2016高一數學期末試題及答案
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(滿分160分，考試時間120分鐘)
注意事項：
1. 答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規定的地方.
2.試題答案均寫在答題卷相應位置，答在其它地方無效.
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上)
1.不等式 的解集為 ▲ .
2.直線 ： 的傾斜角為 ▲ .
3.在相距 千米的 兩點處測量目標 ，若 ， ，則 兩點之間的距離是 ▲ 千米(結果保留根號).
4.圓 和圓 的位置關系是 ▲ .
5.等比數列 的公比為正數，已知 ， ，則 ▲ .
6.已知圓 上兩點 關于直線 對稱，則圓 的半徑為
▲ .
7.已知實數 滿足條件 ，則 的最大值為 ▲ .
8.已知 ， ，且 ，則 ▲ .
9.若數列 滿足： ， ( )，則 的通項公式為 ▲ .
10.已知函數 ， ，則函數 的值域為
▲ .
11.已知函數 ， ，若 且 ，則 的最小值為 ▲ .
12.等比數列 的公比 ，前 項的和為 .令 ，數列 的前 項和為 ，若 對 恒成立，則實數 的最小值為 ▲ .
13. 中，角A，B，C所對的邊為 .若 ，則 的取值范圍是
▲ .
14.實數 成等差數列，過點 作直線 的垂線，垂足為 .又已知點 ，則線段 長的取值范圍是 ▲ .
二、解答題：(本大題共6道題，計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本題滿分14分)
已知 的三個頂點的坐標為 .
(1)求邊 上的高所在直線的方程;
(2)若直線 與 平行，且在 軸上的截距比在 軸上的截距大1，求直線 與兩條坐標軸
圍成的三角形的周長.
16.(本題滿分14分)
在 中，角 所對的邊分別為 ，且滿足 .
(1)求角A的大小;
(2)若 ， 的面積 ，求 的長.
17.(本題滿分15分)
數列 的前 項和為 ，滿足 .等比數列 滿足： .
(1)求證：數列 為等差數列;
(2)若 ，求 .
18.(本題滿分15分)
如圖， 是長方形海域，其中 海里， 海里.現有一架飛機在該海域失事，兩艘海事搜救船在 處同時出發，沿直線 、 向前聯合搜索，且 (其中 、 分別在邊 、 上)，搜索區域為平面四邊形 圍成的海平面.設 ，搜索區域的面積為 .
(1)試建立 與 的關系式，并指出 的取值范圍;
(2)求 的最大值，并指出此時 的值.
19.(本題滿分16分)
已知圓 和點 .
(1)過點M向圓O引切線，求切線的方程;
(2)求以點M為圓心，且被直線 截得的弦長為8的圓M的方程;
(3)設P為(2)中圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內是否存在一定點R，使得 為定值?若存在，請求出定點R的坐標，并指出相應的定值;若不存在，請說明理由.
20.(本題滿分16分)
(1)公差大于0的等差數列 的前 項和為 ， 的前三項分別加上1，1，3后順次成為某個等比數列的連續三項， .
�、偾髷盗� 的通項公式;
②令 ，若對一切 ，都有 ，求 的取值范圍;
(2)是否存在各項都是正整數的無窮數列 ，使 對一切 都成立，若存在，請寫出數列 的一個通項公式;若不存在，請說明理由.
高 一 數 學 參 考 答 案
1. 2. 3. 4.相交 5.1 6.3
7.11 8. 9. 10. 11.3 12. 13.
14.
15.解：(1) ，∴邊 上的高所在直線的斜率為 …………3分
又∵直線過點 ∴直線的方程為： ，即 …7分
(2)設直線 的方程為： ，即 …10分
解得： ∴直線線 的方程為： ……………12分
∴直線 過點 三角形斜邊長為
∴直線 與坐標軸圍成的直角三角形的周長為 . …………14分
注：設直線斜截式求解也可.
16.解：(1)由正弦定理可得： ，
即 ;∵ ∴ 且不為0
∴ ∵ ∴ ……………7分
(2)∵ ∴ ……………9分
由余弦定理得： ， ……………11分
又∵ ， ∴ ，解得： ………………14分
17.解：(1)由已知得： ， ………………2分
且 時，
經檢驗 亦滿足 ∴ ………………5分
∴ 為常數
∴ 為等差數列，且通項公式為 ………………7分
(2)設等比數列 的公比為 ，則 ，
∴ ，則 ， ∴ ……………9分
�、�
�、�
�、� ②得：
…13分
………………15分
18.解：(1)在 中， ，
在 中， ，
∴ …5分
其中 ，解得：
(注：觀察圖形的極端位置，計算出 的范圍也可得分.)
∴ ， ………………8分
(2)∵ ，
……………13分
當且僅當 時取等號，亦即 時，
∵
答：當 時， 有最大值 . ……………15分
19.解：(1)若過點M的直線斜率不存在，直線方程為： ，為圓O的切線; …………1分
當切線l的斜率存在時，設直線方程為： ，即 ，
∴圓心O到切線的距離為： ，解得：
∴直線方程為： .
綜上，切線的方程為： 或 ……………4分
(2)點 到直線 的距離為： ，
又∵圓被直線 截得的弦長為8 ∴ ……………7分
∴圓M的方程為： ……………8分
(3)假設存在定點R，使得 為定值，設 ， ，
∵點P在圓M上 ∴ ，則 ……………10分
∵PQ為圓O的切線∴ ∴ ，
即
整理得： (*)
若使(*)對任意 恒成立，則 ……………13分
∴ ，代入得：
整理得： ，解得： 或 ∴ 或
∴存在定點R ，此時 為定值 或定點R ，此時 為定值 .
………………16分
20.解：(1)①設等差數列 的公差為 .
∵ ∴ ∴
∵ 的前三項分別加上1，1，3后順次成為某個等比數列的連續三項
∴ 即 ，∴
解得： 或
∵ ∴ ∴ ， ………4分
②∵ ∴ ∴ ∴ ，整理得：
∵ ∴ ………7分
(2)假設存在各項都是正整數的無窮數列 ，使 對一切 都成立，則
∴
∴ ，……， ，將 個不等式疊乘得：
∴ ( ) ………10分
若 ，則 ∴當 時， ，即
∵ ∴ ，令 ，所以
與 矛盾. ………13分
若 ，取 為 的整數部分，則當 時，
∴當 時， ，即
∵ ∴ ，令 ，所以
與 矛盾.
∴假設不成立，即不存在各項都是正整數的無窮數列 ，使 對一切 都成立.
………16分
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