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幾何證明模擬試題及參考答案

時(shí)間:2021-11-23 18:08:43 證明大全 我要投稿
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幾何證明模擬試題及參考答案

  幾何是需要有證明的,關(guān)于一些證明的宣講也值得一看。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的幾何證明選講內(nèi)容,希望大家喜歡。

幾何證明模擬試題及參考答案

  幾何證明選講1

  高中數(shù)學(xué)選修4-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

  平行線等分線段定理

  平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等。

  推理1:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

  推理2:經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn),且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理

  平分線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

  推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。相似三角形的判定及性質(zhì)

  相似三角形的判定:

  定義:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))。

  由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似,需考慮6個(gè)元素,即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等,三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例,顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡單方法:

  (1)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;

  (2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;

  (3)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似。

  預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

  判定定理1:對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似。高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) m.okwtrl.com/

  判定定理2:對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似。

  判定定理3:對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似。

  引理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的'第三邊。

  定理:(1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么它們相似;

  (2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們相似。

  定理:如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似。

  幾何證明選講2

  相似三角形的性質(zhì):

  (1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比;

  (2)相似三角形周長的比等于相似比;

  (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

  相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比,外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理

  射影定理:直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng);兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

  圓周定理

  圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。

  圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

  推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

  推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

  定理1:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

  定理2:圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

  圓內(nèi)接四邊形判定定理:如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

  推論:如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

  切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

  推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

  推論2:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

  切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì)

  弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段

  相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

  割線定理:從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

  切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

  切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

  高中幾何證明題

  圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在棱CC1的延長線上,且CC1=C1E=BC=1/2AB=1.

  (1)求證,D1E//平面ACB1

  (2)求證,平面D1B1E垂直平面DCB1

  證明:

  1):連接AD1,AD1²=AD²+DD1²=B1C1²+C1E²=B1E²

  所以AD1=B1E

  同理可證AB1=D1E

  所以四邊形AB1ED1為平行四邊形,AB1//A1E

  因?yàn)锳B1在平面ACB1上

  所以D1E//平面ACB1

  2):連接A1D,

  A1B1//CD,面A1B1CD與面CDB1為同一個(gè)平面

  由(1)可知面D1B1E與面AD1B1E為同一平面

  正方形ADD1A1的對(duì)角線AD1⊥A1D

  在長方體ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥面ADD1A1,所以CD⊥AD1

  AD1與A1D相交,所以AD1⊥AB1ED1

  所以面A1B1CD⊥AD1B1E

  即:面D1B1E⊥面DCB1


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