：
(1)當問題的結論中出現一個函數的一階導數與一個中值時，肯定是對某個函數在某個區(qū)間內使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理;
(2)當出現多個函數的一階導數與一個中值時，使用柯西中值定理，此時找到函數是最主要的;
(3)當出現高階導數時，通常歸結為兩種方法，對低一階的導函數使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明;
(4)當出現多個中值點時，應當使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點不一樣，需要注意區(qū)間的選擇，兩次使用中值定理的區(qū)間應當不同;
(5)使用微分中值定理的難點在于如何構造函數，如何選擇區(qū)間。對此我的體會是應當從需要證明的結論入手，對結論進行分析。我們總感覺證明題無從下手，我認為證明題其實不難，因為證明題的結論其實是對你的提示，只要從證明結論入手，逐步分析，必然會找到證明方法。
4、積分中值定理其實是微分中值定理的推廣，對變上限函數使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且?guī)в兄兄档淖C明題時，一定是對某個變上限積分在某點處展開為泰勒展開式或者直接使用積分中值定理。當證明結論中僅有積分與被積函數本身時，一般使用積分中值定理;當結論中有積分與被積函數的導數時，一般需要展開變上限積分為泰勒展開式。
考研數學概率部分復習的4個突破口
在文字敘述題上下功夫
考生一方面多做些題目，尤其是文字敘述的題目，逐漸提高自己分析問題的能力。另一方面花點時間準確理解概率論與數理統計中的基本概念�？忌趶土曔^程中可以結合一些實際問題理解概念和公式，也可以通過做一些文字敘述題鞏固概念和公式。只要針對每一個基本概念準確的理解，公式理解的準確到位，并且多做些相關題目，再遇到考卷中碰到類似題目時就一定能夠輕易讀懂和正確解答。
會用公式解題
概率論與數理統計中的公式不僅要記住，而且要會用，要會用這些公式分析實際中的問題。我在這里推薦一個記憶公式的方法，就是結合實際的例子和模型記憶。比如二向概率公式，你可以用這樣一個模型記憶，把一枚硬幣重復拋N次，正面朝上的概率是多少呢?這樣才是在理解基礎上的記憶，記憶的東西既不容易忘，又能夠正確運用到題目的解決中。
對概率論與數理統計的考點整體把握
考研中，概率論的重點考查對象在于隨機變量及其分布和隨機變量的數字特征。所以對于第一條中所講的古典概型與幾何概型這部分，只要掌握一些簡單的概率計算就可，把大量精力放在隨機變量的分布上。數理統計的考查重點在于與抽樣分布相關的統計量的分布及其數字特征。
心理上要重視
考研數學試題中有關概率論與數理統計的題目對大多數考生來說有一定難度，這就使得很多考完試的同學感慨萬千，概率題太難了!同時也為學弟學妹們傳達了概率題目難的信息。所以同學們在復習之前就已經有了先入為主的看法：概率比較難!
但同學們沒有注意到，在自己復習之初做得準備都是關于高等數學(微積分)的，在概率上的時間本身就不足。而且如果你的潛意識中覺得一件事情難的話，那么那件事情對你來說就真的很難。我一直認為，人的潛力是非常巨大的。這也與“有多少想法，就有多大成就”的說法相合。
如果你相信自己，那么概率復習起來是簡單的，考試中有關概率的題目也是容易的，數學滿分不是沒有可能的。那么，從現在開始，在心理上告訴自己：概率并不難!
在認真熟悉教材上的原理與概念，深刻了解基本概念、基本性質。在同學們以后的復習過程中注意以下幾個問題，通過做題來檢驗自己的復習程度。
概念不清，只會背不會運用;不能正確地選擇概率公式去證明和計算;不能熟練地應用有關的定義、公式和性質進行綜合分析、運算和證明。
分析有誤，概率模型搞錯。
考研數一數二數三區(qū)別
一、區(qū)別
數學分為三類，最大的區(qū)別在于知識面的要求上：數學一最廣，數學三其次，數學二最低。這個差異體現在細節(jié)上，就成了數學一、二、三在考試內容和適用專業(yè)上的不同之處。
數學一：針對對數學要求較高的理工類
(1)考試內容：
a.高等數學(函數、極限、連續(xù)、一元函數微積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數的微積分學、無窮級數、常微分方程);
b.線性代數(行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、二次型);
c.概率論與數理統計(隨機事件和概率、隨機變量及其概率分布、二維隨機變量及其概率分布、隨機變量的數字特征、大數定律和中心極限定理、數理統計的基本概念、參數估計、假設檢驗)。
(2)適用專業(yè)：
a.工學門類的力學，機械工程，光學工程，儀器學與技術，冶金工程，動力學工程及工程物理，電氣工程，電子科學與技術，信息與通信工程，控制科學與工程，計算機科學與技術，土木工程，水利工程，測繪科學與技術，交通運輸工程，船舶與海洋工程，航空宇航科學與技術，兵器科學與技術，核科學與技術，生物醫(yī)學工程等一級學科中所有的二級學科，專業(yè)。
b.工學門類的材料與工程，化學工程與技術，地質資源與地質工程，礦業(yè)工程，石油與天然氣工程，環(huán)境科學與工程等一級學科中對數學要求較高的二級學科，專業(yè)。
c.管理學門類中的管理科學與工程一級學科。
數學二：針對對數學要求低一些的農、林、地、礦、油等專業(yè)
(1)考試內容：
a.高等數學(函數、極限、一元函數微積分學、常微分方程);
b.線性代數(行列陣、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量)。
(2)適用專業(yè)：工學門類的紡織科學與工程、輕工技術與工程、農業(yè)工程、林業(yè)工程、食品科學與工程第一級學科中所有的二級學科、專業(yè)。
數學三：針對管理、經濟等方向
(1)考試內容：
a.微積分(函數、極限、連續(xù)、一元函數微積分學、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程與差分方程);
b.線性代數(行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、二次型);
c.概率論與數理統計(隨機事件和概率、隨機變量及其概率分布、二維隨機變量及其概率分布、隨機變量的數字特征、大數定律和中心極限定理、數理統計的基本概念、參數估計、假設檢驗)。
(2)適用專業(yè)：
a.經濟學門類的理論經濟學一級學科中的所有二級學科、專業(yè);
b.經濟學門類的應用經濟學一級學科中的統計學科、專業(yè)、統計學、數量經濟學、國民經濟學、區(qū)域經濟學、財政學(含稅收學)、金融學(含保險學)、產業(yè)經濟學、財政學(含稅收學)、金融學(含保險學)、產業(yè)經濟、國際貿易學、勞動經濟學、國防經濟。
c.管理學門類的工程管理一級學科中的二級學科、專業(yè);企業(yè)管理(含財務管理、市場營銷、人力資源管理)、技術經濟及管理、會計學、旅游管理。
d.管理學門類的農林經濟管理一級學科中的所有二級學科、專業(yè)。
二、難度系數
數一考得比較全面，高數，線代，概論都考，而且題目偏難。數二不考概論，而且題目較數一容易。數三考得也很全面，題目的難度不比數一簡單多少。
有些人認為數一比數三難很多，其實不然，注重的領域不同，所以難度無法進行比較。數一題目涉及范圍廣，而且有時需要形象思維，難度也不低。數三雖然大綱內容比數一少，但題目精，難度不是想象中的那么簡單。
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