2018屆自貢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目及答案
高考數(shù)學(xué)主要考察考生，基本計(jì)算的準(zhǔn)確與速度，通過多做一些模擬試卷將有助于我們的高考數(shù)學(xué)成績(jī)，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆自貢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆自貢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題
1.設(shè)集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，則A∪B=( )
A.{1，2} B.{0，1，2，3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}
2.若從2個(gè)濱海城市和2個(gè)內(nèi)陸城市中隨機(jī)選取1個(gè)取旅游，那么恰好選1個(gè)濱海城市的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則 等于( )
A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2
4.設(shè)變量x，y滿足線性約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y的最小值是( )
A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6
5.閱讀右邊程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，運(yùn)行相應(yīng)程序，則輸出x的值為( )
A.7 B.15 C.31 D.63
6.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，公差為d，若 ﹣ =100，則d的值為( )
A. B. C.10 D.20
7.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β，m⊥α，則m∥β B.若m⊥α，n∥α，則m⊥n
C.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
8.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c.若sinA=2 sinB， ，則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.
9.給出下列命題：
①函數(shù)y=cos( ﹣2x)是偶函數(shù);
②函數(shù)y=sin(x+ )在閉區(qū)間上是增函數(shù);
③直線x= 是函數(shù)y=sin(2x+ )圖象的一條對(duì)稱軸;
④將函數(shù)y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位，得到函數(shù)y=cos2x的圖象，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A. B. C. D. +2
11.已知函數(shù)f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f(a2)+f(a﹣2)>4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍( )
A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，3) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)
12.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)，過雙曲線右焦點(diǎn)F傾斜角為 的直線與該雙曲線的漸近線分別交于M、N.若|FM|=2|FN|，則該雙曲線的離心率等于( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空題
13.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q= ，前n項(xiàng)和為Sn，則 = .
14.已知向量 ， ，其中| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，則向量 ， 的夾角是 .
15.關(guān)于函數(shù)f(x)=ln ，有下列三個(gè)命題：
①f(x)的定義域?yàn)?﹣∞，﹣1)∪(1，+∞);
②f(x)為奇函數(shù);
③f(x)在定義域上是增函數(shù);
④對(duì)任意x1，x2∈(﹣1，1)，都有f(x1)+f(x2)=f( ).
其中真命題有 (寫出所有真命題的番號(hào))
16.如圖所示，一輛裝載集裝箱的載重卡車高為3米，寬為2.2米，欲通過斷面上部為拋物線形，下部為矩形ABCD的隧道.已知拱口寬AB等于拱高EF的4倍，AD=1米.若設(shè)拱口寬度為t米，則能使載重卡車通過隧道時(shí)t的最小整數(shù)值等于 .
三、解答題
17.已知函數(shù)f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值.
18.如圖，圓錐的橫截面為等邊三角形SAB，O為底面圓圓心，Q為底面圓周上一點(diǎn).
(Ⅰ)如果BQ的中點(diǎn)為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)如果∠AOQ=60°，QB=2 ，求該圓錐的體積.
19.某超市計(jì)劃每天購進(jìn)某商品若干件，該超市每銷售一件該商品可獲利潤80元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品虧損20元;若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利40元.
(Ⅰ)若商店一天購進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：件，n∈N)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件，n∈N)，整理得下表：
日需求量 7 8 9 10 11 12
頻數(shù) 5 7 10 14 10 4
若商店一天購進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.
20.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為e= ，它的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，﹣1)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=﹣ x+ 對(duì)稱，求△OAB的面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
21.已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1，求實(shí)數(shù)a，b的值;
(2)在(1)的b下，當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22.在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l過點(diǎn)M(3，4)，其傾斜角為45°，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，并使得它與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求直線l的參數(shù)方程和圓C的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，求|MA|•|MB|的值.
23.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)≤|x|+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2018屆自貢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題
1.設(shè)集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，則A∪B=( )
A.{1，2} B.{0，1，2，3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}
【考點(diǎn)】1D：并集及其運(yùn)算.
【分析】化簡(jiǎn)集合A、B，根據(jù)并集的定義寫出A∪B.
【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，
B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，
則A∪B={0，1，2，3}.
故選：B.
2.若從2個(gè)濱海城市和2個(gè)內(nèi)陸城市中隨機(jī)選取1個(gè)取旅游，那么恰好選1個(gè)濱海城市的概率是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.
【分析】先求出基本事件總數(shù)n=4，再求出恰好選1個(gè)海濱城市包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2，由此能求出恰好選1個(gè)海濱城市的概率.
【解答】解：從2個(gè)海濱城市和2個(gè)內(nèi)陸城市中隨機(jī)選1個(gè)去旅游，
基本事件總數(shù)n=4
恰好選1個(gè)海濱城市包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2，
恰好選1個(gè)海濱城市的概率是p= = .
故選：D.
3.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則 等于( )
A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2
【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.
【分析】復(fù)數(shù)代入表達(dá)式，利用復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi的形式即可.
【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1+i，
所以 = = =﹣ =2i.
故選A.
4.設(shè)變量x，y滿足線性約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y的最小值是( )
A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6
【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.
【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖，
聯(lián)立 ，解得A(3，﹣3)，
化目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y為y= x+ ，
由圖可知，當(dāng)直線y= x+ 過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為6﹣12=﹣6，
故選：D.
5.閱讀右邊程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，運(yùn)行相應(yīng)程序，則輸出x的值為( )
A.7 B.15 C.31 D.63
【考點(diǎn)】EF：程序框圖.
【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的x，n的值，當(dāng)n=4時(shí)不滿足條件n≤3，退出循環(huán)，輸出x的值為31.
【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得
x=3，n=1
滿足條件n≤3，執(zhí)行循環(huán)體，x=7，n=2
滿足條件n≤3，執(zhí)行循環(huán)體，x=15，n=3
滿足條件n≤3，執(zhí)行循環(huán)體，x=31，n=4
不滿足條件n≤3，退出循環(huán)，輸出x的值為31.
故選：C.
6.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，公差為d，若 ﹣ =100，則d的值為( )
A. B. C.10 D.20
【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】由等差數(shù)列{an}可得： = d= n+ 為等差數(shù)列，即可得出.
【解答】解：由等差數(shù)列{an}可得： = d= n+ 為等差數(shù)列，
∵ ﹣ =100，
∴ + ﹣ =100，
∴10d=1，解得d= .
故選：B.
7.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β，m⊥α，則m∥β B.若m⊥α，n∥α，則m⊥n
C.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.
【分析】A：漏掉了m⊂β.B：根據(jù)線線垂直的判定可得結(jié)論是正確的.C：漏掉了m與n相交、異面的情況.D：可以舉出墻角的例子.
【解答】解：A：直線m也可以在平面β內(nèi).
B：根據(jù)線線垂直的判定可得結(jié)論是正確的.
C：m與n可能平行也可能相交也可能異面.
D：α與β也可以相交.可以舉出墻角的例子.
故選B.
8.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c.若sinA=2 sinB， ，則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】HP：正弦定理;HR：余弦定理.
【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得a=2b，進(jìn)而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16，解可得b的值，進(jìn)而可得a的值，由三角形面積公式計(jì)算可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，△ABC中，若sinA=2sinB，則有a=2b，
c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16，
解可得b= ，則a=2b= ，
則S△ABC= absinC= ，
故選：A.
9.給出下列命題：
①函數(shù)y=cos( ﹣2x)是偶函數(shù);
②函數(shù)y=sin(x+ )在閉區(qū)間上是增函數(shù);
③直線x= 是函數(shù)y=sin(2x+ )圖象的一條對(duì)稱軸;
④將函數(shù)y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位，得到函數(shù)y=cos2x的圖象，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)①，然后判斷奇偶性;求出函數(shù)y=sin(x+ )的增區(qū)間，判斷②的正誤;
直線x= 代入函數(shù)y=sin(2x+ )是否取得最值，判斷③的正誤;利用平移求出解析式判斷④的正誤即可.
【解答】解：①函數(shù)y=sin( ﹣2x)=sin2x，它是奇函數(shù)，不正確;
②函數(shù)y=sin(x+ )的單調(diào)增區(qū)間是，k∈Z，在閉區(qū)間上是增函數(shù)，正確;
③直線x= 代入函數(shù)y=sin(2x+ )=﹣1，所以x= 圖象的一條對(duì)稱軸，正確;
④將函數(shù)y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位，得到函數(shù)y=cos(2x+ )的圖象，所以④不正確.
故選：B.
10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A. B. C. D. +2
【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】如圖所示，該幾何體由兩個(gè)三棱錐組成的，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.
【解答】解：如圖所示，該幾何體由兩個(gè)三棱錐組成的，
該幾何體的表面積S= +1×1+ + +
= .
故選：A.
11.已知函數(shù)f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f(a2)+f(a﹣2)>4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍( )
A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，3) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)
【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合.
【分析】根據(jù)題意，令g(x)=f(x)﹣2，則g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g(x)的奇偶性與單調(diào)性，則f(a2)+f(a﹣2)>4，可以轉(zhuǎn)化為g(a2)>﹣g(a﹣2)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得a2<2﹣a，解可得a的范圍，即可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，令g(x)=f(x)﹣2，
則g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，
g(﹣x)=﹣2(﹣x)5﹣(﹣x)3﹣7(﹣x)=﹣(﹣2x5﹣x3﹣7x)，則g(x)為奇函數(shù)，
而g(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x，則g′(x)=﹣10x4﹣2x2﹣7<0，則g(x)為減函數(shù)，
若f(a2)+f(a﹣2)>4，則有f(a2)﹣2>﹣，
即g(a2)>﹣g(a﹣2)，
即g(a2)>g(2﹣a)，
則有a2<2﹣a，
解可得﹣2
即a的取值范圍是(﹣2，1);
故選：D.
12.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)，過雙曲線右焦點(diǎn)F傾斜角為 的直線與該雙曲線的漸近線分別交于M、N.若|FM|=2|FN|，則該雙曲線的離心率等于( )
A. B. C. 或 D. 或
【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，討論b>a>0，可得N為FM的中點(diǎn).當(dāng)a>b>0時(shí)，可得 =﹣2 ，求出直線MN的方程，聯(lián)立漸近線方程可得M，N的坐標(biāo)，求得b=3a或a=3b，再由離心率公式即可得到所求值.
【解答】解：雙曲線C： ﹣ =1的漸近線方程為y=± x，
當(dāng)b>a>0時(shí)，如右圖.
若|FM|=2|FN|，可得N為FM的中點(diǎn).
由直線MN：y=x﹣c，聯(lián)立y= x，可得M( ， )，
由直線MN：y=x﹣c，聯(lián)立y=﹣ x，可得N( ，﹣ )，
由F(c，0)，可得﹣ = ，
化簡(jiǎn)為b=3a，
即有e= = = = ;
當(dāng)a>b>0時(shí)，如右圖.
若|FM|=2|FN|，可得 =﹣2 ，
由直線MN：y=x﹣c，聯(lián)立y= x，可得M( ， )，
由直線MN：y=x﹣c，聯(lián)立y=﹣ x，可得N( ，﹣ )，
由F(c，0)，可得 =﹣2•(﹣ )，
化簡(jiǎn)為a=3b，
即有e= = = = .
則該雙曲線的離心率等于 或 .
故選：D.
二、填空題
13.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q= ，前n項(xiàng)和為Sn，則 = .
【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì).
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，即可求出 .
【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的公比q= ，
∴S4= = a1，a2= a1，
∴ = = .
故答案為： .
14.已知向量 ， ，其中| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，則向量 ， 的夾角是 .
【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
【分析】利用向量垂直的條件，結(jié)合向量數(shù)量積公式，即可求向量 ， 的夾角
【解答】解：設(shè)向量 ， 的夾角為θ，
∵| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，
∴( + )• = + = +| |•| |cosθ=2+2 cosθ=0，
解得cosθ=﹣ ，
∵0≤θ≤π，
∴θ= ，
故答案為：
15.關(guān)于函數(shù)f(x)=ln ，有下列三個(gè)命題：
①f(x)的定義域?yàn)?﹣∞，﹣1)∪(1，+∞);
②f(x)為奇函數(shù);
③f(x)在定義域上是增函數(shù);
④對(duì)任意x1，x2∈(﹣1，1)，都有f(x1)+f(x2)=f( ).
其中真命題有 ②④ (寫出所有真命題的番號(hào))
【考點(diǎn)】4N：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).
【分析】由函數(shù)f(x)=ln =ln( )，根據(jù)函數(shù)的各性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可.
【解答】解：函數(shù)f(x)=ln =ln( )，
其定義域滿足：(1﹣x)(1+x)>0，解得：﹣1
由f(﹣x)=ln =ln =ln( )﹣1=﹣ln =﹣f(x)，是奇函數(shù)，∴②對(duì).
定義域?yàn)閧x|﹣1
f(x1)+f(x2)=ln +ln =ln( × )=f( ).∴④對(duì).
故答案為②④
16.如圖所示，一輛裝載集裝箱的載重卡車高為3米，寬為2.2米，欲通過斷面上部為拋物線形，下部為矩形ABCD的.隧道.已知拱口寬AB等于拱高EF的4倍，AD=1米.若設(shè)拱口寬度為t米，則能使載重卡車通過隧道時(shí)t的最小整數(shù)值等于 9 .
【考點(diǎn)】K9：拋物線的應(yīng)用.
【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，即可求出求出能使載重卡車通過隧道時(shí)t的最小整數(shù)值.
【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B( ，﹣ )，
設(shè)拋物線方程為x2=ay，則 ，∴a=﹣t，
∴x2=﹣ty，
由題意，x=1.1，y=﹣
∴﹣ + ≥2，
t=8，﹣ + <2，t=9，﹣ + >2，
∴能使載重卡車通過隧道時(shí)t的最小整數(shù)值等于9.
故答案為9.
三、解答題
17.已知函數(shù)f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值.
【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值;H1：三角函數(shù)的周期性及其求法.
【分析】(Ⅰ)利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
(Ⅱ)x∈上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f(x)的最大值.
【解答】解：函數(shù)f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.
化簡(jiǎn)可得：f(x)=4sinxcosxcos +4sin2xsin +1
= sin2x+1﹣cos2x+1=2sin(2x )+2.
(Ⅰ)∴函數(shù)f(x)的最小正周期T= .
(Ⅱ)∵x∈上時(shí)，
∴2x ∈
當(dāng)2x = 時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值為2× = .
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為 .
18.如圖，圓錐的橫截面為等邊三角形SAB，O為底面圓圓心，Q為底面圓周上一點(diǎn).
(Ⅰ)如果BQ的中點(diǎn)為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)如果∠AOQ=60°，QB=2 ，求該圓錐的體積.
【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;LW：直線與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)連接OC，AQ，由已知可得OC∥AQ，再由AB為圓的直徑，可得OC⊥BQ，由SO⊥平面ABQ，得SO⊥BQ，由線面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC，進(jìn)一步得到平面SBQ⊥平面SOC，由面面垂直的性質(zhì)可OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，則SO= .由已知體積公式求得圓錐的體積.
【解答】(Ⅰ)證明：連接OC，AQ，
∵O為AB的中點(diǎn)，且BQ的中點(diǎn)為C，
∴OC∥AQ，
∵AB為圓的直徑，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，
∵SO⊥平面ABQ，∴SO⊥BQ，
又SO∩OC=O，∴BQ⊥平面SOC，
則平面SBQ⊥平面SOC，
又平面SBQ∩平面SOC=SC，OH⊥SC，
∴OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)解：∵∠AOQ=60°，QB=2 ，∴OC=1，OQ=OA=2，SA=4，
則SO= .
∴圓錐的體積V= .
19.某超市計(jì)劃每天購進(jìn)某商品若干件，該超市每銷售一件該商品可獲利潤80元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品虧損20元;若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利40元.
(Ⅰ)若商店一天購進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：件，n∈N)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件，n∈N)，整理得下表：
日需求量 7 8 9 10 11 12
頻數(shù) 5 7 10 14 10 4
若商店一天購進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.
【考點(diǎn)】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.
【分析】(Ⅰ)分類求出函數(shù)解析式，即可得出利潤y關(guān)于需求量n的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)利潤在區(qū)間內(nèi)，日需求量為10、11、12，其對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為14、10、4，即可求出概率.
【解答】解：(Ⅰ)當(dāng)日需求量n≥10時(shí)，
利潤為y=80×10+(n﹣10)×40=40n+400; …
當(dāng)日需求量n<10時(shí)，利潤為y=80n﹣(10﹣n)×20=100n﹣200.…
所以利潤y關(guān)于需求量n的函數(shù)解析式為y= …
(Ⅱ)50天內(nèi)有5天獲得的利潤為500元，有7天獲得的利潤為600元，有10天獲得的利潤為700元，有14天獲得的利潤為800元，有10天獲得的利潤為840元，有4天獲得的利潤為880元.…
若利潤在區(qū)間內(nèi)，日需求量為10、11、12，其對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為14、10、4.…
則利潤在區(qū)間內(nèi)的概率為 =0.56. …
20.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為e= ，它的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，﹣1)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=﹣ x+ 對(duì)稱，求△OAB的面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系;K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【分析】(I)由題意可得： = ，b=1，a2=b2+c2，聯(lián)立解得a，b，c即可得出.
(II)直線AB的方程為：y=mx+n.與橢圓方程聯(lián)立化為：(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0，△>0，可得1+2m2>n2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).利用根與系數(shù)的關(guān)系可得線段AB的中點(diǎn)G ，代入直線y=﹣ x+ ，可得：n=﹣ .利用|AB|= .d= ，可得S△OAB= |AB|•d，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
【解答】解：(I)由題意可得： = ，b=1，a2=b2+c2，
聯(lián)立解得a= ，b=c=1.
∴橢圓C的方程為： +y2=1.
(II)直線AB的方程為：y=mx+n.聯(lián)立 ，化為：(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0，
△=16m2n2﹣4(1+2m2)(2n2﹣2)>0，
∴1+2m2>n2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).
∴x1+x2= ，x1•x2= ，
∴線段AB的中點(diǎn)G ，代入直線y=﹣ x+ ，可得：n=﹣ .
∴x1+x2=2m，x1•x2= ，
∴|AB|= = •
= • .
d= = .
∴S△OAB= |AB|•d= ×(1+2m2)ו .
令1+2m2=t>1，則S△OAB= =f(t)，(1
當(dāng)t=1+2m2=2時(shí)，即m2= 時(shí)，S△OAB的最大值為 .
21.已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1，求實(shí)數(shù)a，b的值;
(2)在(1)的b下，當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.
【分析】(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程可得f(1)=0，f′(1)=1，解方程可得a，b的值;
(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論a=2，a>2，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得單調(diào)區(qū)間，由f(1)=0，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求結(jié)論.
【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2ax﹣(a+2)+ ，
可得函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1，
由切線方程y=x﹣1，可得a﹣1=1，解得a=2;
由f(1)=a﹣a﹣2+0+b=0，解得b=2.
(2)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+2(x>0，a≥2)，
導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2ax﹣(a+2)+ = = ，
當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)≥0在(0，+∞)恒成立，f(x)在(0，+∞)遞增，由f(1)=a﹣a﹣2+0+2=0，
可得f(x)此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a>2，即0< < 時(shí)，由f′(x)>0可得x> 或0
即有f(x)的增區(qū)間為(0， )，( ，+∞)，減區(qū)間為( ， )，
由f(1)=0，可得f(x)在( ，+∞)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且f( )<0.
f( )=1﹣lna﹣ ，設(shè)g(x)=1﹣ ﹣lnx(x>2)，g′(x)= <0(x>2)，
可得g(x)在(2，+∞)遞減，可得g(x)
于是f( )<0，f(x)在(0， )無零點(diǎn)，
故a>2時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可得，a≥2時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22.在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l過點(diǎn)M(3，4)，其傾斜角為45°，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，并使得它與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求直線l的參數(shù)方程和圓C的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，求|MA|•|MB|的值.
【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.
【分析】(Ⅰ)直線l過點(diǎn)M(3，4)，其傾斜角為45°，參數(shù)方程為 ，(t為參數(shù)).由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式代入化簡(jiǎn)即可得出圓C的普通方程;
(Ⅱ)直線l的參數(shù)方程代入圓方程得 +9=0，利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出.
【解答】解：(Ⅰ)直線l過點(diǎn)M(3，4)，其傾斜角為45°，參數(shù)方程為 ，(t為參數(shù)).
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4y=0;
(Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入圓方程得： +9=0，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1+t2=5 ，t1t2=9，
于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9.
23.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)≤|x|+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，分類討論，求得不等式的解集.
(Ⅱ)不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解.根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x+ |﹣|x|∈，故有 +1≥﹣ ，由此求得a的范圍.
【解答】解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2= ，
當(dāng)x<﹣ 時(shí)，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3.
當(dāng)﹣ ≤x<0時(shí)，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅.
當(dāng)x≥0時(shí)，由x﹣1≥0，求得 x≥1.
綜上可得，不等式的解集為{x|x≤﹣3 或x≥1}.
(Ⅱ)f(x)≤|x|+a，即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解.
由于|x+ |﹣|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣ 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離，故|x+ |﹣|x|∈，
故有 +1≥﹣ ，求得a≥﹣3.
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