關于初中奧數題

　　地上有四堆石子，石子數分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各

　　取出1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經過若干次操作，使得這四堆石子的個數都相同?

　　不能

　　1、9、15、31的平均數是14

　　因為每操作一次改變一次奇偶性

　　即:第奇次操作后每堆數量是偶數

　　第偶次操作后每堆數量是奇數

　　所以,需要奇數次操作

　　又因為,它們除以3的余數分別是1,0,0,1,結果都是2

　　而每一次操作后有奇數堆(3堆)改變余數結果

　　所以,要有偶數堆改變余數結果需要偶數次操作

　　在本題中,4堆都要改變,所以需偶數次操作

　　矛盾,所以結果是不可能的

　　下面是幾何

　　Ⅰ四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E、F分別是AB、CD的中點，連結EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求證：OM=ON

　　Ⅱ四邊形ABCD中，E、F、P、Q分別是AD、BC、BD、AC的'中點，M、N分別是PB、QC的中點，求證EF平分MN。

　　Ⅲ四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是AD、BC的中點，BA延長線交FE延長線于點G，CD延長線交FE延長線于點H。求證：,∠BGF=∠CHF。

　　Ⅳ在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，延長BC到M，N是BM的中點，H是EN的中點，連結DH交BM于F。求證：CF=FM

　　Ⅴ△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中點，求證：AB=2DE

　　Ⅵ梯形ABCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分別是AB、DC的中點，求證：EF=1/2(DC-AB)

　　Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分線，在AB、AC上分別截取BD=CE，M是DE的中點，N是BC的中點，求證：MN平行AH

　　Ⅸ已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延長線于M，MF⊥AB于F。求證：BE=EF

　　以下主要用到平行四邊形的基本性質和角平分線定理(若AD平分角BAC，交BC于D，則AB/AC=BD/BC。證明也是用中位線的。)

　　I 過D作AC的平行線，過C作AD的平行線，二者相交于G，延長EF交DG于H。則ACGD是平行四邊形，從而對角線AG與CD互相平分，于是A、F、G三點共線且EF是三角形ABG的中位線。這樣，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因為DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH與角OMN是對頂角，從而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。

　　II 由中位線性質可知，EPFQ是平行四邊形，從而EF平分PQ。設EF交PQ于O，則ON是三角形QPC的中位線，于是ON平行于CP且 ON=1/2(CP)。另外，FM是三角形BPC的中位線，于是FM平行于CP且FM=1/2(CP)。這樣，FMON是平行四邊形，對角線互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。

　　III 將三角形DEH旋轉180度，使得D與A重合。設C、H、F分別變成I，J，K。則角IKE=角CFE，從而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF與IK平行且相等，即：BFKI是平行四邊形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此時由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。

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