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數學題練習及答案
在日常學習和工作中，許多人都需要跟練習題打交道，只有多做題，學習成績才能提上來。學習就是一個反復反復再反復的過程，多做題。那么一般好的習題都具備什么特點呢？下面是小編為大家整理的數學題練習及答案，希望對大家有所幫助。（點擊對應目錄可以直接查閱哦�。�
(1)5+( )=8
(2)8+( )=10
(3)( )-2=3
(4)( )-4=1
(5)( )+2=10
(6)( )+1=8
(7)4-( )=2
(8)( )-1=1
(9)9-( )=0
(10)( )-6=2
(11)( )+1=10
(12)5+( )=8
(13)( )+5=8
(14)8+( )=10
(15)( )+3=4
答案：
(1)5+( 3)=8
(2)8+( 2 )=10
(3)( 5 )-2=3
(4)( 5 )-4=1
(5)( 8 )+2=10
(6)( 7 )+1=8
(7)4-( 2 )=2
(8)( 2 )-1=1
(9)9-( 9 )=0
(10)( 8 )-6=2
(11)( 9 )+1=10
(12)5+( 3 )=8
(13)( 3 )+5=8
(14)8+( 2 )=10
(15)( 1 )+3=4
一、填空
1、從62、27、54、73、38、28、46中選出合適的數填空。
( )+( )=( )+( )=( )+( )
2、小明給小軍18元錢后，兩人身上的錢一樣多，那么小明比小軍多( )元。
3、同學們做操，從排頭數，小軍在第28個，從排尾數，小軍在第27個，這隊同學共有( )個。
4、()里最大能填幾?
( )-9<80 80-( )<20+25
30+( )<40 26厘米+( )厘米<1米
( )米-80米<16米>12厘米
5、把10分成( )和( )，這兩個數的積最大。
6、小明家住5樓，小明每上一層樓要1分鐘，從1樓到5樓回家共需( )分鐘。
7、小麗得了6朵花，小華得的花比小麗得的多3倍，小華得了( )朵花。
8、把一根長15米的鋼管平均鋸成3段，每段長()米，需要鋸( )次。
9、二年級有三個班，如果從二1班調1個同學到二2 班，兩班人數就相等，如果從二2班調1 個同學到二3班，二3 班就比二2班多2人。二1班和二3班比，( )班人多，多( )人。
二、巧算(用簡便方法計算)
1. 400-29+362-71+38
2. 399+299+599+199
三、應用題
1、二年級2班共有學生43人，比二1班少2人，二3班比二1班多4人，三個班一共有學生多少人？
2、一筐蘋果連筐重30千克，賣出一半蘋果后，連筐還重18千克，筐重多少千克?原來蘋果重多少千克？
3、三人量體重，甲乙共重52千克，甲丙共重46千克，乙丙共重48千克，三人各重多少千克？
4、黑貓釣到15條魚，白貓釣到5條魚，花貓釣到7條魚，黑貓要給白貓和花貓各多少條魚，三只貓的魚才同樣多？
參考答案：
一﹑填空。
1、(62)+(38)=(54)+(46)=(27)+(73)
2、36
3、54
4、88, 36, 9 , 73 , 95 , 87
5、5, 5
6、4
7、24
8、5, 4
9、1, 2
二﹑巧算。
1.=400+(362+38)-(29+71)
=400+400-100
=700
2.=(400-1)+(300-1)+(600-1)+(200-1)
=400+300+600+200-4
=1496
三﹑應用題
1.43+2=45(人) 45+4=49(人)
43+45+49=137(人)
2.30-18=12(千克) 18-12=6(千克)
30-6=24(千克)
3.52+46=98(千克) 98-48=50(千克)
50÷2=25(千克)(甲) 52-25=27(千克)(乙)
46-25=21(千克)(丙)
4.15+5+7=27(條) 27÷3=9(條)
9-5=4(條) 9-7=2(條)
一、填空
�。ㄒ唬┨钌虾线m的單位。
1．一支鉛筆長16( )。
2. 一頭牛重500( )。
3. 爸爸每天工作8( )。
4. 小李跑50米大約要10( )。
5. 長江長約6300( )。
6 .一本數學書厚約8( )。
7.一瓶礦泉水重450( )。
8. 一棵大樹高約10( )。
�。ǘ┧阋凰�
8000米=( )千米
( )毫米=1分米
50毫米=( )厘米
3分15秒=( )秒
180秒=( )分
6000千克=( )噸
5米=( )厘米
3時=( )分
7噸=( )千克
（三）比450多280的數是( )，比720少250的數是( )。
�。ㄋ模�5的4倍是( )個( )；36是4的( )倍；( )的5倍是10。
答案：
（一）厘米 千克 時 秒 千米 毫米 克 米
（二）8 100 5 195 3 6 500 180 7000
（三）730 470
（四）4，5 9 2
二、選擇
（一）一個正方形的邊長增加3厘米，它的周長增加( )厘米。
A、3
B、6
C、12
�。ǘ┟脶槒臄底�12走到6，經過了( )。
A、6秒
B、6分
C、30秒
（三）4×250的積是( )。
A、100
B、1000
C、10000
（四）6噸鐵和6000千克棉花的質量( )。
A、鐵重
B、一樣重
C、不一樣重
�。ㄎ澹�485 224的和最接近( )。
A、600
B、700
C、800
答案：
�。ㄒ唬〤 （二）C （三）B （四）B （五）B
三、解答
�。ㄒ唬┩鮿傋呗飞蠈W，7:25從家出發，7:40到學校，他從家到學校用了多少時間？
考查目的：鞏固學生計算經過時間的能力。
答案：15分鐘。
解析：利用生活中的實例，鞏固學生計算經過時間的能力�？梢杂脭蹈褡拥姆椒�，也可以用結束時間—開始時間=經過時間。
（二）一個長方形廣場，長500米，寬300米，小敏沿廣場跑了2圈，共跑了多少米？
考查目的：鞏固學生計算周長的能力。
答案：（500 300）×2=1600（米）
1600×2=3200（米）
解析：利用生活中的實例，鞏固學生計算周長的能力。
�。ㄈ┬∶饔�8本書，小李給小明3本書后，小李的書的本數就是小明的2倍，小李原來有幾本書？
考查目的：鞏固學生對倍知識的掌握。
答案：8 3=11（本），
11×2=22（本），
22 3=25（本）。
解析：利用生活中的實例，鞏固學生對倍知識的掌握。
（四）24元可以買3個鉛筆盒，40元可以買幾個同樣的鉛筆盒？
考查目的：用所學知識解決實際問題。
答案：24÷3=8（元） 40÷8=5（個）
解析：先求出一個鉛筆盒的價格，再算40里面有幾個8就可以買幾個相同的鉛筆盒。
一、填空
1．根據加、減法各部分間的關系，寫出另外兩個算式。
考查目的：加、減法各部分間的關系。
答案： 438-182=256、438-256=182；52+46=98、98-46=52；603+159=762、762-603=159
解析：由于減法是加法的逆運算，所以和減一個加數等于另一個加數，被減數等于減數加差，被減數減差等于減數，因此438-182=256、438-256=182；52+46=98、98-46=52；603+159=762、762-603=159。
2．根據乘、除法各部分間的關系，寫出另外兩個算式。
考查目的：乘、除法各部分間的關系。
答案：884÷26=34、884÷34=26；61250÷50=25、25×50=1250；448÷56=8、56×8=448。
解析：由于除法是乘法的逆運算，所以積除以一個因數等于另一個因數，被除數等于除數乘商，除數等于被除數除以商，因此884÷26=34、884÷34=26；61250÷50=25、25×50=1250；448÷56=8、56×8=448。
3． 178+72 140－90
（ ） ÷（ ）
（）
綜合算式：
考查目的：四則運算的運算順序和基本計算能力。
答案： 250、50、5、（178+72）÷（140-90）=5
解析：四則混合運算中，先算括號內再算括號外，不同級運算需先算二級運算，再算一級運算。因此原算式無括號時為178+72÷140－90，很顯然不符合先算178+72，再算140-90，故兩算式需用括號括起，以便不改變題意中的運算順序。
4．計算350－884÷[（26×14）+78]運算順序第一步是（ ）等于（ ），第二步是（）等于（ ），第三步是（ ）等于（），第四步是（）等于（）。
考查目的：四則運算的運算順序和基本計算能力。
答案：26×14、364、364+78、442、884÷442、2、350-2、348
解析：四則混合運算中，先算小括號內的26×14=364，再算中括號內的
364+78=442；無括號時，需先算二級運算884÷442=2，再算一級運算350-2=348。
5．水果店賣出橘子35筐，香蕉28筐，橘子和香蕉每筐都是48千克。根據下列算式補相應的問題。
�。�1）48×35： 。
�。�2）48×28： 。
（3）35+28： 。
�。�4）48×35+48×28： 。
�。�5）48×（35－28）： 。 考查目的：在實際問題中不同運算表示的含義。
答案：（1）水果店賣出橘子共重多少千克？
�。�2）水果店賣出香蕉共重多少千克？
（3）水果店賣出橘子、香蕉共多少筐？
�。�4）水果店賣出橘子、香蕉共多少千克？
�。�5）水果店賣出的橘子比香蕉多多少千克？
解析：根據每份數×份數=總數這一數量關系，（1）（2）（3）小題非常簡單的可以解決。（4）（5）小題則需要先判斷運算順序，在進行與實際問題的聯系。
二、選擇
�。�1）甲數是100，比乙數的3倍多16，乙數是（ ）。
�、� 28 ②312 ③38
�。�2）從459里減去15的4倍，差是多少？正確的算式是（ ）。 ①（459－15）×4②459－15×4③459×4－15
（3）根據算式選擇問題。
甲、乙兩人同時從兩地相向而行，甲騎車每小時行15千米，乙步行每小時行6千米，經過4小時兩人相遇。
①15×4 （ ） ②15+6 （ ）③（15+6）×4（ ） ①甲、乙兩人每小時共行多少千米？
�、趦傻刂g的路程是多少千米？
�、巯嘤鰰r，甲行了多少千米？
�。�4）在除法里，0不能作（ ）
�、俦怀龜耽诔龜� ③商
�。�5）下面的算式中，不一定等于0的算式是（）
①0+△ ②0÷△ ③0×△
考查目的：
�。�1）四則運算的運算順序；
�。�2）四則運算的運算順序和括號的使用；
（3）在實際問題中不同運算表示的含義；
�。�4）除法運算中除數的數域范圍；
�。�5）四則運算中特殊數“0”的應用。
答案：1．①；2．②； 3．③②①；4．②；5．①
解析：1．需先計算乙數的3倍是多少，即100-16=84，然后在計算乙數，即84÷3=28，因此選擇①。
2．需先計算15的4倍，即15×4，然后再從459中減去這個數，因此選擇②。
3．根據“速度×時間=路程”這一數量關系式，分別對應找到甲、乙的速度和時間，因此三個問題的選擇為③②①。
4．在除法中0不能作除數，所以選擇②。
5．此題中的3個算式都有0，由于0×任何數都等于0，0÷任何數也都等于0（除數不為0），而0＋任何數都等于該數，因此選擇①。
三、解答
1．明光小學四年級開辦“讀書節”，各班向學校圖書室借書，其中四年級1至6班每班借45本，7至10班每班借48本。圖書室一共借出了多少本書？
考查目的：四則運算運算順序和基礎計算能力。
答案：6×45+3×48=414（本）
解析：先將序數轉化為基數，1至6班共有6個班，7至10班共有3個班；然后分別分段計算出各班借閱圖書的數量6×45和3×48，最后求和，6×45+3×48=414（本）即為所求。
2．“夏雨”服裝廠的設計師改進了設計工藝。經計算用84米布可以做18套成人服裝，每套用布3米，剩下的布則正好做15套兒童服裝，每套兒童服裝用布多少米？（請列出綜合算式）
第1單元 小數乘法
一、人的嗅覺細胞約有0.049億個，狗的嗅覺細胞個數是人的45倍，狗約有多少億個嗅覺細胞？（得數保留一位小數。）
二、世界上第一臺電子計算機很大，它的質量相當于6頭5.85噸重的大象，這臺計算機有多重？（得數保留整數。）（本題共10分）
三、某商場一天賣出空調17臺，每臺873元，同時風扇也賣出17臺，每臺127元。一天該商場的空調、風扇共賣了多少錢？（本題共10分）
四、算一算。（本題共10分）
1．直接寫出結果。
0．16×0.5＝ 5.5×0.2＝ 3.5×3＝2.5×2.9×0.4＝
1．2×0.6＝ 1.7×3＝80×0.04＝ 0.8×0.9×10＝
2．列豎式計算。
5．5×4.04＝ 0.048×0.15＝ 0.76×4.7≈
（保留一位小數）
3．用你喜歡的方法計算下面各題。
3．2×1.8＋2.5440.7－2.6×9.3
6．83×1.9－0.9×6.830.59×99
五、1．0.25的12倍是（ �。�
A．0.03 B．0.3 C．3 D．30
2．一個數乘0.01，也就是把這個數縮小到它的（ �。�
A.1100 B.110C．10倍 D．100倍
3．下列算式中，積大于第一個因數的是（ ）。
A．9.03×0.6 B．0.4×1.7
C．0.89×0.89 D．1.7×0.4
4．0.065×45＝2.925，如果得數保留一位小數，則是（ �。�
A．3.0 B．2.9 C．2.93 D．2.92
5．一個兩位小數精確到十分位后是10.0，則這個小數一定是（ ）。
A．9.99B．9.95到10.04之間的十個兩位小數
C．10.01D．10.00
6．如果甲×0.25＝乙×1.25（甲乙均不為0），那么甲（ �。┮�。
A．>B．<c．＝d．無法確定< span="">
第1單元 小數乘法參考答案：
一、【答案解析】：0.049×45≈2.2（億個）
二、【答案解析】：85×6≈35（噸）
三、【答案解析】：（873+127）×17=17000（元）
四、【答案解析】：0.08 1.1 10.5 2.9 0.72 5.1 3.2 7.2
2．22.22 0.0072 3.6
3．3.2×1.8＋2.54 40.7－2.6×9.3
�。�5.76＋2.54 ＝40.7－24.18
＝8.3 ＝16.52
6．83×1.9－0.9×6.83 0.59×99
＝6.83×（1.9－0.9） ＝0.59×100－0.59
�。�6.83×1 ＝59－0.59
�。�6.83 ＝58.41
五、【答案解析】： 1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.A（本題共10分）
一、選擇題
1、已知小圓的半徑是2cm，大圓的直徑是6cm,小圓和小圓的周長之比為（ ），面積的比是（ ）。
2、12的因數有（ )個，選4個組成一個比例是（ ）。
3、一幅地圖的比例尺是1:40000000，把它改成線段比例尺是（ ），已知AB兩地的實際距離是24千米，在這幅地圖上應畫（ ）厘米。
4、3時整，分針和時針的夾角是（ ）°，6時整，分針和時針的夾角是（ ）。
5、一個比例的兩個內項分別是4和7，那么這個比例的`兩個外項的積是（ ）。
6、用圓規畫一個直徑是8cm的圓，圓規兩腳尖的距離是（ )cm,這個圓的位置由（ ）決定。
7、一個數，如果用2、3、5去除，正好都能被整除，這個數最小是（ ），如果這個數是兩位數，它最大是（ ）。
8、如果一個長方體，如果它的高增加2cm就成一個正方體，而且表面積增加24cm2,原來這個長方體的表面積是（ ）。
9、一個三位小數四舍五入取近似值是2.80，這個數最大是（ ），最小是（ ）。
10、打一份稿件，甲單獨做需要10小時，乙單獨做需要12小時，那么甲、乙的工效之比是（ ），時間比是（ ）。
11、一個正方體的棱長總和是24cm，這個正方體的表面積是（ ）cm2,體積是（）cm3。
二、判斷題
1、兩根1米長的木料，第一根用 米，第二根用去 ，剩下的木料同樣長。（ ）
2、去掉小數0.50末尾的0后，小數的大小不變，計數單位也不變。（ ）
3、一個三角形中至少有2個銳角。（ ）
4、因為3a=5b(a、b不為0），所以a:b=5:3。（ ）
5、如果圓柱和圓錐的體積和高分別相等，那么圓錐與圓柱的底面積的比是3:1。（ ）
6、10噸煤，用去了一半，還剩50%噸煤。（ ）
7、一組數據中可能沒有中位數，但一定有平均數和眾數。（ ）
8、含有未知數的式子是方程。（ ）
9、一個數乘小數，積一定比這個數小。（ ）
10、把一個圓柱削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是圓柱體積的 。（ ）
三、選擇題
1、在長6cm,寬3cm的長方形內，剪一個最大的半圓，那么半圓的周長是（ ）cm。
A 9.42 B 12.42 C 15.42
2、有一堆水泥，運走 ，還剩 噸，這堆水泥共有（ ）噸。
A B 1 C 4
3、下面各組線段不能圍成三角形的是（ ）。
A 3cm 、 3 cm 和 3cm B 1cm 、2cm 和 3cm C 6cm 、8cm和 9cm
4、把4根木條釘成一個長方形，再拉成一個平行四邊形，它的（ ）不變。
A 周長 B 面積 C 周長和面積
5、把圓柱的側面展開，將得不到（ ）。
A 長方形 B 正方形 C梯形 D 平行四邊形
四、計算題
1、直接寫得數。（5分）
9.6÷0.6= 0.5÷0.02= + = 3.14×22= － =
4－4÷6= 3÷10％= 0.125×8= ÷ = 13.5÷9=
2、脫式計算。（共12分）
3.25÷2.5÷4 5 ×0.5÷5 ×0.5 (0.8+ )×12.5
86.27-(28.9+16.27) 2 - - 1.6×[1÷(2.1-2.09)]
五、解方程
4（2x-8)=24.4 x- x=1 :x= : 5x-4.5×2=
六、操作
1、經過點P分別畫OA的平行線和OB的垂線。
2、這是一個直徑4厘米的圓，請在圓內畫一個最大的正方形，并計算正方形的面積占圓的百分之幾？
七、解決問題
1、有一個綠化隊修理草坪，用去了900元錢，比原來節省了300元錢，求節省了百分之幾？
2、信譽超市運來480千克水果，其中蘋果占 ，3天賣出蘋果總數的 ，求平均每天賣出蘋果多少千克？
3、有一箱圓柱形的飲料，每排擺4個，共6排，這種圓柱形的飲料的底面直徑是6.5cm，高是12cm。這個紙箱的體積至少是多少立方分米？
4、在幅比例尺是1:20000000的地圖上，量得甲、乙兩地長5cm，如果把它畫在比例尺是1:25000000的地圖上，應畫多少厘米？
5、現在把堆小麥堆成圓錐形，已知它的底的周長是12.56m,高是1.2m。已知每立方米小麥重750千克，求這堆小麥共重多少千克？
參考答案
一、填空
1、 2:3 4:9
2、 6
3、 略 6
4、 90 180
5、 28
6、 4 圓心
7、 30 90
8、 30
9、 2.804 2.795
10、 6:5 5:6
11、 24 8
二、判斷
1、√
2、╳
3、√
4、√
5、√
6、╳
7、╳
8、╳
9、╳
10、╳
三、選擇
1、C
2、C
3、B
4、A
5、C
四、計算
1、 16 25 12.56 30 1 1.5
2、 0.325 0.25 41.1 160
3、 7.05 1.9
五、畫圖 略
六、解決問題
1、25%
2、 50
3、 12.168
4、 4
5、 3768
一、選擇題（30分）
1. 0是（ ）
A．正有理數 B．負有理數 C．整數 D．負整數
2. 中國的第一座跨海大橋——杭州灣跨海大橋全長36千米，其中36屬于（ ）
A．計數 B．測量 C．標號或排序 D．以上都不是
3. 下列說法不正確的是( )
A．0既不是正數，也不是負數 B．0的絕對值是0
C．一個有理數不是整數就是分數 D．1是絕對值最小的數
4. 在數－ , 0 , 4.5, |－9|, －6.79中,屬于正數的有( )個
A．2 B．3 C．4 D．5
5. 一個數的相反數是3，那么這個數是（ ）
A．3 B．－3 C． D．
6. 下列式子正確的是（ ）
A．2>0>-4>-1 B．-4>-1>2>0 C．-4<-1<0<2 D．0<2>-1<-4
一、選擇題
1.(2013年高考四川卷)設集合A={1,2,3},集合B={ -2,2},則A∩B等于( B )
(A) (B){2}
(C){-2,2} (D){-2,1,2,3}
解析:A∩B={2},故選B.
2.若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<2},則UP等于( A )
(A){2} (B){0,2}
(C){-1,2} (D){-1,0,2}
解析:依題意得集合P={-1,0,1},
故UP={2}.故選A.
3.已知集合A={x|x>1},則(RA)∩N的子集有( C )
(A)1個 (B)2個 (C)4個 (D)8個
解析:由題意可得RA={x|x≤1},
所以(RA)∩N={0,1},其子集有4個,故選C.
4.(2013年高考全國新課標卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
(A)A∩B= (B)A∪B=R
(C)BA (D)AB
解析:A={x|x>2或x<0},
∴A∪B=R,故選B.
5.已知集合M={x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},則M∩N等于( C )
(A) (B){x|x≥1}
(C){x|x>1} (D){x|x≥1或x<0}
解析:M={x|x≤0或x>1},N={y|y≥1}={x|x≥1}.
∴M∩N={x|x>1},故選C.
6.設集合A={x + =1},集合B={y - =1},則A∩B等于( C )
(A)[-2,- ] (B)[ ,2]
(C)[-2,- ]∪[ ,2] (D)[-2,2]
解析:集合A表示橢圓上的點的橫坐標的取值范圍
A=[-2,2],
集合B表示雙曲線上的點的縱坐標的取值范圍
B=(-∞,- ]∪[ ,+∞),
所以A∩B=[-2,- ]∪[ ,2].故選C.
二、填空題
7.(2012 年高考上海卷)若集合A={x|2x+1>0},
B={x||x-1|<2},則A∩B= .
解析:A={x x>- },B={x|-1
所以A∩B={x -
答案:{x -
8.已知集合A={ x<0},且2∈A,3A,則實數a的取值范圍是 .
解析:因為2∈A,所以<0,
即(2a-1)(a- 2)>0,
解得a>2或a< .①
若3∈A,則<0,
即( 3a-1)(a-3)>0,
解得a>3或a< ,
所以3A時, ≤a≤3,②
①②取交集得實數a的取值范圍是 ∪(2,3].
答案: ∪(2,3]
9.(2013濟南3月模擬)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若BA,則實數a的所有可能取值組成的集合為 .
解析:若a=0時,B= ,滿足BA,
若a≠0,B=(- ),
∵BA,
∴- =-1或- =1,
∴a=1或a=-1.
所以a=0或a=1或a=-1組成的集合為{-1,0,1}.
答案:{-1,0,1}
10.已知集合A={x|x2+ x+1=0},若A∩R= ,則實數m的取值范圍是 .
解析:∵A∩R= ,∴A= ,
∴Δ=( )2-4<0,∴0≤m<4.
答案:[0,4)
11.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x| 3
解析:A={x|x<-1或x>3},
∵A∪B=R,A∩B={x|3
∴B={x|-1≤x≤4},
即方程x2+ax+b=0的兩根為x1=-1,x2=4.
∴a=-3,b=-4,
∴a+b=-7.
答案:-7
三、解答題
12.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分別求適合下列條件的a的值.
(1)9∈(A∩B);
(2){9}=A∩B.
解:(1) ∵9∈(A∩B),
∴2a-1= 9或a2=9,
∴a=5或a=3或a=-3.
當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9};
當a=3時,a-5=1-a=-2,不滿足集合元素的互異性;
當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},
所以a=5或a=-3.
(2)由(1)可知,當a=5時,A∩B={-4,9},不合題意,
當a=-3時,A∩B={9}.
所以a=- 3.
13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0};B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求實數m的值;
(2)若ARB,求實數m的取值范圍.
解:由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],
∴
∴m=2.
(2)RB={x|xm+2},
∵ARB,
∴m-2>3或m+2<-1,
即m>5或m<-3.
14.設U=R,集合A={x |x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若
(UA)∩B= ,求m的值.
解:A={x|x=-1或x=-2},
UA={x|x≠-1且x≠-2}.
方程x2+(m+1)x+m=0的根是x1=-1,x2=-m,
當-m=-1,即m=1時,B={-1},
此時(UA)∩B= .
當-m≠-1,即m≠1時,B={-1,-m},
∵(UA)∩B= ,
∴-m=-2,即m=2.
所以m=1或m=2.
一、選擇題(每小題6分，共42分)
1.等差數列{an}前四項和為40，末四項和為72，所有項和為140，則該數列共有( )
A.9項 B.12項 C.10項 D.13項
【答案】C
【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,
an+an-1+an-2+an-3=72.
∴a1+an= =28.
又 =140,
故n=10.
2.給出下列等式：(ⅰ)an+1-an=p(p為常數);(ⅱ)2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b為常數)則無窮數列{an}為等差數列的充要條件是( )
A.(ⅰ) B.(ⅰ)(ⅲ)
C.(ⅰ)(ⅱ) D.(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)
【答案】D
【解析】易知三個都是，另外還有一個常見的是{an}的前n項和Sn=an2+bn，(a,b為常數).
3.等差數列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，則前9項的和S9等于( )
A.66 B.99 C.144 D.297
【答案】B
【解析】a1+a4+a7=39 a4=13,a3+a6+a9=27 a6=9，
S9= =99.
4.等差數列{an}的公差為d,前n項的和為Sn,當首項a1和d變化時,a2+a8+a11是一個定值,則下列各數中也為定值的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
【答案】C
【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7為定值.
又S13= =13a7,
∴選C.
5.已知數列{an}中,a3=2,a7=1,又數列{ }是等差數列,則a11等于( )
A.0 B. C. D.-1
【答案】B
【解析】∵ +(7-3)d,
∴d= .
∴ +(11-3)d= ,
a11= .
6.已知數列{an}的通項為an=26-2n,若要使此數列的前n項之和Sn最大,則n的值是( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14
【答案】C
【解析】由 得12≤n≤13,
故n=12或13.
7.在等差數列{an}中, <-1,若它的前n項和Sn有最大值,則下列各數中是Sn的最小正數值的是( )
A.S1 B.S38 C.S39 D.S40
【答案】C
【解析】因Sn有最大值,故d<0,又 <0.
因a210,a20+a21<0.
∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)<0.
S39=39a20>0,S39-S38=a39<0.
又S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)<0,
故選C.
二、填空題(每小題5分，共15分)
8.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下圖的規律拼成若干個圖案:
則第n個圖案中有白色地面磚_____________塊.
【答案】4n+2
【解析】每增加一塊黑磚,則增加4塊白磚,故白磚數構成首項為6,公差為4的等差數列,故an=6+4(n-1)=4n+2.
9.設f(x)= ,利用課本中推導等差數列前n項和方法,求f( )+f( )+…+f( )的值為_________________.
【答案】5
【解析】當x1+x2=1時,f(x1)+f(x2)
= =1.
設S=f( )+f( )+…+f( ),倒序相加有
2S=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+…+[f( )+f( )]=10.
即S=5.
10.數列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一個通項公式an=__________________.
【答案】
【解析】前n項一共有1+2+3+…+n= 個自然數,設Sn=1+2+3+…+n= ,則
an= .
三、解答題(11—13題每小題10分，14題13分，共43分)
11.{an}是等差數列，公差d>0，Sn是{an}的前n項和，已知a2a3=40,S4=26.
(1)求數列{an}的通項公式an;
(2)令bn= ，求數列{bn}的所有項之和T.
【解析】(1)S4= (a1+a4)=2(a2+a3)=26.
又∵a2a3=40,d>0，
∴a2=5,a3=8,d=3.
∴an=a2+(n-2)d=3n-1.
(2)bn= =
Tn= .
12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,
(1)設f(x)的圖象的頂點的縱坐標構成數列{an}，求證：{an}為等差數列;
(2)設f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構成{bn},求{bn}的前n項和.
(1)證明：f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8,
∴an=3n-8.∵an-1-an=3,
∴{an}為等差數列.
(2)【解析】bn=|3n-8|,
當1≤n≤2時，bn=8-3n,b1=5.
Sn= ;
當n≥3時，bn=3n-8.
Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)
13.假設你在某公司打工，根據表現，老板給你兩個加薪的方案：
(Ⅰ)每年年末加1 000元;
(Ⅱ)每半年結束時加300元.請你選擇.
(1)如果在該公司干10年，問兩種方案各加薪多少元?
(2)對于你而言，你會選擇其中的哪一種?
【解析】設方案一第n年年末加薪an,因為每年末加薪1 000元，則an=1 000n;設方案二第n個半年加薪bn，因為每半年加薪300元，則bn=300n.
(1)在該公司干10年(20個半年)，方案(Ⅰ)共加薪S10=a1+a2+…+a10=55 000(元).
方案(Ⅱ)共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+ ×300=63 000元.
(2)設在該公司干n年，兩種方案共加薪分別為：
Sn=a1+a2+…+an=1 000×n+ ×1 000=500n2+500n,
T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+ ×300=600n2+300n;
令T2n≥Sn即600n2+300n>500n2+500n,解得，n≥2,當n=2時等號成立.
∴如果干3年以上(包括3年)應選擇第二方案;如果只干2年，隨便選;如果只干1年，當然選擇第一方案.
14.設{an}是正數組成的數列,其前n項和為Sn,且對于所有的正整數n,有an=2 -2.
(1)寫出數列{an}的三項;
(2)求數列{an}的通項公式,并寫出推證過程;
(3)令bn= ,求數列{bn}的前n項和Tn.
【解析】(1)由題意，當n=1時，有a1=2 -2,S1=a1，
∴a1=2 -2,解得a1=2.
當n=2時，有a2=2 -2,S2=a1+a2,
將a1=2代入，整理得(a2-2)2=16,
由a2>0，解得a2=6.
當n=3時，有a3=2 -2,S3=a1+a2+a3,
將a1=2,a2=6代入，整理得(a3-2)2=64,
由a3>0，解得a3=10.
所以該數列的前三項分別為2，6，10.
(2)由an=2 -2(n∈N*),整理得Sn= (an+2)2,
則Sn+1= (an+1+2)2,
∴an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2)2-(an+2)2].
整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0,
由題意知an+1+an≠0,∴an+1-an=4.
∴即數列{an}為等差數列，其中首項a1=2，公差d=4,
∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).
即通項公式為an=4n-2(n∈N*).
(3)bn= ,
Tn=b1+b2+…+bn
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1．(文)(2011甘肅天水一中期末)已知a、b為非零實數，且a<b，則下列不等式成立的是( )
A．a21b
C.1ab2<1a2b b="">1a
[答案] C
[解析] ∵a，b為非零實數，且a<b，∴當a＝－5，b＝1時，A、B不成立，當a＝1，b＝2時，D不成立，故選C.
[點評] C可證明如下：∵a，b為非零實數，∴a2b2>0，∵a<b，∴aa2b2<ba2b2，∴1ab2<1a2b.
(理)(2011東北育才期末、遼寧大連市聯考)若a>0，b>0且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是( )
A.1ab>12 B.1a＋1b≤1
C.ab≥2 D.1a2＋b2≤18
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴ab≤a＋b2＝2，∴ab≤4，∴1ab≥14，
∴1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故A、B、C均錯，選D.
[點評] 對于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴1a2＋b2≤18.
2．(2011遼寧鐵嶺六校聯考)設a>0，點集S的點(x，y)滿足下列所有條件：①a2≤x≤2a；②a2≤y≤2a；③x＋y≥a；④x＋a≥y；⑤y＋a≥x.則S的邊界是一個有幾條邊的多邊形( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] C
[解析] 作出不等式組表示的平面區域如圖可知，它是一個六邊形．
3．(2011山東濰坊一中期末)設a，b是兩個實數，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③ab＋ba>2.上述三個式子恒成立的有( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
[答案] B
[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；ab＋ba>2或ab＋ba<－2，故選B.
4．(2011巢湖質檢)二元一次不等式組x＋y≤2x≥0y≥0所表示的平面區域與圓面x2＋(y－2)2≤2相交的公共區域的面積為( )
A.π8 B.π4
C.π2 D．π
[答案] B
[解析] 畫出可行域如圖△OAB，它與圓面相交的公共區域為扇形BEF，∵∠OBA＝π4，圓半徑為2，
∴扇形面積為S＝12×π4×(2)2＝π4.
5．(2011遼寧沈陽二中檢測)已知x－y≤0x＋y≥0y≤a，若Z＝x＋2y的最大值是3，則a的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
[答案] A
[解析] 畫出可行域如圖，∵z＝x＋2y的最大值為3，∴y＝－x2＋z2經過可行域內的點A(a，a)時，z取到最大值3，∴a＋2a＝3，∴a＝1.
6．(2011福州市期末)已知實數x，y滿足x≥1y≤2x－y≤0，則x＋y的最小值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] A
[解析] 畫出可行域如圖，令u＝x＋y，則當直線y＝－x＋u經過點A(1,1)時，u取最小值2，故選A.
7．(2011蚌埠二中質檢)已知M是△ABC內的一點，且AB→AC→＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為12，x，y，則1x＋4y的最小值是( )
A．20 B．18
C．16 D．9
[答案] B
[解析] 由條件知，AB→AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC＝32|AB→||AC→|＝23，∴|AB→||AC→|＝4，
∴S△ABC＝12|AB→||AC→|sin30°＝1，∴x＋y＋12＝1，
∴x＋y＝12(x>0，y>0)，
∴1x＋4y＝21x＋4y(x＋y)＝25＋yx＋4xy≥18，等號在yx＝4xy，即y＝2x時成立，∴x＋y＝12，∴x＝16，y＝13時，1x＋4y取最小值18.
8．(2011陜西寶雞質檢)“x≥3”是“(x－2)x2－2x－3≥0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分與不必要條件
[答案] A
[解析] 由(x－2)x2－2x－3≥0(※)得，x≤－1或x≥3，∴x≥3時，※式成立，但(※)式成立時，不一定有x≥3，故選A.
9．(2011遼寧鐵嶺六校聯考)已知A、B是△ABC的兩個內角，若psinA<sin(A＋B)，q：A∈0，π2，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] A
[解析] sinA<sin(A＋B)，即sinA<sinC，∴a<c，∴A<C，∴A∈0，π2，但當A∈0，π2時，未必有sinA<sinC，如A＝π3，B＝5π12，C＝π4時不滿足sinA<sin(A＋B)．
10．(2011巢湖市質檢)定義在R上的函數f(x)對x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，若函數f(x＋1)為奇函數，則不等式f(1－x)<0的解集為( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
[答案] C
[解析] 由條件知f(x)在R上單調遞減，∵f(x＋1)為奇函數，∴f(1)＝0，∴不等式f(1－x)<0化為f(1－x)1，∴x<0.
[點評] 如果F(x)定義域為R，F(x)為奇函數，則必有F(0)＝0，∵F(x)＝f(x＋1)為奇函數，∴有F(0)＝f(1)＝0.
11．(2011北京朝陽區期末、山東日照調研)若A為不等式組x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面區域，則a從－2連續變化到1時，動直線x＋y＝a掃過A中的那部分區域的面積為( )
A．913 B．313
C.72 D.74
[答案] D
[解析] 作出平面區域A如圖，當a從－2到1連續變化時，動直線y＝－x＋a從l1變化到l2，掃過A中的那部分平面區域為四邊形EOFG，其面積S＝S△OBE－S△FGB＝12×2×2－12×1×12＝74.
12．(2011寧夏銀川一中檢測)設f(x)＝x3＋x，x∈R，當0≤θ≤π2時，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，則實數m的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(－∞，0)
C．(－∞，12) D．(－∞，1)
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝x3＋x為奇函數且在R上為增函數，∴不等式f(msinθ)＋f(1－m)>0，即f(msinθ)>f(m－1)，即msinθ>m－1在0，π2上恒成立．當m>0時，即sinθ>m－1m恒成立，只要0>m－1m即可，解得0<m<1；當m＝0時，不等式恒成立；當m<0時，只要sinθ<m－1m恒成立，只要1－1，這個不等式恒成立，此時m<0.綜上可知：m<1.
[點評] 這里函數性質是隱含在函數解析式中的，其目的是考查考生是否有靈活使用函數性質簡捷地解決問題的思想意識．在不等式的恒成立問題中要善于使用參數分類的方法解決問題，本題的解析是對參數取值進行分類，也可以直接使用分離參數的方法求解，即msinθ>m－1可以化為(1－sinθ)m<1，當θ＝π2時，m∈R；當θ≠π2時，m<11－sinθ＝f(θ)，只要m<f(θ)min即可，即只要m<1即可．綜合兩種情況得到m<1.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(文)(2011重慶南開中學模擬)不等式2x2－x<4的解集是________．
[答案] (－1,2)
[解析] 不等式化為2x2－x<22，
∴x2－x<2，∴－1<x<2.
(理)(2011甘肅天水一中期末)不等式x－2x2－4x＋3<0的解集為________．
[答案] (－∞，1)∪(2,3)
[解析] 不等式化為(x－2)(x－1)(x－3)<0，由數軸穿根法易得x<1或2<x<3.
14．(文)(2011江西南昌調研)函數f(x)＝x2－9log2x－1的定義域為________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] 由x2－9≥0x－1>0x－1≠1得x≥3或x≤－3x>1x≠2，∴x≥3.
(理)(2011咸陽市模擬)已知函數f(x)＝1 x≥0－1 x<0，則不等式(x＋1)f(x)<x的解集是________．
[答案] －12，0
[解析] 不等式(x＋1)f(x)<x化為x≥0x＋1<x
或x<0－x＋1<x，∴－12<x<0.
15．(文)(2011廈門期末)不等式組x－2y－2≤02x＋y＋1≥0所確定的平面區域為D，則該平面區域D在圓x2＋(y＋1)2＝4內的面積是________．
[答案] π
[解析] 如圖，直線x－2y－2＝0和直線2x＋y＋1＝0的斜率依次為k1＝12，k2＝－2，∵k1k2＝－1，∴兩直線互相垂直，故所求面積為S＝14×π×22＝π.
[點評] 若兩直線不垂直，可先寫出兩直線的方向向量，利用向量求得兩直線夾角，再求面積．
(理)(2011浙江寧波八校聯考)已知x，y滿足x≥1x＋y≤4ax＋by＋c≤0且目標函數z＝2x＋y的最大值為7，最小值為1，則a＋b＋ca＝________.
[答案] －2
[分析] 作出直線x＝1和x＋y＝4，畫出不等式組x≥1x＋y≤4表示的平面區域為圖中陰影部分，由于目標函數z＝2x＋y最大值為7，最小值為1，∴y＝－2x＋1及y＝－2x＋7分別與直線x＝1及x＋y＝4的交點為最優解，故此二點必在直線ax＋by＋c＝0上．
[解析] 由x＝1y＝－2x＋1得A(1，－1)，
由x＋y＝4y＝－2x＋7得B(3,1)，直線AB：y＋11＋1＝x－13－1，
即x－y－2＝0，此直線即ax＋by＋c＝0，
比較系數得a1＝b－1＝c－2＝a＋b＋c－2，
∴a＋b＋ca＝－2.
16．(2011豫南九校聯考)若a，b是正常數，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，當且僅當ax＝by時上式取等號．利用以上結論，可以得到函數f(x)＝2x＋91－2x(x∈(0，12))的最小值為________．
[答案] 25
[解析] 依據給出的結論可知f(x)＝42x＋91－2x≥2＋322x＋1－2x＝25等號在22x＝31－2x，即x＝15時成立．
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)(2011四川廣元診斷)已知x∈[0,1]時，不等式x2cosθ－x(1－x)＋(1－x)2sinθ>0恒成立，試求θ的取值范圍．
[解析] 由題意知：x＝0或x＝1時，原不等式成立
即sinθ>0，cosθ>0，∴θ在第一象限，
∵x∈(0,1)時，x2cosθ＋(1－x)2sinθ≥2x(1－x)sinθcosθ，
∴原不等式成立，只須
2x(1－x)sinθcosθ－x(1－x)>0
注意到x(1－x)>0，∴2sinθcosθ>1
∴sin2θ>12
∴kπ＋π12<θ<kπ＋5π12，
∴θ的取值范圍應是kπ＋π12，kπ＋5π12，k∈Z.
18．(本小題滿分12分)(文)(2011廈門期末質檢)某人要建造一間地面面積為24m2、墻高為3m，一面靠舊墻的矩形房屋．利用舊墻需維修，其它三面墻要新建，由于地理位置的限制，房子正面的長度x(單位：m)不得超過a(單位：m)(其平面示意圖如下)．已知舊墻的維修費用為150元/m2，新墻的造價為450元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5400元(不計門、窗的造價)．
(1)把房屋總造價y(單位：元)表示成x(單位：m)的函數，并寫出該函數的定義域；
(2)當x為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？
[解析] (1)依題意得：y＝3x(150＋450)＋24x×2×3×450＋5400
�。�1800x＋36x＋5400(0<x≤a)
(2)y＝1800x＋36x＋5400≥1800×2x36x＋5400＝21600＋5400＝27000
當且僅當x＝36x，即x＝6時取等號
若a>6時，則x＝6總進價最低，最低總造價是27000元．
當a≤6時，則y′＝18001－36x2
∴當0<x<6時，y′<0，故函數y＝1800x＋36x＋5400在(0，a]上是減函數，
∴當x＝a時，y有最小值，即最低總造價為1800a＋36a＋5400元
答：當a>6時，x＝6總造價最低，最低總造價是27000元；
當a≤6時，x＝a總造價最低，最低總造價為1800a＋36a＋5400元．
(理)(2011寧夏銀川一中模擬)在交通擁擠地段，為了確保交通安全，規定機動車相互之間的距離d(米)與車速v(千米/小時)需遵循的關系是d≥12500av2(其中a(米)是車身長，a為常量)，同時規定d≥a2.
(1)當d＝a2時，求機動車車速的變化范圍；
(2)設機動車每小時流量Q＝1000va＋d，應規定怎樣的車速，使機動車每小時流量Q最大．
[分析] (1)把d＝a2代入d≥12500av2，解這個關于v的不等式即可；(2)根據d滿足的不等式，以最小車距代替d，求此時Q的最值即可．
[解析] (1)由a2＝12500av2得，v＝252，
∴0<v≤252.
(2)由v≤252時，Q＝1000v32a，
Q是v的一次函數，v＝252時，Q最大為5000023a，
當v>252時，Q＝1000a1v＋v2500≤25000a，
∴當v＝50時Q最大為25000a.
[點評] 本題中對車距d有兩個限制條件，這兩個條件是在不同的車速的情況下的限制條件，解題中容易出現的錯誤是不能正確的使用這兩個限制條件對函數的定義域進行分類，即在車速小于或等于252時，兩車之間的最小車距是a2，當車速大于252時，兩車之間的最小車距是12500av2.
19．(本小題滿分12分)(文)設函數f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝12，求f(x)的單調區間；
(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍．
[解析] (1)a＝12時，f(x)＝x(ex－1)－12x2，
f ′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
當x∈(－∞，－1)時，f ′(x)>0；當x∈(－1,0)時，f ′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f>0.
故f(x)在(－∞，1]，[0，＋∞)上單調遞增，在[－1,0]上單調遞減．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a.
若a≤1，則當x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數，而g(0)＝0，從而當x≥0時g(x)≥0，即f(x)≥0.
當a>1，則當x∈(0，lna)時，g′(x)<0，g(x)為減函數，而g(0)＝0，從而當x∈(0，lna)時g(x)<0，即f(x)<0.
綜合得a的取值范圍為(－∞，1]．
(理)設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調區間及極值；
(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.
[解析] (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f ′(x)＝ex－2，x∈R.
令f ′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f(x) 單調遞減 2(1－ln2＋a) 單調遞增
故f(x)的單調遞減區間是(－∞，ln2)，單調遞增區間是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)證明：設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知當a>ln2－1時，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是對任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R內單調遞增．
于是當a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
20．(本小題滿分12分)(2011黃岡市期末)已知函數f(x)＝2－xx＋1.
(1)證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為減函數；
(2)是否存在負數x0，使得f(x0)＝3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，
∵f(x1)－f(x2)＝2－x1x1＋1－2－x2x2＋1＝3x2－3x1x1＋1x2＋1>0，
∴函數f(x)在(－1，＋∞)上為減函數．
(2)不存在
假設存在負數x0，使得f(x0)＝3x0成立，則∵x0<0，
∴0<3x0<1，即0<f(x0)<1，∴0<2－x0x0＋1<1，
∴－1<x0<2－2x0＋1x0＋1<0－1<x0<2x0<－1或x0>12
12<x0<2與x0<0矛盾，
所以不存在負數x0，使得f(x0)＝3x0成立．
[點評] (2)可另解如下：
f(x)＝－1＋3x＋1，由x0<0得：f(x0)<－1或f(x0)>2但0<3x0<1，所以不存在．
21．(本小題滿分12分)(2011北京市朝陽區期末)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數，a≠0，x∈R)．
(1)若函數f(x)的圖像過點(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一個實數根，求f(x)的表達式；
(2)在(1)的條件下，當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
(3)若F(x)＝fx x>0，－fx x<0，當mn<0，m＋n>0，a>0，且函數f(x)為偶函數時，試判斷F(m)＋F(n)能否大于0?
[解析] (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0.
∵方程f(x)＝0有且只有一個實數根，∴Δ＝b2－4a＝0.
∴b2－4(b－1)＝0.∴b＝2，a＝1.
∴f(x)＝(x＋1)2.
(2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1
＝x－k－222＋1－k－224.
所以當k－22≥2或k－22≤－2時，
即k≥6或k≤－2時，g(x)是單調函數．
(3)f(x)為偶函數，所以b＝0.所以f(x)＝ax2＋1.
所以F(x)＝ax2＋1 x>0，－ax2－1 x<0.
因為mn<0，不妨設m>0，則n<0.
又因為m＋n>0，所以m>－n>0.
所以|m|>|－n|.
此時F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋1－an2－1＝a(m2－n2)>0.
所以F(m)＋F(n)>0.
22．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象過點P(0,2)，且在點M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0.
(1)求函數y＝f(x)的解析式；
(2)求函數y＝f(x)的單調區間．
[解析] (1)由f(x)的圖象經過P(0,2)，知d＝2，
所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0，
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