初中奧數恒等變形知識點匯總整理

　　恒等概念是對兩個代數式而言，如果兩個代數式里的字母換成任意的數值，這兩個代數式的值都相等，就說這兩個代數式恒等.

　　表示兩個代數式恒等的等式叫做恒等式.

　　如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前學過的運算律都是恒等式.

　　將一個代數式換成另一個和它恒等的代數式，叫做恒等變形(或恒等變換).

　　以恒等變形的意義來看，它不過是將一個代數式，從一種形式變為另一種形式，但有一個條件，要求變形前和變形后的兩個代數式是恒等的'，就是“形”變“值”不變.

　　如何判斷一個等式是否是恒等式，通常有以下兩種判斷多項式恒等的方法.

　　1.如果兩個多項式的同次項的系數都相等，那么這兩個多項式是恒等的.

　　如2x2+3x-4和3x-4+2x2當然恒等，因為這兩個多項式就是同一個.

　　反之，如果兩個多項式恒等，那么它們的同次項的系數也都相等(兩個多項的常數項也看作是同次項).

　　2.通過一系列的恒等變形，證明兩個多項式是恒等的.

　　如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r

　　例：求b、c的值，使下面的恒等成立.

　　x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①

　　解一：∵①是恒等式，對x的任意數值，等式都成立

　　設x=1，代入①，得

　　12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c

　　c=6

　　再設x=2，代入①，由于已得c=6，故有

　　22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6

　　b=5

　　∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

　　解二：將右邊展開

　　x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c

　　=x2-2x+1+bx-b+c

　　=x2+(b-2)x+(1-b+c)

　　比較兩邊同次項的系數，得

　　由②得b=5

　　將b=5代入③得

　　1-5+c=2

　　c=6

　　∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

　　這個問題為依照x-1的冪展開多項式x2+3x+2，這個解題方法叫做待定系數法，它是先假定一個恒等式，其中含有待定的系數，如上例的b、c，然后根據恒等的意義或性質，列出b、c應適合的條件，然后求出待定系數值.

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