小學奧數知識要點梳理

　　一、 計算

　　1． 四則混合運算繁分數

　　⑴ 運算順序

　　⑵ 分數、小數混合運算技巧

　　一般而言：

　　① 加減運算中，能化成有限小數的統一以小數形式；

　　② 乘除運算中，統一以分數形式。

　　⑶帶分數與假分數的互化

　　⑷繁分數的化簡

　　2． 簡便計算

　　⑴湊整思想

　　⑵基準數思想

　　⑶裂項與拆分

　　⑷提取公因數

　　⑸商不變性質

　　⑹改變運算順序

　　① 運算定律的綜合運用

　　② 連減的性質

　　③ 連除的性質

　　④ 同級運算移項的性質

　　⑤ 增減括號的性質

　　⑥ 變式提取公因數

　　形如：a1 b a2 b ...... an b (a1 a2 ...... an) b

　　3． 估算

　　求某式的整數部分：擴縮法

　　4． 比較大小

　　① 通分

　　a. 通分母

　　b. 通分子

　　② 跟“中介”比

　　③ 利用倒數性質 若111mnmmnn ，則c>b>a.。形如：1 2 3，則1 2 3。 abcn1n2n3m1m2m3

　　5． 定義新運算

　　6． 特殊數列求和

　　運用相關公式：

　　n n 1 2

　　n n 1 2n 1 222②1 2 n 6①1 2 3 n

　　③an n n 1 n2 n

　　④1 2 n 1 2 n 3332n2 n 1 42

　　⑤abcabc abc 1001 abc 7 11 13

　　⑥a2 b2 a b a b

　　⑦1+2+3+4 （n-1）+n+（n-1）+ 4+3+2+1=n

　　2

　　二、 數論

　　1． 奇偶性問題

　　奇 奇=偶 奇×奇=奇

　　奇 偶=奇 奇×偶=偶

　　偶 偶=偶 偶×偶=偶

　　2． 位值原則 形如：abc=100a+10b+c

　　① 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。

　　② 如果bc|a，那么b|a，c|a。

　　③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

　　④ 如果c|b,b|a,那么c|a.

　　⑤ a個連續自然數中必恰有一個數能被a整除。

　　5． 帶余除法

　　一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,那么一定有另外兩個整數q和r，0 r＜b,使得a=b×q+r

　　當r=0時，我們稱a能被b整除。

　　當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的`余數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數除式又可以表示為a÷b=q r, 0 r＜b a=b×q+r

　　6. 唯一分解定理

　　任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

　　n= p1a1× p2a2×...×pkak

　　7. 約數個數與約數和定理

　　設自然數n的質因子分解式如n= p1a1× p2a2×...×pkak那么：

　　n的約數個數：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

　　n的所有約數和：（1+P1+P1+ p12a1）（1+P2+P2+ p22a2） （1+Pk+Pk+ pk2ak）

　　8. 同余定理

　　① 同余定義：若兩個整數a，b被自然數m除有相同的余數，那么稱a，b對于模

　　m同余，用式子表示為a≡b(mod m)

　　②若兩個數a，b除以同一個數c得到的余數相同，則a，b的差一定能被c整除。 ③兩數的和除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數和。

　　④兩數的差除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數差。

　　⑤兩數的積除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數積。

　　9．完全平方數性質

　　①平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②約數：約數個數為奇數個的是完全平方數。

　　約數個數為3的是質數的平方。

　　③質因數分解：把數字分解，使他滿足積是平方數。

　　④平方和。

　　10．孫子定理（中國剩余定理）

　　11．輾轉相除法

　　12．數論解題的常用方法：

　　枚舉、歸納、反證、構造、配對、估計

　　22

　　三、 幾何圖形

　　1． 平面圖形

　　⑴多邊形的內角和

　　N邊形的內角和=(N-2)×180°

　　⑵等積變形（位移、割補）

　　① 三角形內等底等高的三角形

　　② 平行線內等底等高的三角形

　　③ 公共部分的傳遞性

　　④ 極值原理（變與不變）

　　⑶三角形面積與底的正比關系

　　S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ⑷相似三角形性質（份數、比例）

　　①abch ; S1︰S2=a2︰A2

　　ABCH

　　2②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2

　　⑸燕尾定理

　　例如弦圖中長短邊長的關系。

　　⑻組合圖形的思考方法

　　① 化整為零

　　② 先補后去

　　③ 正反結合

　　2． 立體圖形

　　⑴規則立體圖形的表面積和體積公式

　　⑵不規則立體圖形的表面積

　　整體觀照法

　　⑶體積的等積變形

　　①水中浸放物體：V升水=V物

　　②測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水

　　⑷三視圖與展開圖

　　最短線路與展開圖形狀問題

　　⑸染色問題

　　幾面染色的塊數與“芯”、棱長、頂點、面數的關系。

　　四、 典型應用題

　　1． 植樹問題

　　①開放型與封閉型

　　②間隔與株數的關系

　　2． 方陣問題

　　外層邊長數-2=內層邊長數

　　（外層邊長數-1）×4=外周長數

　　外層邊長數2-中空邊長數2=實面積數

　　3． 列車過橋問題

　　①車長+橋長=速度×時間

　　②車長甲+車長乙=速度和×相遇時間

　　③車長甲+車長乙=速度差×追及時間

　　列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題 車長=速度和×相遇時間

　　車長=速度差×追及時間

　　4． 年齡問題

　　差不變原理

　　5． 雞兔同籠

　　假設法的解題思想

　　6． 牛吃草問題

　　原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時間

　　7． 平均數問題

　　8． 盈虧問題

　　分析差量關系

　　9． 和差問題

　　10． 和倍問題

　　11． 差倍問題

　　12． 逆推問題

　　還原法，從結果入手

　　13． 代換問題

　　列表消元法

　　等價條件代換

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