小學數學教學的改革分析
一 發現法的特點
發現法是近二十多年來國外倡導的一種教學方法，也有人稱為探究問題法。五十年代末六十年代初，根據科學技術的迅猛發展和培養人才的需要，國外在提出改革傳統教材的同時，相應地要求改革傳統的教學方法。有些心理學家和教育工作者倡導“發現”的學習方法，強調要讓學生自己發現和創造知識。例如，瑞士心理學家皮亞杰就提出：“要引導兒童去重新發明他們能夠發明的事物�！泵绹睦韺W家布魯納更完整地提出發現學習的理論。他強調，學習是發現知識、理解一個學科的基本認識結構、運用直觀和分析推理以及依靠內在動機的過程。他認為，“發現不限于尋求人類尚未知曉的事物，確切地說，它包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切方式。”因此，他提倡在教學中廣泛運用發現法。
倡導者們認為發現學習的優點主要是：1.發揮學生主動性和創造性，發展他們的智力；2.可以較深地理解知識，并且較好地保持在記憶中；3.使學生更容易遷移，并且提高學習和研究較難的教材和問題的興趣和信心；4.學生獲得探究知識的技能，從而提高學生獨立學習的能力。
運用發現法的一般步驟如下：1.創設問題的情境，提出要解決的問題；2.擬出解決問題的方法和途徑，收集資料；3.提出假設；4.檢驗假設；5.總結，做出共同的結論。
可以看出，發現法教學的過程與科學家發現新知識的過程基本上是一致的。照布魯納所說，兩者屬于同一類的活動，差別僅在程度而不在性質。
純發現法的教學，自始至終強調兒童自己獨立進行活動。這種方法，國外的學前教育工作者運用得多一些，在學校教育中也有運用。但是，純發現法存在較大的缺點，它只適用于介紹新教材，有時兒童有困難，不能保證達到預期的目的和獲得系統完整的知識。因此有人（如美國的柯爾士）提出引導發現法，即在擬定解決問題的途徑或提出假設時，教師可以適當予以提示和幫助。這樣，學生做起來比較容易，可以有效地控制學生的學習活動，并保證達到預期的目的。
二 發現法在小學數學教學中的運用
自從倡導發現法以來，在國外的小學數學教學中有一些教師運用了發現法，但不普遍。最早在六十年代初，布魯納曾和美國數學家狄因斯合作，研究試用發現法教小學數學。他曾在小學三年級試用發現法引導兒童根據正方形的邊長求面積，發現（x+ 1）（x＋1）=x2+2x+1。以后一些數學教學法研究人員在這方面做了不少的研究�，F在從國外書籍中選幾個例子來說明。
例1：一位數除兩位數的教學。
給出一道題如39÷3。學生可以先拿39個物品，每3個一份，把它們分成13份。做幾個這樣的題目以后，可以讓他們把物品組成10個一組。例如，給出這樣一道題：“哈利買了4條糖果，每條有10塊。他吃了1塊，把剩下的每3塊包成一包，分給同學，分給了幾個同學？”
學生可能有以下幾種解法：
1.每3個分成一堆，然后數出分得的堆數；
2.從三個10中各先拿出1個，剩下的每9個分給3個同學，再把其余的也每3個分成一堆。
3.與2.相似，但他們看出有4個9。
4.他們看出3個10正好分給10個人，剩下的每3個分成一組。
5.與4.相似，但他們看出剩下的9個正好夠分給3個人。
在學生得出解法之后，全班進行討論。教師對不同的算法不給出評價。再出一道題，許多學生會選用比他第一次用的更為簡便的方法。進一步教師提出引導性問題，促使學生找出更為有效的計算方法，形成一般的豎式計算。
例2：乘法分配律的教學。
給出一道一個數乘以和的應用題，例如：“有3個男孩和4個女孩，分給每人2塊餅干，一共需要多少塊餅干？”讓各小組研究這道題可能有幾種方法。學生想出下面的解法：
每人的塊數×（男孩數+女孩數）=2×（3＋4），（每人的塊數×男孩數）＋（每人的塊數×女孩數）=（2×3）＋（2×4）。
還可以用長方形陣列的方法（即按照已知數畫幾行點子，再導出算式）。每個小組可以自己設數，排成大小不同的陣列。讓學生寫出積，然后在其中某兩行之間或某兩列之間折疊一下，把陣列分成兩部分，重新寫出算式，求出積來。以4×7為例，可以寫成如下的形式：
學生找到分配律以后，可以用它去發現新的事實。
例3：三角形內角和的教學。
開始先讓學生各拿一張正方形紙，沿對角線折疊，發現每個三角形的三個角是由一個直角和兩個半個直角組成的。隨后讓學生拿一張長方形紙，沿對角線剪開，再試試能不能發現每個三角形的內角和是多少。有的學生很快發現三角形內角和等于2個直角，因為一個長方形有4個直角，而剪成的兩個三角形是完全相等的。
教師還收集了一些等邊三角形容器。兒童發現可以把6個這樣的容器拼成一個新的`圖形。而且可以把三個拼在一起立在桌子上（右圖）。這說明每個角（根據已學的圖形的對稱很快發現等邊三角形的三個角相等）等于2個直角的三分之一。這再一次說明三角形的內角和等于2個直角。
然后教師向學生提問，能不能發現任意三角形的內角和是多少。教師建議學生各畫幾個不同的三角形，給每個角標上號。有的學生折疊三個角，使它們對在一起；有的學生撕開三個角，把它們拼在一起。他們發現拼成的角的邊形成一條直線。有些學生試圖發現三角形的內角和是否有不等于2個直角的。
最后教師建議，在一個球面上畫一個三角形。學生很高興地發現，在球面上畫的三角形有些內角和是2個直角，還有一些卻大于2個直角。
從上面的幾個例子可以看出，在小學數學教學中運用發現法，基本上符合前面介紹的幾個步驟。幾個例子突出的共同點是激發兒童動腦筋想辦法發現規律。解決問題；不同的是，有的教師引導多一些，有的教師引導少一些。
三 對發現法的評價
自發現法問世以來，國外對這種方法有各種各樣的評價。除了象前面介紹的發現法的倡導者所指出的一些優點以外，也有不少人提出意見。
有些人對發現法持反對的態度。例如，美國心理學家加涅不相信只要使學生掌握思考方法，就可以培養起能力。他強調教學要使學生掌握大量有組織的知識，教師要給以充分指導，使學生按照規定的程序進行學習。美國另一心理學家奧蘇博則認為，大多數學習應當是學生主動解決問題，但必須由教師建立一個系統的序列和方式。他認為聽講也可以是一個智力上主動的過程，而在探究的情境中學生也可能是被動的。
也有人認為發現法有它的適用范圍，不能作為唯一的一種教學方法。蘇聯教學法專家巴班斯基曾指出，這種方法花的教學時間多，在培養一些不復雜的技能技巧時作用是不大的。美國的小學數學教學法研究工作者恩德希爾認為，在教學新概念和一般概括性知識時可以用這種方法，而關于概念的名稱、符號表示法仍需要教師予以講解，而且在發現新知識以后，還要適當地通過講解法復述概念，指出它的屬性，以及計算方法的一些細節（如進位加法要說明豎式具體怎樣加，注意哪些事項）等。日本福岡大學秋山俊夫根據日本的試驗，認為發現法對于具體運思階段后期至形式運思階段前期的學生（十歲左右——十二歲左右）比較有效，但也認為要花費時間和勞力。
結合我國具體情況如何在小學數學教學中運用發現法，還沒有完整的經驗，有待于進一步試驗研究。
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