小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結

　　小學奧數是針對小學生進行的數學奧林匹克訓練，涉及超出課本范圍的數學問題和解題技巧，旨在鍛煉學生的思維能力和創造力。下面是小編收集整理的小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結，希望對大家有所幫助。

　　小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結 1

　　任何學問都有基本的脈絡、綱要，把握住這些綱領性知識，不管考題怎么變化，“萬變不離其宗”。小學奧數同樣如此，現將小學奧數中必須掌握的知識點整理如下：

　　1. 和差倍問題（和差問題 和倍問題 差倍問題）

　　已知條件：幾個數的和與差;幾個數的和與倍數;幾個數的差與倍數。

　　公式適用范圍：已知兩個數的和，差，倍數關系

　　公式：

　　（1）(和－差)÷2=較小數 較小數＋差=較大數 和－較小數=較大數

　　(和＋差)÷2=較大數 較大數－差=較小數 和－較大數=較小數

　　（2）和÷(倍數＋1)=小數 小數×倍數=大數 和－小數=大數

　　（3）差÷(倍數-1)=小數 小數×倍數=大數 小數＋差=大數

　　關鍵問題

　　求出同一條件下的和與差 和與倍數 差與倍數

　　2．年齡問題的三個基本特征：

　　①兩個人的年齡差是不變的；

　　②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

　　③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；

　　3．歸一問題的基本特點：

　　問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

　　關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量；

　　4．植樹問題

　　基本類型

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

　　封閉曲線上植樹

　　基本公式

　　棵數=段數＋1

　　棵距×段數=總長

　　棵數=段數－1

　　棵距×段數=總長

　　棵數=段數

　　棵距×段數=總長

　　關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系

　　5．雞兔同籠問題

　　基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；

　　基本思路：

　　①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

　　②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

　　③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；

　　④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

　　基本公式：

　　①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）

　　②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）

　　關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

　　6．盈虧問題

　　基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量．

　　基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的.變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量．

　　基本題型：

　　①一次有余數，另一次不足；

　　基本公式：總份數＝（余數＋不足數）÷兩次每份數的差

　　②當兩次都有余數；

　　基本公式：總份數＝（較大余數一較小余數）÷兩次每份數的差

　　③當兩次都不足；

　　基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差

　　基本特點：對象總量和總的組數是不變的。

　　關鍵問題：確定對象總量和總的組數。

　　小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結 2

　　1.奇偶性

　　問題

　　奇+奇=偶奇×奇=奇

　　奇+偶=奇奇×偶=偶

　　偶+偶=偶偶×偶=偶

　　2.位值原則

　　形如：abc=100a+10b+c

　　3.數的整除特征：

　　整除數特征

　　2末尾是0、2、4、6、8

　　3各數位上數字的和是3的倍數

　　5末尾是0或5

　　9各數位上數字的和是9的倍數

　　11奇數位上數字的和與偶數位上數字的和，兩者之差是11的倍數

　　4和25末兩位數是4(或25)的倍數

　　8和125末三位數是8(或125)的倍數

　　7、11、13末三位數與前幾位數的.差是7(或11或13)的倍數

　　4.整除性質

　　①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。

　　②如果bc|a，那么b|a，c|a。

　　③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。

　　④如果c|b,b|a,那么c|a.

　　⑤a個連續自然數中必恰有一個數能被a整除。

　　5.帶余除法

　　一般地，如果a是整數，b是整數(b≠0),那么一定有另外兩個整數q和r，0≤r

　　當r=0時，我們稱a能被b整除。

　　當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數除式又可以表示為a÷b=q……r,0≤r

　　小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結 3

　　數列求和：

　　等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

　　基本概念：首項：等差數列的'第一個數，一般用a1表示;

　　項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示;

　　公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示;

　　通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示;

　　數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示。

　　基本思路：等差數列中涉及五個量：a1，an，d，n，sn，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

　　基本公式：通項公式：an=a1+(n-1)d;

　　通項=首項+(項數一1)×公差;

　　數列和公式：sn，=(a1+an)×n÷2;

　　數列和=(首項+末項)×項數÷2;

　　項數公式：n=(an+a1)÷d+1;

　　項數=(末項-首項)÷公差+1;

　　公差公式：d=(an-a1))÷(n-1);

　　公差=(末項-首項)÷(項數-1);

　　關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式

　　小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結 4

　　鳥頭定理即共角定理。

　　燕尾定理即共邊定理的一種。

　　共角定理：

　　若兩三角形有一組對應角相等或互補，則它們的面積比等于對應角兩邊乘積的比。

　　共邊定理：

　　有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。

　　共邊定理：設直線AB與PQ交與M則S△PAB/S△QAB=PM/QM

　　這幾個定理大都利用了相似圖形的'方法，但小學階段沒有學過相似圖形，而小學奧數中，常常要引入這些，實在有點難為孩子。

　　為了避開相似，我們用相應的底，高的比來推出三角形面積的比。

　　例如燕尾定理，一個三角形ABC中，D是BC上三等分點，靠近B點。連接AD，E是AD上一點，連接EB和EC，就能得到四個三角形。

　　很顯然，三角形ABD和ACD面積之比是1：2

　　因為共邊，所以兩個對應高之比是1：2

　　而四個小三角形也會存在類似關系

　　三角形ABE和三角形ACE的面積比是1：2

　　三角形BED和三角形CED的面積比也是1：2

　　所以三角形ABE和三角形ACE的面積比等于三角形BED和三角形CED的面積比，這就是傳說中的燕尾定理。

　　以上是根據共邊后，高之比等于三角形面積之比證明所得。

　　必須要強記，只要理解，到時候如何變形，你都能會做。至于鳥頭定理，也不要死記硬背，掌握原理，用起來就會得心應手。

　　小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結 5

　　(1)個位數字是0、2、4、6、8的數都能被2整除;反過來，個位數字是1、3、5、7、9的數都不能被2整除。

　　(2)個位數字是0或5的數都能被5整除;反過來，個位數字既不是0也不是5的數都不能被5整除;反過，個位數字既不是0也不是5的數都不能被5整除。

　　(3)末兩位數能被49或25)整除的數，必能被4(或25)整除;反過來，末兩位數不能被4(或25)整除的數，必不能被4(或25)整除。

　　(4)末三位數能被8(或125)整除的數，必須被8(或125)整除;反過來，末三位數不能被8(或125)整除的數，必不能被8(或125)整除。

　　上述各條可以綜合推廣成一條：

　　末n位數能被2 (或5 )整除的數，本身必能被2 (或5 )整除;反過來，末n位數不能被2 (或5 )整除的數，本身必不能被2 (或5 )整除。

　　例如，364789056能不能被16整除?因為16=2 ，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。從16整除9056就可知16整除364789056。

　　(5)各位數字之和能被3(或9)整除的數，本身也能被3(或9)整除;反過來，各位數字之和不能被3(或9)整除的數，本身也不能被3(或9)整除。

　　我們通過具體例子來說明其中的道理：

　　83256

　　=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6

　　=8×(9999+1)+3×(999+1)+2×(99+1)+5×(9+1)+6

　　=(8×9999+3×999+2×99+5×9)+(8+3+2+5+6)，

　　因為第一個括號內的結果是3的倍數，所以如果第二個括號內的結果是3的倍數，那么根據整除的性質(1)，原數就是3的倍數;如果第二個括號內的結果不是3的倍數，那么根據整除的性質(4)，原數就不是3的倍數。現在第二個括號內的結果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍數，所以原數是3的倍數。完全類似，因為第一個括號內的結果是9的倍數，第二個括號內的結果不是9的倍數。所以根據整除的性質(4)，原數不是9的倍數。

　　(6)能被(7(11或13)整除的數的特征：這個數的末三位數字所表示數與末三位以前的數字所表示的數之差(大減小)能被7(11或13)整除。

　　例如判斷1265817能否分別被7、11、13整除?把1265817分成兩段：1265與817，因為1265-817=448，而7整除448，所以7整除1265817;11不整除448，所以11不整除1265817;同樣，13不整除448，所以13不整除1265817。

　　這是什么道理呢?

　　因為7×11×13=1001，所以凡是001的倍數都能被7、11、13整除。

　　1265817=1265×1000+817

　　=1265×1001-1265+817

　　=1265×1001-(1265-817)，

　　因為1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。如果(1265-817)能被7整除，那么1265817也能被7整除;反過來，如果1265817能被7整除，那么(1265-817)也能被7整除。這就說明，1265817能否被7整除，完全取決于(1265-817)能否被7整除。而817與1265正是1265817的末三位數字與末三位以前的數字所表示的數。

　　對于11和13來說，情形完全一樣。

　　如果把1265817換成其它數，上述推導過程可以照樣進行，所以我們能用上述方法來判斷一個數能否被7(11或13)整除。

　　由此整除特征可以看到，把一個三位數連寫兩遍所得的六位數必能同時被7、11、13整除。例如382382就能同時被7、11、13整除。實際上，這樣的.數是1001的倍數，而1001=7×11×13。

　　(7)能被11整除的數的特征二：這個數的奇位數字之和與偶位數字之和的差(大減小)能被11整除。

　　我們利用92587來說明其中的道理。

　　92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7

　　=9×(909×11+1)+2×(91×11-1)+5×(9×11+1)+8×(11-1)+7

　　=(9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11)+(9-2+5-8+7)

　　因為第一括號內的結果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取決于第二個括號內的結果能否被11整除。第二個括號內恰好就是奇位數字之和與偶位數字之和的差。

　　現在9-2+5-8+7=11，所以原數92587能被11整除。

　　(8)能被11整除的數的特征三(割尾減尾法)：這個數除去個位數字之外其余數位上的數字所表示的數與個位數之差被11整除。

　　例如：7249=724×10+9=724×11-724+9=724×11-(724-9)。

　　因為724×11能被11整除，所以7249能否被11整除，取決于(724-9)能否被11整除，而(724-9)正是這個數除去個位數字之外其余數位上的數字所表示的數與個位數之差。從此例就可看出這種方法為什么是正確的。

　　(9)如果一個數能被互質的兩個自然數整除，那么它一定能被這兩個互質數的積整除。

　　把這一性質與前邊所學數的整除特征相聯系，我們就可以得到一大批數的整除特征。

　　例如，因為2和3互質，并且2×3=6，所以一個數能被6整除的特征是這個數既能被2整除又能被3整除。又如，因為3和5互質，并且3×5=15，所以一個數能被15整除的特征是這個數既能被3整除又能被5整除。

　　小學奧數必須掌握的30個知識模塊小結 6

　　一、 計算

　　1． 四則混合運算繁分數

　　⑴ 運算順序

　　⑵ 分數、小數混合運算技巧

　　一般而言：

　　① 加減運算中，能化成有限小數的統一以小數形式；

　　② 乘除運算中，統一以分數形式。

　　⑶帶分數與假分數的互化

　　⑷繁分數的化簡

　　2． 簡便計算

　　⑴湊整思想

　　⑵基準數思想

　　⑶裂項與拆分

　　⑷提取公因數

　　⑸商不變性質

　　⑹改變運算順序

　　① 運算定律的綜合運用

　　② 連減的性質

　　③ 連除的性質

　　④ 同級運算移項的性質

　　⑤ 增減括號的性質

　　⑥ 變式提取公因數

　　形如：a1 b a2 b ...... an b (a1 a2 ...... an) b

　　3． 估算

　　求某式的整數部分：擴縮法

　　4． 比較大小

　　① 通分

　　a. 通分母

　　b. 通分子

　　② 跟“中介”比

　　③ 利用倒數性質 若111mnmmnn ，則c>b>a.。形如：1 2 3，則1 2 3。 abcn1n2n3m1m2m3

　　5． 定義新運算

　　6． 特殊數列求和

　　運用相關公式：

　　n n 1 2

　　n n 1 2n 1 222②1 2 n 6①1 2 3 n

　　③an n n 1 n2 n

　　④1 2 n 1 2 n 3332n2 n 1 42

　　⑤abcabc abc 1001 abc 7 11 13

　　⑥a2 b2 a b a b

　　⑦1+2+3+4 （n-1）+n+（n-1）+ 4+3+2+1=n

　　2

　　二、 數論

　　1． 奇偶性問題

　　奇 奇=偶 奇×奇=奇

　　奇 偶=奇 奇×偶=偶

　　偶 偶=偶 偶×偶=偶

　　2． 位值原則 形如：abc=100a+10b+c

　　① 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。

　　② 如果bc|a，那么b|a，c|a。

　　③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

　　④ 如果c|b,b|a,那么c|a.

　　⑤ a個連續自然數中必恰有一個數能被a整除。

　　5． 帶余除法

　　一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,那么一定有另外兩個整數q和r，0 r＜b,使得a=b×q+r

　　當r=0時，我們稱a能被b整除。

　　當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數除式又可以表示為a÷b=q r, 0 r＜b a=b×q+r

　　6. 唯一分解定理

　　任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

　　n= p1a1× p2a2×...×pkak

　　7. 約數個數與約數和定理

　　設自然數n的質因子分解式如n= p1a1× p2a2×...×pkak那么：

　　n的約數個數：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

　　n的所有約數和：（1+P1+P1+ p12a1）（1+P2+P2+ p22a2） （1+Pk+Pk+ pk2ak）

　　8. 同余定理

　　① 同余定義：若兩個整數a，b被自然數m除有相同的余數，那么稱a，b對于模

　　m同余，用式子表示為a≡b(mod m)

　　②若兩個數a，b除以同一個數c得到的余數相同，則a，b的差一定能被c整除。 ③兩數的和除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數和。

　　④兩數的差除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數差。

　　⑤兩數的積除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數積。

　　9．完全平方數性質

　　①平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②約數：約數個數為奇數個的是完全平方數。

　　約數個數為3的是質數的平方。

　　③質因數分解：把數字分解，使他滿足積是平方數。

　　④平方和。

　　10．孫子定理（中國剩余定理）

　　11．輾轉相除法

　　12．數論解題的常用方法：

　　枚舉、歸納、反證、構造、配對、估計

　　22

　　三、 幾何圖形

　　1． 平面圖形

　　⑴多邊形的內角和

　　N邊形的內角和=(N-2)×180°

　　⑵等積變形（位移、割補）

　　① 三角形內等底等高的三角形

　　② 平行線內等底等高的三角形

　　③ 公共部分的傳遞性

　　④ 極值原理（變與不變）

　　⑶三角形面積與底的正比關系

　　S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ⑷相似三角形性質（份數、比例）

　　①abch ; S1︰S2=a2︰A2

　　ABCH

　　2②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2

　　⑸燕尾定理

　　例如弦圖中長短邊長的關系。

　　⑻組合圖形的'思考方法

　　① 化整為零

　　② 先補后去

　　③ 正反結合

　　2． 立體圖形

　　⑴規則立體圖形的表面積和體積公式

　　⑵不規則立體圖形的表面積

　　整體觀照法

　　⑶體積的等積變形

　　①水中浸放物體：V升水=V物

　　②測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水

　　⑷三視圖與展開圖

　　最短線路與展開圖形狀問題

　　⑸染色問題

　　幾面染色的塊數與“芯”、棱長、頂點、面數的關系。

　　四、 典型應用題

　　1． 植樹問題

　　①開放型與封閉型

　　②間隔與株數的關系

　　2． 方陣問題

　　外層邊長數-2=內層邊長數

　　（外層邊長數-1）×4=外周長數

　　外層邊長數2-中空邊長數2=實面積數

　　3． 列車過橋問題

　　①車長+橋長=速度×時間

　　②車長甲+車長乙=速度和×相遇時間

　　③車長甲+車長乙=速度差×追及時間

　　列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題 車長=速度和×相遇時間

　　車長=速度差×追及時間

　　4． 年齡問題

　　差不變原理

　　5． 雞兔同籠

　　假設法的解題思想

　　6． 牛吃草問題

　　原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時間

　　7． 平均數問題

　　8． 盈虧問題

　　分析差量關系

　　9． 和差問題

　　10． 和倍問題

　　11． 差倍問題

　　12． 逆推問題

　　還原法，從結果入手

　　13． 代換問題

　　列表消元法

　　等價條件代換

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