九年級數學下二次函數質量檢測試題

　　一、選擇題

　　1.二次函數y=-x2+2x+2化為y=a(x-h)2+k的形式，下列正確的是( )

　　A. y=-(x-1)2+2 B. y=-(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4

　　2.拋物線y=(x-2)2+5的頂點坐標是( )

　　A. (-2，5) B. (2，5) C. (-2，-5) D. (2，-5)

　　3.把拋物線y=-x2向左平移1個單位長度，然后向上平移3個單位長度，則平移后拋物線的解析式為( )

　　A.y=-(x-1)²-3 B.y=-(x+1)²-3 C.y=-(x-1)²+3 D.y=-(x+1)²+3

　　4.小明從圖所示的二次函數 的圖象中，觀察得出了下面四條信息：① ;② <0;③ ;④方程 必有一個根在-1到0之間.你認為其中正確信息的個數有( )

　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

　　5.已知二次函數的圖象(﹣0.7≤x≤2)如圖所示、關于該函數在所給自變量x的取值范圍內，下列說法正確的是( )

　　A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1

　　C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，無最大值

　　x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …

　　y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …

　　6.二次函數 ，自變量x與函數y的對應值如下表：

　　則下列說法正確的是( )

　　A. 拋物線的開口向下 B. 當x> 時，y隨x的增大而增大

　　C. 二次函數的最小值是 D. 拋物線的對稱軸是x=

　　7.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，反比例函數 與正比例函數y=bx在同一坐標系內的大致圖象是( )

　　A. B. C. D.

　　8.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動，到達A點停止運動;另一動點Q同時從B點出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達A點停止運動.設P點運動時間為x(s)，△BPQ的面積為y(cm2)，則y關于x的函數圖象是( )

　　9.二次函數y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實數根，則m的最大值為( )

　　A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.9

　　10.已知二次函數y=kx2﹣5x﹣5的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是( )

　　A.k>- B.k - 且k≠0 C.k - D.k>- 且k≠0

　　評卷人 得分

　　二、填空題

　　11.已知拋物線y=x2﹣(k+1)x+4的頂點在x軸上，則k的值是 .

　　12.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點是A(1，0)，對稱軸為直線x=﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .

　　13.利用圖象法求方程的解，體現了數形結合的方法，它是將方程的解看成兩個函數圖象交點的橫坐標.若關于x的方程x2+a﹣ =0(a>0)只有一個整數解，則a的值等于 .

　　14.已知拋物線p：y= +bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點(點A在點B左側)，點C關于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線.若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y= +2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 .

　　評卷人 得分

　　三、解答題

　　15.已知：關于x的方程：mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.

　　(1)求證：無論m取何值時，方程恒有實數根;

　　(2)若關于x的二次函數y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.

　　16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A(﹣4，0)、B(1，0)、C(0，3)三點，直線y=mx+n經過A(﹣4，0)、C(0，3)兩點.

　　(1)寫出方程ax2+bx+c=0的解;

　　(2)若ax2+bx+c>mx+n，寫出x的取值范圍.

　　17.已知拋物線y=x2﹣2x﹣8.

　　(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化為y=(x﹣h)2+k形式;

　　(2)并指出：拋物線的頂點坐標是 ，拋物線的對稱軸方程是 ，拋物線與x軸交點坐標是 ，當x 時，y隨x的增大而增大.

　　18.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2+1的對稱軸是直線x=1.

　　(1)求拋物線的表達式;

　　(2)點D(n，y1)，E(3，y2)在拋物線上，若y1

　　(3)設點M(p，q)為拋物線上的一個動點，當﹣1

　　19.根據下列要求，解答相關問題.

　　(1)請補全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的過程.

　�、贅嬙旌瘮�，畫出圖象：根據不等式特征構造二次函數y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐標系中(圖1)畫出二次函數y=﹣2x2﹣4x的圖象(只畫出圖象即可).

　�、谇蟮媒琰c，標示所需，當y=0時，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為 ;并用鋸齒線標示出函數y=﹣2x2﹣4x圖象中y>0的部分.

　�、劢柚鷪D象，寫出解集：由所標示圖象，可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集為﹣2

　　20.若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”.

　　(1)請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數;

　　(2)已知關于x的二次函數y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經過點A(1，1)，若y1+y2為y1為“同簇二次函數”，求函數y2的表達式，并求當0≤x≤3時，y2的取值范圍.

　　21.九(1)班數學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：

　　時間x(天) 1≤x<50 50≤x≤90

　　售價(元/件) x+40 90

　　每天銷量(件) 200﹣2x

　　已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元.

　　(1)求出y與x的函數關系式;

　　(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少?

　　(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結果.

　　22.如圖，已知拋物線的頂點為A(1，4)，拋物線與y軸交于點B(0，3)，與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.

　　(1)求此拋物線的解析式;

　　(2)求C、D兩點坐標及△BCD的面積;

　　(3)若點P在x軸上方的拋物線上，滿足S△PCD= S△BCD，求點P的坐標.

　　23.如圖1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，點P、Q同時從點B出發，以相同的速度分別沿折線B→A→C、射線BC運動，連接PQ.當點P到達點C時，點P、Q同時停止運動.設BQ=x，△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S.如圖2是S關于x的函數圖象(其中0≤x≤8，8

　　(1)填空：m的值為 ;

　　(2)求S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍;

　　(3)請直接寫出△PCQ為等腰三角形時x的值.

　　24.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點左側，B點的坐標為(4，0)，與y軸交于C(0，﹣4)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

　　(1)求這個二次函數的表達式.

　　(2)連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形?若存在，請求出此時點P的坐標;若不存在，請說明理由.

　　(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

　　參考答案

　　1.B

　　2.B

　　3.D

　　4.C

　　5.C

　　6.D

　　7.B

　　8.A

　　9.B.

　　10.B

　　11.3或﹣5.

　　12.x1=1，x2=﹣3.

　　13.3.

　　14.y= ﹣2x﹣3.

　　15.解：(1)、①當m=0時，原方程可化為x﹣2=0，解得x=2;②當m≠0時，方程為一元二次方程，

　　△=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣2) =m2+2m+1 =(m+1)2≥0，故方程有兩個實數根;

　　故無論m為何值，方程恒有實數根.

　　(2)、∵二次函數y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，

　　∴ =2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣ .

　　則函數解析式為y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣ .

　　16.解：(1)、根據一元二次方程的解就是拋物線與x軸的交點的橫坐標解答即可;(2)、確定出拋物線在直線上方部分的x的取值即可.

　　試題解析：(1)、∵拋物線y=ax2+bx+c經過A(﹣4，0)、B(1，0)，∴方程ax2+bx+c=0的解為x1=﹣4，x2=1;

　　(2)、由圖可知，ax2+bx+c>mx+n時，﹣4

　　17.解：(1)、y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8 =(x﹣1)2﹣9.

　　(2)、由(1)知，拋物線的解析式為：y=(x﹣1)2﹣9， ∴拋物線的頂點坐標是(1，﹣9)

　　拋物線的對稱軸方程是x=1 當y=0時， (x﹣1)2﹣9=0， 解得x=﹣2或x=4，

　　∴拋物線與x軸交點坐標是(﹣2，0)，(4，0); ∵該拋物線的開口向上，對稱軸方程是x=1，

　　∴當x>1時，y隨x的增大而增大.

　　18.解：(1)∵拋物線的對稱軸為x=1，∴x=﹣ =1.

　　解得：m=1.∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x.

　　(2)將x=3代入拋物線的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3.

　　將y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3.解得：x1=﹣1，x2=3.

　　∵a=﹣1<0，∴當n<﹣1或n>3時，y1

　　(3)設點M關于y軸對稱點為M′，則點M′運動的軌跡如圖所示：

　　∵當P=﹣1時，q=﹣(﹣1)2+2×(﹣1)=﹣3.∴點M關于y軸的對稱點M1′的坐標為(1，﹣3).

　　∵當P=2時，q=﹣22+2×2=0，∴點M關于y軸的對稱點M2′的坐標為(﹣2，0).

　　①當k<0時，∵點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0.

　　解得：k≥﹣2.

　　②當k>0時，∵點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，

　　∴k﹣4≤﹣3.解得;k≤1.

　　∴k的取值范圍是﹣2≤k≤1.

　　19.解：①圖所示：

　　;

　�、诜匠泰�2x2﹣4x=0即﹣2x(x+2)=0，

　　解得：x1=0，x2=﹣2;

　　則方程的解是x1=0，x2=﹣2，

　　圖象如圖1;

　　③函數y=x2﹣2x+1的圖象是：

　　當y=4時，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1.

　　則不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1.

　　20.解：(1)、設頂點為(h，k)的二次函數的關系式為y=a(x﹣h)2+k， 當a=2，h=3，k=4時，

　　二次函數的關系式為y=2(x﹣3)2+4. ∵2>0， ∴該二次函數圖象的開口向上.

　　當a=3，h=3，k=4時， 二次函數的關系式為y=3(x﹣3)2+4. ∵3>0，∴該二次函數圖象的開口向上.

　　∵兩個函數y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點相同，開口都向上，

　　∴兩個函數y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數”.

　　∴符合要求的兩個“同簇二次函數”可以為：y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4.

　　(2)、∵y1的圖象經過點A(1，1)， ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1. 整理得：m2﹣2m+1=0. 解得：m1=m2=1.

　　∴y1=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+(b﹣4)x+(c+3)，

　　∵y1+y2與y1為“同簇二次函數”， ∴y1+y2=3(x﹣1)2+1=3x2﹣6x+4， ∴函數y2的表達式為：y2=x2﹣2x+1.

　　∴y2=x2﹣2x+1=(x﹣1)2， ∴函數y2的圖象的對稱軸為x=1. ∵1>0，

　　∴函數y2的圖象開口向上. 當0≤x≤3時，∵函數y2的圖象開口向上， ∴y2的取值范圍為0≤y2≤4.

　　21.解：(1)、當1≤x<50時，y=(200﹣2x)(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，

　　當50≤x≤90時，

　　y=(200﹣2x)(90﹣30)=﹣120x+12000，

　　綜上所述：y= ;

　　(2)、當1≤x<50時，二次函數開口向下，二次函數對稱軸為x=45，

　　當x=45時，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，

　　當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，

　　當x=50時，y最大=6000，

　　綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元;

　　(3)、當1≤x<50時，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，

　　因此利潤不低于4800元的天數是20≤x<50，共30天; 當50≤x≤90時，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，

　　因此利潤不低于4800元的天數是50≤x≤60，共11天，

　　所以該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元.

　　22.解：(1)、∵拋物線的頂點為A(1，4)， ∴設拋物線的解析式y=a(x﹣1)2+4，

　　把點B(0，3)代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;

　　(2)由(1)知，拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4; 令y=0，則0=﹣(x﹣1)2+4，

　　∴x=﹣1或x=3， ∴C(﹣1，0)，D(3，0); ∴CD=4，∴S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6;

　　(3)由(2)知，S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6;CD=4， ∵S△PCD= S△BCD，

　　∴S△PCD= CD×|yP|= ×4×|yP|=3， ∴|yP|= ， ∵點P在x軸上方的拋物線上，

　　∴yP>0， ∴yP= ， ∵拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4; ∴ =﹣(x﹣1)2+4，

　　∴x=1± ， ∴P(1+ ， )，或P(1﹣ ， ).

　　考點：二次函數綜合題.

　　23.解：(1)如圖1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分別為M，N.

　　由題意AB=AC=8，∠A=120°，

　　∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，

　　∴AM= AB=4，BM=CM= ，

　　∴BC= ，

　　∴m=BC= ，

　　故答案為： .

　　(2)①當0≤m≤8時，如圖1中，

　　在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，

　　∴PN= x.

　　s= •BQ•PN= •x• •x= .

　�、诋�

　　在RT△PBN中，∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，

　　∴PN= PC=8﹣ x，

　　∴s= •BQ•PN= •x•(8﹣ x)= +4x.

　�、郛�

　　s= × •(8﹣ x)= ，

　　綜上，當0≤m≤8時，s = ;當

　　(3)①當點P在AB上，點Q在BC上時，△PQC不可能是等腰三角形.

　�、诋旤cP在AC上，點Q在BC上時，PQ=QC，

　　∵PC= QC，

　　∴16﹣x= ( ﹣x)，

　　∴x= +4.

　�、郛旤cP在AC上，點Q在BC的延長線時，PC=CQ，

　　即16﹣x=x﹣ ，

　　∴x=8+ .

　　∴△PCQ為等腰三角形時x的值為 +4或8+ .

　　考點：動點問題的函數圖象.

　　24.(1)二次函數的表達式為：y=x2﹣3x﹣4;

　　(2)存在，P點的坐標為( ，﹣2);

　　(3)此時P點的坐標為：(2，﹣6)，四邊形ABPC的面積的最大值為18.

　　解：(1)將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值;

　　(2)由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標;

　　(3)由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大;過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標.

　　試題解析：(1)將B、C兩點的坐標代入得：

　　，

　　解得： ;

　　所以二次函數的表達式為：y=x2﹣3x﹣4;

　　(2)存在點P，使四邊形POP′C為菱形;

　　設P點坐標為(x，x2﹣3x﹣4)，PP′交CO于E

　　若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO;

　　如圖1，連接PP′，則PE⊥CO于E，

　　∵C(0，﹣4)，

　　∴CO=4，

　　又∵OE=EC，

　　∴OE=EC=2

　　∴y=﹣2;

　　∴x2﹣3x﹣4=﹣2

　　解得：x1= ，x2= (不合題意，舍去)，

　　∴P點的坐標為( ，﹣2);

　　(3)如圖2，過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P(x，x2﹣3x﹣4)，設直線BC的解析式為：y=kx+d，

　　則 ，

　　解得： ，

　　∴直線BC的解析式為：y=x﹣4，

　　則Q點的坐標為(x，x﹣4);

　　當0=x2﹣3x﹣4，

　　解得：x1=﹣1，x2=4，

　　∴AO=1，AB=5，

　　S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

　　= ABOC+ QPBF+ QPOF

　　= ×5×4+ (4﹣x)[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]+ x[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]

　　=﹣2x2+8x+10

　　=﹣2(x﹣2)2+18

　　當x=2時，四邊形ABPC的面積最大，

　　此時P點的坐標為：(2，﹣6)，四邊形ABPC的面積的最大值為18.

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