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三角函數(shù)應用中考數(shù)學題匯總
三角函數(shù)應用是中考的必考考點，下面百分網小編為大家整理了一份三角函數(shù)應用的中考數(shù)學題匯總，歡迎大家閱讀參考，更多內容請關注應屆畢業(yè)生網!
解直角三角形(三角函數(shù)應用)
1、(綿陽市2013年)如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60º，又從A點測得D點的俯角β為30º，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為( A )
A.20米 B. 米 C. 米 D. 米
[解析]GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=103 米，DF=AF•tan30º=103 ×33 =10米，
CD=AB-DF=30-10=20米。
2、(2013杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，則斜邊上的高等于( )
A. B. C. D.
考點：解直角三角形.
專題：計算題.
分析：在直角三角形ABC中，由AB與sinA的值，求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)面積法求出CD的長，即為斜邊上的高.
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，
在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，
∴BC=ABsinA=2.4，
根據(jù)勾股定理得：AC= =3.2，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD= = .
故選B
點評：此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及三角形的面積求法，熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵.
3、(2013•綏化)如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的長.
考點： 解直角三角形.
分析： 首先解Rt△ABD，求出AD、BD的長度，再解Rt△ADC，求出DC的長度，然后由BC=BD+DC即可求解.
解答： 解：∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD= AB=4，BD= AD=4 .
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴DC=AD=4，
∴BC=BD+DC=4 +4.
點評： 本題考查了解直角三角形的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是在直角三角形中利用解直角三角形的知識求出BD、DC的長度.
4、(2013•鄂州)著名畫家達芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學家、發(fā)明家.他曾經設計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽(滑槽寬度忽略不計)，一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來.若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為 10 cm.
考點： 直角三角形斜邊上的中線.
分析： 連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長，畫出的圓的半徑就是OP長.
解答： 解：連接OP，
∵△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點，
∴OP= AB，
∵AB=20cm，
∴OP=10cm，
故答案為：10.
點評： 此題主要考查了直角三角形的性質，關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
5、(2013安順)在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=8，則△ABC的面積為 .
考點：解直角三角形.
專題：計算題.
分析：根據(jù)tanA的值及BC的長度可求出AC的長度，然后利用三角形的面積公式進行計算即可.
解答：解：∵tanA= =，
∴AC=6，
∴△ABC的面積為×6×8=24.
故答案為：24.
點評：本題考查解直角三角形的知識，比較簡單，關鍵是掌握在直角三角形中正切的表示形式，從而得出三角形的兩條直角邊，進而得出三角形的面積.
6、(11-4解直角三角形的實際應用•2013東營中考)某校研究性學習小組測量學校旗桿AB的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的`仰角為60，在教學樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為 米.
15. 9.解析：過B作BE⊥CD于點E，設旗桿AB的高度為x，在 中， ，所以 ，在 中， ， ， ，所以 ，因為CE=AB=x，所以 ，所以x=9，故旗桿的高度為9米.
7、(2013•常德)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB= ，AD=1.
(1)求BC的長;
(2)求tan∠DAE的值.
考點： 解直角三角形.
分析： (1)先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1;解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=2 ，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解;
(2)先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解.
解答： 解：(1)在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1.
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，
∴AB= =3，
∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1;
(2)∵AE是BC邊上的中線，
∴CE= BC= + ，
∴DE=CE﹣CD= ﹣ ，
∴tan∠DAE= = ﹣ .
點評： 本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關鍵.
8、(13年山東青島、20)如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側的A、B兩點分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°
(1)求CD與AB之間的距離;
(2)某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B，求他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走多少米
(參考數(shù)據(jù)： ， ， ，
9、(2013•益陽)如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5.請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置.(以A，B為參照點，結果精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù)：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50)
考點： 解直角三角形的應用.
專題： 應用題.
分析： 設PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置.
解答： 解：設PD=x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD= ，
∴AD= ≈ =x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD= ，
∴DB= ≈ =2x，
又∵AB=80.0米，
∴x+2x=80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，
∴DB=2x=49.2.
答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米.
點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關線段的長度，難度一般.
10、(2013•婁底)2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象.已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度.(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： )
考點： 解直角三角形的應用.
分析： 過點C作CD⊥AB于點D，設CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關于x的方程，解出即可.
解答： 解：過點C作CD⊥AB于點D，
設CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
則AD= CD= x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
則BD=CD=x，
由題意得， x﹣x=4，
解得：x= =2( +1)≈5.5.
答：生命所在點C的深度為5.5米.
點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)知識表示出相關線段的長度，注意方程思想的運用.
11、(2013•包頭)如圖，一根長6 米的木棒(AB)，斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，與地面的傾斜角(∠ABO)為60°.當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′.
(1)求OB的長;
(2)當AA′=1米時，求BB′的長.
考點： 勾股定理的應用;解直角三角形的應用.
分析： (1)由已知數(shù)據(jù)解直角三角形AOB即可;
(2)首先求出OA的長和OA′的長，再根據(jù)勾股定理求出OB′的長即可.
解答： 解：(1)根據(jù)題意可知：AB=6 ，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=ABcos∠ABO=6 cos60°=3 米，
∴OB的長為3 米;
(2)根據(jù)題意可知A′B′=AB=6 米，
在Rt△AOB中，∵sin∠ABO= ，
∴OA=ABsin∠ABO=6 sin60°=9米，
∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，
∴OA′=8米，
在Rt△A′OB′中，OB′=2 米，
∴BB′=OB′﹣OB=(2 ﹣3 )米.
點評： 本題考查了勾股定理的應用和特殊角的銳角三角函數(shù)，是中考常見題型.
12、(2013•呼和浩特)如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經過C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛.已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°.則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米?(結果保留根號)
考點： 解直角三角形的應用.
分析： 過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據(jù)AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長度，用AC+BC﹣(AD+BD)即可求解.
解答： 解：過C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5 ，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5 ，
則用AC+BC﹣(AD+BD)=10+5 ﹣(5 +5)=5+5 ﹣5 (千米).
答：汽車從A地到B地比原來少走(5+5 ﹣5 )千米.
點評： 本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形.
13、(2013•巴中)2013年4月20日，四川雅安發(fā)生里氏7.0級地震，救援隊救援時，利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點C處有生命跡象，已知廢墟一側地面上兩探測點A、B相距4米，探測線與地面的夾角分別為30°和60°，如圖所示，試確定生命所在點C的深度(結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù) ≈1.41， ≈1.73)
考點： 解直角三角形的應用.
分析： 過點C作CD⊥AB交AB于點D，則∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，CD= BD，在Rt△ADC中，AD= CD，然后根據(jù)AB=AD﹣BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可.
解答： 解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB于點D.
∵探測線與地面的夾角為30°和60°，
∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△BDC中，tan60°= ，
∴BD= = ，
在Rt△ADC中，tan30°= ，
∴AD= = ，
∵AB=AD﹣BD=4，
∴ ﹣ =4，
∴CD=2 ≈3.5(米).
答：生命所在點C的深度大約為3.5米.
點評： 本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形，解直角三角形，也考查了把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力.
14、(2013•舟山)某學校的校門是伸縮門(如圖1)，伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米.校門關閉時，每個菱形的銳角度數(shù)為60°(如圖2);校門打開時，每個菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°(如圖3).問：校門打開了多少米?(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848).
考點： 解直角三角形的應用;菱形的性質.
分析： 先求出校門關閉時，20個菱形的寬即大門的寬;再求出校門打開時，20個菱形的寬即伸縮門的寬;然后將它們相減即可.
解答： 解：如圖，校門關閉時，取其中一個菱形ABCD.
根據(jù)題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米.
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大門的寬是：0.3×20≈6(米);
校門打開時，取其中一個菱形A1B1C1D1.
根據(jù)題意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米.
∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616(米)，
∴B1D1=2B1O1=0.05232米，
∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米;
∴校門打開的寬度為：6﹣1.0464=4.9536≈5(米).
故校門打開了5米.
點評： 本題考查了菱形的性質，解直角三角形的應用，難度適中.解題的關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解.
15、(2013•紹興)如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘架所成的角∠BAC，當傘收緊時，結點D與點M重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度如下：單位：cm
傘架 DE DF AE AF AB AC
長度 36 36 36 36 86 86
(1)求AM的長.
(2)當∠BAC=104°時，求AD的長(精確到1cm).
備用數(shù)據(jù)：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799.
考點： 解直角三角形的應用.
分析： (1)根據(jù)AM=AE+DE求解即可;
(2)先根據(jù)角平分線的定義得出∠EAD= ∠BAC=52°，再過點E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性質得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函數(shù)的定義求出AG的長，進而得到AD的長度.
解答： 解：(1)由題意，得AM=AE+DE=36+36=72(cm).
故AM的長為72cm;
(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= ∠BAC=52°.
過點E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG.
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44(cm).
故AD的長約為44cm.
點評： 本題考查了解直角三角形在實際生活中的應用，其中涉及到角平分線的定義，等腰三角形的性質，三角函數(shù)的定義，難度適中.
16、(2013年南京)已知不等臂蹺蹺板AB長4m。如圖，當AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾
角為;如圖，當AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含、的式子表示)
解析：解：在Rt△AHO中，sin= OH OA ，∴OA= OH sin 。 在Rt△BHO中，sin= OH OB ，∴OB= OH sin 。
∵AB=4，∴OAOB=4，即 OH sin OH sin =4。∴OH= 4sinsin sinsin (m)。 (8分)
(2013年江西省)如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，∠OAB=120°.若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示.
(1)求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離;(結果精確到0.01)
(2)求雨刮桿AB掃過的最大面積.(結果保留π的整數(shù)倍)
(參考數(shù)據(jù)：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ， ≈26.851，可使用科學計算器)
【答案】解：(1)雨刮桿AB旋轉的最大角度為180° .
連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE= = ，
∴OE=5 ，
∴AE=5.
∴EB=AE+AB=53，
在Rt△OEB中，
∵OE=5 ，EB=53，
∴OB= = =2 ≈53.70;
(2)∵雨刮桿AB旋轉180°得到CD，即△OCD與△OAB關于點O中心對稱，
∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD，
∴雨刮桿AB掃過的最大面積S= π(OB2-OA2)
=1392π.
【考點解剖】 本題考查的是解直角三角形的應用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經驗，弄不懂題意(提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難).
【解題思路】 將實際問題轉化為數(shù)學問題，(1)AB旋轉的最大角度為180°;在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉化為直角三角形來求解，由∠OAB=120°想到作AB邊上的高，得到一個含60°角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長;(2)雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積(以OB、OA為半徑的半圓面積之差).
【方法規(guī)律】 將斜三角形轉化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.
【關鍵詞】 刮雨器 三角函數(shù) 解直角三角形 中心對稱 扇形的面積
17、(2013陜西)一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m。已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高CD的長.(結果精確到0.1m)
考點：此題考查穩(wěn)定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的應用測量高度，寬度等線段的長度的具體計算，將問題轉換成方程(組)來求解，經常設置的具體的實際情景得到與測量相關的計算;
解析：本題考查的是典型的測量問題之中心投影下的測量，而此問題設置基本上就是應用相似的性質來將實際問題轉化成數(shù)學問題來解決，
解：如圖，設CD長為 m ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA
∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC=CD= ，∴△ABN∽△ACD ∴
即 解得
所以路燈高CD約為6.1米
18、(2013年濰坊市)如圖1所示，將一個邊長為2的正方形 和一個長為2、寬為1的長方形 拼在一起，構成一個大的長方形 .現(xiàn)將小長方形 繞點 順時針旋轉至 ,旋轉角為 .
(1)當點 恰好落在 邊上時，求旋轉角 的值;
(2)如圖2， 為 的中點，且0°< <90°，求證： ;
(3)小長方形 繞點 順時針旋轉一周的過程中， 與 能否全等?若能，直接寫出旋轉角 的值;若不能，說明理由.
答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα= ,∴α=30°
(2) ∵G為BC中點，∴GC=CE′=CE=1，
∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,
∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D
(3) 能. α=135°或α=315°
考點：圖形的旋轉、三角函數(shù)、解直角三角形、全等三角形的判定
點評：本題依據(jù)學生的認知規(guī)律，從簡單特殊的問題入手，將問題向一般進行拓展、變式，通過操作、觀察、計算、猜想等獲得結論.此類問題綜合性較強，要完成本題學生需要有較強的類比、遷移、分析、變形應用、綜合、推理和探究能力.
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