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關于初中數學典型的案例分析

　　我僅從四個方面，借助教學案例分析的形式，向老師們匯報一下我個人數學教學的體會，這四個方面是：

關于初中數學典型的案例分析

　　1.在多樣化學習活動中實現三維目標的整合;2.課堂教學過程中的預設和生成的動態調整;3.對數學習題課的思考;4.對課堂提問的思考。

　　首先，結合《勾股定理》一課的教學為例，談談如何在多樣化學習活動中實現三維目標的整合

　　案例1：《勾股定理》的課堂教學

　　第一個環節：探索勾股定理的教學

　　師(出示4幅圖形和表格)：觀察、計算各圖中正方形A、B、C的面積，完成表格，你有什么發現?

　　A的面積

　　B的面積

　　C的面積

　　生：從表中可以看出A、B兩個正方形的面積之和等于正方形C的面積。并且，從圖中可以看出正方形A、B的邊就是直角三角形的兩條直角邊，正方形C的邊就是直角三角形的斜邊，根據上面的結果，可以得出結論：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　這里，教師設計問題情境，讓學生探索發現“數”與“形”的密切關聯，形成猜想，主動探索結論，訓練了學生的歸納推理的能力，數形結合的思想自然得到運用和滲透，“面積法”也為后面定理的證明做好了鋪墊，雙基教學寓于學習情境之中。

　　第二個環節：證明勾股定理的教學

　　教師給各小組奮發制作好的直角三角形和正方形紙片，先分組拼圖探究，在交流、展示，讓學生在實踐探究活動中形成新的能力(試圖發現拼圖和證明的規律：同一個圖形面積用不同的方法表示)。

　　學生展示略

　　通過小組探究、展示證明方法，讓學生把已有的面積計算知識與要證明的代數式聯系起來，并試圖通過幾何意義的理解構造圖形，讓學生在探求證明方法的過程中深刻理解數學思想方法，提升創新思維能力。

　　第三個環節：運用勾股定理的教學

　　師：右圖是由兩個正方形

　　組成的圖形，能否剪拼為一個面積不變的新

　　的正方形，若能，看誰剪的次數最少。

　　生：可以剪拼成一個面積

　　不變的新的正方形，設原來的兩個正方形的

　　邊長分別是a、b，那么它們的面積和就是

　　a2+b2，由于面積不變，所以新正方形的面積

　　應該是a2+b2，所以只要是能剪出兩個以a、b

　　為直角邊的直角三角形，把它們重新拼成一個

　　邊長為a2+b2的正方形就行了。

　　問題是數學的心臟，學習數學的核心就在于提高解決問題的能力。教師在此設置問題不僅是檢驗勾股定理的靈活運用，更是對勾股定理探究方法和證明思想(數形結合思想、面積割補的方法、轉化和化歸思想)的綜合運用，從而讓學生在解決問題中發展創新能力。

　　第四個環節：挖掘勾股定理文化價值

　　師：勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，見數與形密切聯系起來。它在培養學生數學計算、數學猜想、數學推斷、數學論證和運用數學思想方法解決實際問題中都具有獨特的作用。勾股定理最早記載于公元前十一世紀我國古代的《周髀算經》，在我國古籍《九章算術》中提出“出入相補”原理證明勾股定理。在西方勾股定理又被成為“畢達哥拉斯定理”，是歐式幾何的核心定理之一，是平面幾何的重要基礎，關于勾股定理的證明，吸引了古今中外眾多數學家、物理學家、藝術家，甚至美國總統也投入到勾股定理的證明中來。它的發現、證明和應用都蘊涵著豐富的'數學人文內涵，希望同學們課后查閱相關資料，了解數學發展的歷史和數學家的故事，感受數學的價值和數學精神，欣賞數學的美。

　　新課程三維目標(知識和技能、過程和方法、情感態度和價值觀)從三個維度構建起具有豐富內涵的目標體系，課程運行中的每一個目標都可以與三個維度發生聯系，都應該在這三個維度上獲得教育價值。

　　2.課堂教學過程中的預設和生成的動態調整

　　案例2：年前，在魯教版七年級數學上冊《配套練習冊》第70頁，遇到一道填空題：

　　例：設a、b、c分別表示三種質量不同的物體，如圖所示，圖①、圖②兩架天平處于平衡狀態。為了使第三架天平(圖③)也處于平衡狀態，則“?”處應放個物體b?

　　通過調查，這個問題只有極少數學生填上了答案，還不知道是不是真的會解，我需要講解一下。

　　教學引入

　　師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行折疊處理。

　　動畫演示：

　　場景一：正方形折疊演示

　　師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板(刻度尺)和圓規，我們來研究正方形的幾何性質—邊、角以及對角線之間的關系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。

　　[學生活動：各自測量。]

　　鼓勵學生將測量結果與鄰近同學進行比較，找出共同點。

　　講授新課

　　找一兩個學生表述其結論，表述是要注意糾正其語言的規范性。

　　動畫演示：

　　場景二：正方形的性質

　　師：這些性質里那些是矩形的性質?

　　[學生活動：尋找矩形性質。]

　　動畫演示：

　　場景三：矩形的性質

　　師：同樣在這些性質里尋找屬于菱形的性質。

　　[學生活動;尋找菱形性質。]

　　動畫演示：

　　場景四：菱形的性質

　　師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質。

　　及時提出問題，引導學生進行思考。

　　師：根據這些性質，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準確的定義?

　　[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]

　　師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

　　學生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書：

　　“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”

　　“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”

　　“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”

　　[學生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]

　　師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系梳理一下。

　　我講解的設計思路是這樣的：

　　一.引導將圖①和圖②中的平衡狀態，用數學式子(符號語言——數學語言)表示(現實問題數學化——數學建模)：

　　圖①：2a=c+b.圖②:a+b=c.

　　因此，2a=(a+b)+b.

　　可得：a=2b，c=3b.

　　所以，a+c=5b.

　　答案應填5.

　　我自以為思維嚴密，有根有據。然而，在讓學生展示自己的想法時，卻出乎我的意料。

　　學生1這樣思考的：

　　假設b=1,a=2,c=3.所以，a+c=5，答案應填5.

　　學生這是用特殊值法解決問題的，雖然特殊值法也是一種數學方法，但是存在很大的不確定性，不能讓學生僅停留在這種淺顯的思維表層上。面對這個教學推進過程的教學“新起點”，我必須深化學生的思維，但是，還不能打擊他的自信心，必須保護好學生的思維成果。因此，我立刻放棄了準備好的講解方案，以學生思維的結果為起點，進行調整。

　　我先對學生1的方法進行積極地點評，肯定了這種思維方式在探索問題中的積極作用，當那幾個同樣做法的學生自信心溢于言表時，我隨后提出這樣一個問題：

　　“你怎么想到假設b=1,a=2,c=3?a、b、c是不是可以假設為任意的三個數?”

　　有的學生不假思索，馬上回答：“可以是任意的三個數。”也有的學生持否定意見，大多數將信將疑，全體學生被這個問題吊足了胃口，我趁機點撥：

　　“驗證一下吧。”

　　全班學生立刻開始思考，驗證，大約有3分鐘的時間，學生們開始回答這個問題：

　　“b=2，a=3，c=4時不行，不能滿足圖①、圖②中的數量關系。”

　　“b=2，a=4，c=6時可以。結果也該填5.”

　　“b=3，a=6，c=9時可以，結果也一樣。”

　　“b=4，a=8，c=12時可以，結果也一樣。”

　　“我發現，只要a是b的2倍，c是b的3倍就能滿足圖①、圖②中的數量關系，結果就一定是5.”

　　這時，學生的思維已經由特殊上升到一般了，也就是說在這個過程中，學生的歸納推理得到了訓練，對特殊值法也有了更深的體會，用字母表示發現的規律，進而得到a=2b，c=3b.所以，a+c=5b.答案應填5.

　　我的目的還沒有達到，繼續拋出問題：

　　“我們列舉了好多數據，發現了這個結論，你還能從圖①、圖②中的數量關系本身，尋找更簡明的方法嗎?”學生又陷入深深地思考中，當我巡視各小組中出現了“圖①：2a=c+b.圖②:a+b=c.”時，我知道，學生的思維快與嚴密的邏輯推理接軌了。

　　我們是不是都有這樣的感受,課堂教學設計兼具“現實性”與“可能性”的特征，這意味著課堂教學設計方案與教學實施過程的展開之間不是“建筑圖紙”和“施工過程”的關系，即課堂教學過程不是簡單地執行教學設計方案的過程。

　　在課堂教學展開之初，我們可能先選取一個起點切入教學過程，但隨著教學的展開和師生之間、生生之間的多向互動，就會不斷形成多個基于不同學生發展狀態和教學推進過程的教學“新起點”。因此課堂教學設計的起點并不是唯一的，而是多元的;不是確定不變的，而是預設中生成的;不是按預設展開僵硬不變的，而是在動態中調整的。

　　3.一節數學習題課的思考

　　案例3：一位教師的習題課，內容是“特殊四邊形”。

　　該教師設計了如下習題：

　　題1(例題)順次連接四邊形各邊的中點，所得的四邊形是怎樣的四邊形?并證明你的結論。

　　題2如右圖所示，△ABC中，中線BE、CF

　　交于O,G、H分別是BO、CO的中點。

　　(1)求證：FG∥EH;

　　(2)求證：OF=CH.

　　題3(拓展練習)當原四邊形具有什么條件時，其中點四邊形為矩形、菱形、正方形?

　　題4(課外作業)如右圖所示，

　　DE是△ABC的中位線，AF是邊

　　BC上的中線，DE、AF相交于點O.

　　(1)求證：AF與DE互相平分;

　　(2)當△ABC具有什么條件時，AF=DE。

　　(3)當△ABC具有什么條件時，AF⊥DE。

　　教師先讓學生思考第一題(例題)。教師引導學生畫圖、觀察后，進入證明教學。

　　師：如圖，由條件E、F、G、H

　　是各邊的中點，可聯想到三角形中位

　　線定理，所以連接BD，可得EH、

　　FG都平行且等于BD,所以EH平行

　　且等于FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形，下面，請同學們寫出證明過程。

　　只經過五六分鐘，證明過程的教學就“順利”完成了，學生也覺得不難。但讓學生做題2，只有幾個學生會做。題3對學生的困難更大，有的模仿例題，畫圖觀察，但卻得不到矩形等特殊的四邊形;有的先畫矩形，但矩形的頂點卻不是原四邊形各邊的中點。

　　評課：本課習題的選擇設計比較好，涵蓋了三角形中位線定理及特殊四邊形的性質與判定等數學知識。運用的主要方法有：(1)通過畫圖(實驗)、觀察、猜想、證明等活動，研究數學;(2)溝通條件與結論的聯系，實現轉化，添加輔助線;(3)由于習題具備了一定的開放性、解法的多樣性，因此思維也要具有一定的深廣度。

　　為什么學生仍然不會解題呢?學生基礎較差是一個原因，在教學上有沒有原因?我個人感覺，主要存在這樣三個問題：

　　(1)學生思維沒有形成。教師只講怎么做，沒有講為什么這么做。教師把證明思路都說了出來，沒有引導學生如何去分析，剝奪了學生思維空間;

　　(2)缺少數學思想、方法的歸納，沒有揭示數學的本質。出現講了這道題會做，換一道題不會做的狀況;

　　(3)題3是動態的條件開放題，相對于題1是逆向思維，思維要求高，學生難把握，教師缺少必要的指導與點撥。

　　修正：根據上述分析，題1的教學設計可做如下改進：

　　首先，對于開始例題證明的教學，提出“序列化”思考題：

　　(1)平行四邊形有哪些判定方法?

　　(2)本題能否直接證明EF∥FG,EH=FG?在不能直接證明的情況下，通常考慮間接證明，即借助第三條線段分別把EH和FG的位置關系(平行)和數量關系聯系起來，分析一下，那條線段具有這樣的作用?

　　(3)由E、F、G、H是各邊的中點，你能聯想到什么數學知識?

　　(4)圖中有沒有現成的三角形及其中位線?如何構造?

　　設計意圖：上述問題(1)激活知識;問題(2)暗示輔助線添加的必要性，滲透間接解決問題的思想方法;問題(3)、(4)引導學生發現輔助線的具體做法。

　　其次，證明完成后，教師可引導歸納：

　　我們把四邊形ABCD稱為原四邊形，四邊形EFGH稱為中點四邊形，得到結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形;輔助線溝通了條件與結論的聯系，實現了轉化。原四邊形的一條對角線溝通了中點四邊形一組對邊的位置和數量關系。這種溝通來源于原四邊形的對角線同時又是以中點四邊形的邊為中位線的兩個三角形的公共邊，由此可感受到，起到這種溝通作用的往往是圖形中的公共元素，因此，在證明中一定要關注這種公共元素。

　　然后，增設“過渡題”：原四邊形具備什么條件時，其中點四邊形為矩形?教師可點撥思考：

　　怎樣的平行四邊形是矩形?結合本題特點，你選擇哪種方法?考慮一個直角，即中點四邊形一組鄰邊的位置關系。一組鄰邊位置和數量關系的變化，原四邊形兩條對角線的位置和數量關系也隨之變化。

　　根據修正后的教學設計換個班重上這節課，這是效果明顯，大部分學生獲得了解題的成功，幾個題都出現了不同的證法。

　　啟示：習題課教學，例題教學是關鍵。例題與習題的關系是綱目關系，綱舉則目張。在例題教學中，教師要指導學生學會思維，揭示數學思想，歸納解題方法策略。可以嘗試以下方法：

　　(1)激活、檢索與題相關的數學知識。知識的激活、檢索緣于題目信息，如由條件聯想知識，由結論聯系知識。知識的激活和檢索標志著思維開始運作;

　　(2)在思維的障礙處啟迪思維。思維源于問題，數學思維是隱性的心理活動，教師要設法采取一定的形式，凸顯思維過程，如：設計相關的思考問題，分解題設障礙，啟迪學生有效思維。

　　(3)及時歸納思想方法與解題策略。從方法論的角度考慮，數學習題教學，意義不在習題本身，數學思想方法、策略才是數學本質，習題僅是學習方法策略的載體，因此，方法策略的總結是很有必要的。題1的歸納總結使題2迎刃而解，題2是將題1的凸四邊形ABCD變為凹四邊形ABOC，兩題的實質是一樣的。學生在解題3時，試圖模仿題1，這是解題策略問題。題1條件確定，可以通過畫圖、觀察發現，題3必須通過推理發現后才可畫出圖形。

　　4.注意課堂提問的藝術

　　案例1：一堂公開課——“相似三角形的性質”，為了了解學生對相似三角形判定的掌握情況，提出兩個問題：

　　(1)什么叫相似三角形?

　　(2)相似三角形有哪幾種判定方法?

　　聽了學生流利、圓滿的回答，教師滿意地開始了新課教學。老師們對此有何評價?

　　事實上學生回答的只是一些淺層次記憶性知識，并沒有表明他們是否真正理解。可以將提問這樣設計：

　　如圖，在△ABC和△A?B?C?中，

　　(1)已知∠A=∠A?,補充一個合適的

　　條件，使△ABC∽△A?B?C?;

　　(2)已知AB/A?B?=BC/B?C?;補充一個合適的

　　條件，使△ABC∽△A?B?C?.

　　回答這樣的問題，僅靠死記硬背是不行的，只有在真正掌握了相似三角形判定的基礎上才能正確回答。這樣的提問能起到反思的作用，學生的思維被激活，教學的有效性能夠提高。