關于質因數的奧數問題
關于質因數的奧數問題1
五年級奧數題及答案：分解質因數
個自然數，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數，且三數的乘積是42560.求這三個自然數。
分析：先大概估計一下，30×30×30=27000，遠小于42560.40×40×40=64000，遠大于42560.因此，要求的三個自然數在30～40之間。
解：42560=26×5×7×19
=25×(5×7)×(19×2)
=32×35×38(合題意)
要求的三個自然數分別是32、35和38。
關于質因數的奧數問題2
例8 一個整數a與1080的乘積是一個完全平方數.求a的最小值與這個平方數。
分析 ∵a與1080的乘積是一個完全平方數，
∴乘積分解質因數后，各質因數的指數一定全是偶數。
解：∵1080×a=23×33×5×a，
又∵1080=23×33×5的質因數分解中各質因數的指數都是奇數，
∴a必含質因數2、3、5，因此a最小為2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值為30，這個完全平方數是32400。
例9 問360共有多少個約數？
分析 360=23×32×5。
為了求360有多少個約數，我們先來看32×5有多少個約數，然后再把所有這些約數分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有約數.為了求32×5有多少個約數，可以先求出5有多少個約數，然后再把這些約數分別乘以1、3、32，即得到32×5的所有約數。
解：記5的約數個數為Y1，
32×5的約數個數為Y2，
360（=23×32×5）的約數個數為Y3.由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，
顯然Y1=2（5只有1和5兩個約數）。
因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24個約數。
說明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數，也就是其中2的最大指數加1，也就是360＝23×32×5中質因數2的個數加1；Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數，也就是23×32×5中質因數3的個數加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數，即23×32×5中質因數5的`個數加1.因此
Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
對于任何一個合數，用類似于對23×32×5（=360）的約數個數的討論方式，我們可以得到一個關于求一個合數的約數個數的重要結論：
一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加1的連乘的積。
例10 求240的約數的個數。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的約數的個數是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20個約數。
請你列舉一下240的所有約數，再數一數，看一看是否是20個？
例1 三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.
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