2018屆江蘇省四市高三數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
數(shù)學(xué)考試其實(shí)并不難，只要多做一些數(shù)學(xué)模擬試卷就可以把數(shù)學(xué)成績(jī)提上去，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆江蘇省四市高三數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆江蘇省四市高三數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1.已知集合 ， ，則集合 中元素的個(gè)數(shù)為 ▲ .
2.設(shè) ， ( 為虛數(shù)單位)，則 的值為 ▲ .
3.在平面直角坐標(biāo)系 中，雙曲線 的離心率是 ▲ .
4.現(xiàn)有三張識(shí)字卡片，分別寫有“中”、“國(guó)”、“夢(mèng)”這三個(gè)字.
將這三張卡片隨機(jī)排序，則能組成“中國(guó)夢(mèng)”的概率是 ▲ .
5.如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的 的值為 ▲ .
6.已知一組數(shù)據(jù) ， ， ， ， ，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ▲ .
7.已知實(shí)數(shù) ， 滿足 則 的取值范圍是 ▲ .
8.若函數(shù) 的圖象過(guò)點(diǎn) ，
則函數(shù) 在 上的單調(diào)減區(qū)間是 ▲ .
9.在公比為 且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 中， 為 的前 項(xiàng)和.若 ，且 ，則 的值為 ▲ .
10.如圖，在正三棱柱 中，已知 ，點(diǎn) 在棱 上，則三棱錐 的體積為 ▲ .
11.如圖，已知正方形 的邊長(zhǎng)為 ， 平行于 軸，頂點(diǎn) ， 和 分別在函數(shù) ， 和 ( )的圖象上，則實(shí)數(shù) 的值為 ▲ .
12.已知對(duì)于任意的 ，都有 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ▲ .
13.在平面直角坐標(biāo)系 中，圓 .若圓 存在以 為中點(diǎn)的弦 ，且 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ▲ .
14.已知 三個(gè)內(nèi)角 ， ， 的對(duì)應(yīng)邊分別為 ， ， ，且 ， .當(dāng) 取得最大值時(shí)， 的值為 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟.
15.(本小題滿分14分)
如圖，在 中，已知點(diǎn) 在邊 上， ， ， ， .
(1)求 的值;
(2)求 的長(zhǎng).
16.(本小題滿分14分)
如圖，在四棱錐 中，底面 是矩形，點(diǎn) 在棱 上(異于點(diǎn) ， )，平面 與棱 交于點(diǎn) .
(1)求證： ;
(2)若平面 平面 ，求證： .
17.(本小題滿分14分)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為 ， ，過(guò)右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)(點(diǎn) 在 軸上方).
(1)若 ，求直線 的方程;
(2)設(shè)直線 ， 的斜率分別為 ， .是否存在常數(shù) ，使得 ?若存在，求出 的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18.(本小題滿分16分)
某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示.圓 的圓心與矩形 對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切( 為上切點(diǎn))，與左右兩邊相交( ， 為其中兩個(gè)交點(diǎn))，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1m，且 .設(shè) ，透光區(qū)域的面積為 .
(1)求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域;
(2)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值
越大越好.當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊 的長(zhǎng)度.
19.(本小題滿分16分)
已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列 和 的前 項(xiàng)和分別為 ， ， ， ，對(duì)任意的 ，都有 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)若 為等差數(shù)列，對(duì)任意的 ，都有 .證明： ;
(3)若 為等比數(shù)列， ， ，求滿足 的 值.
20.(本小題滿分16分)
已知函數(shù) ， .
(1)當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù) ， .若函數(shù) 的最小值是 ，
求 的值;
(3)若函數(shù) ， 的定義域都是 ，對(duì)于函數(shù) 的圖象上的任意一點(diǎn) ，在函數(shù) 的圖象上都存在一點(diǎn) ，使得 ，其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， 為坐標(biāo)原點(diǎn).求 的取值范圍.
宿遷市高三年級(jí)第三次模擬考試
數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)
21.[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
A.[選修41：幾何證明選講](本小題滿分10分)
如圖，圓 的弦 ， 交于點(diǎn) ，且 為弧 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在弧 上.若 ，求 的度數(shù).
B.[選修42：矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣 ，若 ，求矩陣 的特征值.
C.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) ，點(diǎn) 在直線 上.當(dāng)線段 最短時(shí)，求點(diǎn) 的極坐標(biāo).
D.[選修45：不等式選講](本小題滿分10分)
已知 ， ， 為正實(shí)數(shù)，且 .求證： .
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
22.(本小題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ，直線 與動(dòng)直線 的交點(diǎn)為 ，線段 的中垂線與動(dòng)直線 的交點(diǎn)為 .
(1)求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程;
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn) 作曲線 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 ， ，求證： 的大小為定值.
23.(本小題滿分10分)
已知集合 ，對(duì)于集合 的兩個(gè)非空子集 ， ，若 ，則稱 為集合 的一組“互斥子集”.記集合 的所有“互斥子集”的組數(shù)為 (視 與 為同一組“互斥子集”).
(1)寫出 ， ， 的.值;
2018屆江蘇省四市高三數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、填空題
1. 2.1 3. 4. 5. 6. (或 )
7. (或 ) 8. (或 ) 9. 10.
11. 12. (或 ) 13. (或 ) 14.
注意：填空題第6、7、8、12、13均提供兩種書(shū)寫方法，都算正確，不要扣分。其他寫法均判為0分。
二、解答題
15.(1)在 中， ， ，
所以 .……………………………………2分
同理可得， . …………………………………………………4分
所以
………………………………6分
.……………………………………………8分
(2)在 中，由正弦定理得， .……10分
又 ，所以 . ………………………………………12分
在 中，由余弦定理得，
. ………………………………14分
注意：第15(1)題時(shí)，嚴(yán)格按照邏輯段給分，譬如
要先代入公式，再代入數(shù)字運(yùn)算，不寫公式扣1分。15(2)要先把正弦定理和余弦定理公式寫出來(lái)，再代入數(shù)字運(yùn)算，不寫公式扣1分。
16.(1)因?yàn)?是矩形，所以 .…………………………………………2分
又因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 平面 .…………………………………………………………4分
又因?yàn)?平面 ，平面 平面 ，
所以 .…………………………………………………………………6分
(2)因?yàn)?是矩形，所以 . ………………………………………8分
又因?yàn)槠矫?平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 . …………………………………10分
又 平面 ，所以 . ………………………………………12分
又由(1)知 ，所以 . ……………………………………14分
注意：16(1)嚴(yán)格按照邏輯段給分，使用線面平行判定定理與性質(zhì)定理時(shí)，缺少任何一個(gè)條件，該邏輯段分?jǐn)?shù)全部扣除。16(2)使用面面垂直性質(zhì)定理時(shí)，缺少任何一個(gè)條件，該邏輯段分?jǐn)?shù)全部扣除;證明線線垂直時(shí)，只能使用“在兩條平行線中，一條垂直于已知直線，則另一條也垂直于該直線”，使用其他方法，該邏輯段分?jǐn)?shù)均扣除。這道題考查知識(shí)點(diǎn)較為冷門，絕不要姑息遷就，給學(xué)生提個(gè)醒。
17.(1)因?yàn)?， ，所以 ，所以 的坐標(biāo)為 ，……1分
設(shè) ， ，直線 的方程為 ，
代入橢圓方程，得 ，
則 ， . …………………………4分
若 ，則 ，
解得 ，故直線 的方程為 .……………………6分
(2)由(1)知， ， ，
所以 ，…………………………………………8分
所以 ………………………………………12分
，
故存在常數(shù) ，使得 .…………………………………………14分
注意：第17(1)中設(shè)直線 的方程為 ，利用 ，技巧性較高，常規(guī)的設(shè)法，要對(duì)照給分。第17(2)中，沒(méi)有利用 ，直接代入 ，運(yùn)算結(jié)果正確也可以。
18.(1)過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，則 ，
所以 ，
.……………………………2分
所以
，………………………………6分
因?yàn)?，所以 ，所以定義域?yàn)?.……………………8分
(2)矩形窗面的面積為 .
則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為 .…10分
設(shè) ， .
則
，………………………………………………12分
因?yàn)?，所以 ，所以 ，故 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)減.
所以當(dāng) 時(shí)， 有最大值 ，此時(shí) (m). …14分
答：(1) 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為 ，定義域?yàn)?;
(2)透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)， 的長(zhǎng)度為1m.………16分
注意：18(1)中，沒(méi)有求出定義域?yàn)?，或者求解錯(cuò)誤，扣2分。18題兩個(gè)小題中，沒(méi)有明確給出答案，各扣1分。
19.(1)由 ，得 ，
即 ，所以 . ……………………………2分
由 ， ，可知 .
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列.
故 的通項(xiàng)公式為 .………………………………………………4分
(2)證法一：設(shè)數(shù)列 的公差為 ，則 ，
由(1)知， .
因?yàn)?，所以 ，即 恒成立，
所以 即 …………………………………………………6分
又由 ，得 ，
所以
.
所以 ，得證. …………………………………………………………8分
證法二：設(shè) 的公差為 ，假設(shè)存在自然數(shù) ，使得 ，
則 ，即 ，
因?yàn)?，所以 .……………………………………………………6分
所以 ，
因?yàn)?，所以存在 ，當(dāng) 時(shí)， 恒成立.
這與“對(duì)任意的 ，都有 ”矛盾!
所以 ，得證. …………………………………………………………8分
(3)由(1)知， .因?yàn)?為等比數(shù)列，且 ， ，
所以 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.
所以 ， .…………………………………………………10分
則 ，
因?yàn)?，所以 ，所以 .…………………12分
而 ，所以 ，即 (*).
當(dāng) ， 時(shí)，(*)式成立;………………………………………………14分
當(dāng) 時(shí)，設(shè) ，
則 ，
所以 .
故滿足條件的 的值為 和 .………………………………………………16分
20.(1)當(dāng) 時(shí)， ， .……………………2分
因?yàn)?在 上單調(diào)增，且 ，
所以當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， .
所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是 .……………………………………4分
(2) ，則 ，令 得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)減;
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)增.
所以 .………………………………………6分
①當(dāng) ，即 時(shí)，
函數(shù) 的最小值 ，
即 ，解得 或 (舍)，所以 ;………8分
②當(dāng) ，即 時(shí)，
函數(shù) 的最小值 ，解得 (舍).
綜上所述， 的值為 .………………………………………………………10分
(3)由題意知， ， .
考慮函數(shù) ，因?yàn)?在 上恒成立，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)增，故 .…………………12分
所以 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
設(shè) ，則 在 上恒成立，
所以 在 上單調(diào)減，所以 . …………………………14分
設(shè) ，
則 在 上恒成立，
所以 在 上單調(diào)增，所以 .
綜上所述， 的取值范圍為 . ………………………………………16分
注意：20(3)解法較多，各種方法按照3個(gè)得分點(diǎn)，每個(gè)2分，對(duì)應(yīng)給分。
宿遷市2017屆高三第三次調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)(附加題)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
21.A.連結(jié) ， .
因?yàn)?為弧 的中點(diǎn)，所以 .
而 ，
所以 ，
即 . ………………………5分
又因?yàn)?，
所以 ，
故 .……………………………10分
B.因?yàn)?，
所以 解得 所以 .……………………………5分
所以矩陣 的特征多項(xiàng)式為 ，
令 ，解得矩陣 的特征值為 ， .………………………10分
C.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 ，直線 的直角坐標(biāo)方程為 .…………4分
最短時(shí)，點(diǎn) 為直線 與直線 的交點(diǎn)，
解 得 所以點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 .……………………8分
所以點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 .……………………………………………………10分
D.因?yàn)?，所以 ，…………………………5分
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取“ ”.……………………………………………10分
22.(1)因?yàn)橹本� 與 垂直，所以 為點(diǎn) 到直線 的距離.
連結(jié) ，因?yàn)?為線段 的中垂線與直線 的交點(diǎn)，所以 .
所以點(diǎn) 的軌跡是拋物線.……………………………………………………2分
焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 .
所以曲線 的方程為 . ………………………………………………5分
(2)由題意，過(guò)點(diǎn) 的切線斜率存在，設(shè)切線方程為 ，
聯(lián)立 得 ，
所以 ，即 (*)，……………………8分
因?yàn)?，所以方程(*)存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為 ，
因?yàn)?，所以 ，為定值. ……………………………10分
23.(1) ， ，…………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………4分
(2)解法一：設(shè)集合 中有k個(gè)元素， .
則與集合 互斥的非空子集有 個(gè).…………………………………6分
于是 .…………………8分
因?yàn)?，
，
所以 .………………10分
解法二：任意一個(gè)元素只能在集合 ， ， 之一中，
則這 個(gè)元素在集合 ， ， 中，共有 種;…………………………6分
其中 為空集的種數(shù)為 ， 為空集的種數(shù)為 ，
所以 ， 均為非空子集的種數(shù)為 ，………………………8分
又 與 為同一組“互斥子集”，
所以 .………………………………………………10分
注意：23(1) ， ，每個(gè)1分; ，給2分，均不需要寫出過(guò)程。
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