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九年級數(shù)學函數(shù)專題訓練題
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一、選擇題
1、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n(m
A. m
【考點】： 拋物線與x軸的交點.
【分析】： 依題意畫出函數(shù)y=(x﹣a)(x﹣b)圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解.
【解答】： 解：依題意，畫出函數(shù)y=(x﹣a)(x﹣b)的圖象，如圖所示.
函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b(a
方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0轉化為(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的兩根是拋物線y=(x﹣a)(x﹣b)與直線y=1的兩個交點.
由拋物線開口向上，則在對稱軸左側，y隨x增大而減少
故選A.
【點評】： 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想.解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結論，避免了繁瑣復雜的計算.
2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)中的x與y的部分對應值如下表：
X ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列結論：
(1)ac<0;
(2)當x>1時，y的值隨x值的增大而減小.
(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個根;
(4)當﹣10.
其中正確的個數(shù)為( )
A.4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
【分析】：根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1.5，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解.
【解答】：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x=1時，y=5值最大，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，a<0;又x=0時，y=3，所以c=3>0，所以ac<0，故(1)正確;
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x= =1.5，∴當x>1.5時，y的值隨x值的增大而減小，故(2)錯誤;
∵x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個根，故(3)正確;
∵x=﹣1時，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1時，ax2+(b﹣1)x+c=0，∵x=3時，ax2+(b﹣1)x+c=0，且函數(shù)有最大值，∴當﹣10，故(4)正確.
故選B.
【點評】：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不等式，有一定難度.熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵.
3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結論：
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④當x>﹣1時，y的值隨x值的增大而增大.
其中正確的結論有( )
A.1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【分析】：根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =2，則有4a+b=0;觀察函數(shù)圖象得到當x=﹣3時，函數(shù)值小于0，則9a﹣3b+c<0，即9a+c<3b;由于x=﹣1時，y=0，則a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根據(jù)拋物線開口向下得a<0，于是有8a+7b+2c>0;由于對稱軸為直線x=2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當x>2時，y隨x的增大而減小.
【解答】：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正確;
∵當x=﹣3時，y<0，∴9a﹣3b+c<0，即9a+c<3b，所以②錯誤;
∵拋物線與x軸的一個交點為(﹣1，0)，∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵拋物線開口向下，∴a<0，∴8a+7b+2c>0，所以③正確;
∵對稱軸為直線x=2，
∴當﹣12時，y隨x的增大而減小，所以④錯誤.故選B.
【點評】：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右;常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于(0，c);拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
4、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，則下列說法：
①c=0;②該拋物線的對稱軸是直線x=﹣1;③當x=1時，y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).
其中正確的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【考點】： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.
【分析】： 由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.
【解答】： 解：拋物線與y軸交于原點，c=0，故①正確;
該拋物線的對稱軸是： ，直線x=﹣1，故②正確;
當x=1時，y=2a+b+c，
∵對稱軸是直線x=﹣1，
∴ ，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③錯誤;
x=m對應的函數(shù)值為y=am2+bm+c，
x=﹣1對應的函數(shù)值為y=a﹣b+c，又x=﹣1時函數(shù)取得最小值，
∴a﹣b+c
∵b=2a，
∴am2+bm+a>0(m≠﹣1).故④正確.
故選：C.
【點評】： 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.
5、已知點A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為( )
A. (﹣3，7) B. (﹣1，7) C. (﹣4，10) D. (0，10)
【考點】： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征;坐標與圖形變化-對稱.
【分析】： 把點A坐標代入二次函數(shù)解析式并利用完全平方公式整理，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，再求出點A的坐標，然后求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)對稱性求解即可.
【解答】： 解：∵點A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，
∴(a﹣2b)2+4×(a﹣2b)+10=2﹣4ab，
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，
(a+2)2+4(b﹣1)2=0，
∴a+2=0，b﹣1=0，
解得a=﹣2，b=1，
∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，
2﹣4ab=2﹣4×(﹣2)×1=10，
∴點A的坐標為(﹣4，10)，
∵對稱軸為直線x=﹣ =﹣2，
∴點A關于對稱軸的對稱點的坐標為(0，10).
故選D.
【點評】： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的對稱性，坐標與圖形的變化﹣對稱，把點的坐標代入拋物線解析式并整理成非負數(shù)的形式是解題的關鍵.
6如圖，矩形ABCD的頂點A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對角線的交點與原點O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，若矩形ABCD的周長始終保持不變，則經(jīng)過動點A的反比例函數(shù)y= (k≠0)中k的值的變化情況是( )
A. 一直增大 B. 一直減小 C. 先增大后減小 D. 先減小后增大
【考點】： 反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;矩形的性質(zhì).
【分析】： 設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長始終保持不變，則a+b為定值.根據(jù)矩形對角線的交點與原點O重合及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知k= AB• AD=ab，再根據(jù)a+b一定時，當a=b時，ab最大可知在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小.
【解答】： 解：設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2B.
∵矩形ABCD的周長始終保持不變，
∴2(2a+2b)=4(a+b)為定值，
∴a+b為定值.
∵矩形對角線的交點與原點O重合
∴k= AB• AD=ab，
又∵a+b為定值時，當a=b時，ab最大，
∴在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小.
故選C.
【點評】： 本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義及不等式的性質(zhì)，有一定難度.根據(jù)題意得出k= AB• AD=ab是解題的關鍵.
7、已知函數(shù)y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m
A.m+n<0 B m+n>0 C.m-n<0 D.m-n>0
【分析】： 根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷出m<﹣1，n=1，然后求出m+n<0，再根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷即可.
【解答】：由圖可知，m<﹣1，n=1，所以，m+n<0，
所以，一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過第二四象限，且與y軸相交于點(0，1)，
反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二四象限，
縱觀各選項，只有C選項圖形符合.故選C.
【點評】：本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，觀察二次函數(shù)圖象判斷出m、n的取值是解題的關鍵.
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