數學中如何解雞鼠同籠問題
一、雞兔同籠問題
例1 籠中有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞兔各有多少只？
解法1 假設法
假設一個未知數是已知的，比如假定50個頭全是兔，則共有腳（4×50=）200（只），這與題中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是雞當兔后每只雞多算了2只腳，所以雞的只數是（60÷2=）30（只），則兔的只數為（50-30＝）20（只）。
這種解法，思路清晰，但較復雜，不便操作。能不能形象地畫個圖呢？讓我們試試。
解法2 圖形法
從圖中看ACDF的面積＝4×50＝200（只腳），比實際多出GHEF的面積＝200-140＝60（只腳），AB=GH=60÷2=30（只雞），BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）
解法2比解法1高級，算理是一樣的。這里答案是圖上算出的，顯然這兩種解法都要用紙和筆。不用紙和筆肯定是用口訣或易記的公式，這是老公公的傳家寶。
解法3 公式法
老公公講：只要用哨子一吹，并喊一聲口令：“全體肅立”。這時每只雞呈金雞獨立之狀，每只兔呈玉兔拜月狀，著地的`腳數之和有（140÷2＝）70（只），其中雞的頭數與腳數相等，由于每只兔的腳比頭數多1，因此兔的頭數為（70－50＝）20（個），即兔有20只，則雞有（50－20＝）30（只）。這個故事實際上老公公用了如下的公式。
腳數和÷2-頭數和=兔子數。
小孫子們聽了興趣為之大增，紛紛叫老公公再出幾道題。老公公又出了
（1）30個頭，80只腳……。（兔10，雞20）。
（2）100只腳，40個頭……。（兔10，雞30）。
（3）80個頭，200只腳……。（兔20，雞60）
小孫子們個個都愉快地答出來了。
這個公式簡潔好用，它是祖代傳下來的還是老公公想出來的呢？我們中華文化博大精深，這兩種可能性都是有的。這個公式是碰巧做對還是符合算理的 呢？這是十分重要的。數學家高斯說過：“數學中許多方法與定理是靠歸納發現的，證明只是補行的手續而已。”現在我們就來補行這個手續。
2雞頭=雞腳。
4兔頭=兔腳。
得：兔腳+雞腳=2雞頭+4兔頭
=2（雞頭+2兔頭）。
這就證明了老公公歸納的公式。
說到雞兔同籠問題，常常大家精神就緊張起來，以為是難題來了。現在掌握了規律其實不難，所以凡事都應去摸索規律，照規律辦事。
雞兔同籠問題在民間是當故事講的，有沒有實際價值呢？我們再來看下面的問題。
二、郵票問題
例2 買3角與5角的郵票共24張，總值4.6元，問兩種郵票各買了幾張？
解這道題當然可以用假設法和圖形法，但用什么樣的公式呢？美國數學教育家C?波利亞說：“……不論初等數學、高等數學中的發現……特別是不能沒有類比。”用類比很容易發現這個公式是：郵
設3角郵票為A1張，價值A2角；
5角郵票為B1張，價值B2角。
說明數量關系與雞兔同籠問題相一致。
又3A1=A2，5B1=B2。
得：A2＋B2＝3A1+5B1，
這就與例1的公式相類似，很容易將這個公式翻譯成語言陳述，大家試
（24－12＝）12（張）。
如果你認為這個公式不太好記，就不妨用圖來解。
（24×5－96）÷2=12（張、3角）
24-12＝12
所以解題方法的選用常常是根據具體情況而定的。
再試試
（1）6角與8角的郵票共18張，總價12.4元，問兩種郵票各幾張？（10，8）
（2）3角與8角的郵票共100張，總價50元，問兩種郵票各幾張？（60，40）
三、植樹問題
例3 一次植樹活動，規定大樹每人種2棵，小樹每人種4棵，全班50人種樹140棵，問種這兩種樹的各有多少人？
這道題可用例1的公式很快解得種大樹的有30人，種小樹的有20人。
四、運輸（工作）問題
例4 有小卡車50輛，大卡車每輛運4噸，小卡車每輛運2噸，共運140噸化肥，問大小卡車各幾輛？
難道不是題目看完答案就出來了嗎？
五、農藥問題
例5 甲種農藥每千克兌水20千克，乙種農藥每千克兌水40千克，現為了提高藥效，根據農科所意見，甲乙兩種農藥混合使用，已知兩種農藥共50千克，要配藥水140千克，問甲、乙兩種農藥各需多少千克？
用公式解很簡單（30，20），如果將這個公式交給農民，那么他們配起農藥來就既方便又正確，你能想出這個公式是什么嗎？
還會遇到許多許多的問題，它們的數量關系（應用題的本質）與雞兔同籠問題相一致，都可以用雞兔同籠問題的三種方法來解，這些問題我們將它們統稱為雞兔同籠問題。
相傳大禹治水到黃河，發現一只神龜，背上馱了一張圖叫河圖（洛書）。（左圖），用阿拉伯數字表示就是右圖，圖中三條豎線、三條橫線、二條對角線共八條線上三個數的和都是15， 這樣的圖是怎樣造出來的呢？其法一時失傳了，于是有人用它來占卜、相風水，進入迷信狀態。后來數學家發現其原理是二進制，說明二進制是中國人最先發明的， 近代根據二進制發明了計算機，所以有些基礎科學的研究成果一時看起來無多大用途，以后漸漸會發現有大用途，雞兔同籠問題不也是這樣嗎？因此我們一定要重視基礎科學的學習和研究。
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