數學中集合與簡易邏輯解題技巧

　　基本概念、公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學生，務必首先要掌握高中數學中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點，還應了解一些常用結論，最后還要掌握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和結論及解題中的易誤點，按章節進行了系統的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過對本資料的認真研讀，一定能大幅度地提升高考數學成績。

　　1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關集合問題時，尤其要注意元素的互異性。 舉例如下： (1)設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q=，若，，則P+Q中元素的有________個。(答：8) (2)設，，，那么點的充要條件是________(答：); (3)非空集合，且滿足“若，則”，這樣的共有_____個(答：7)

　　2.遇到時，你是否注意到“極端”情況：或;同樣當時，你是否忘記的情形?要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 舉例如下： 集合，，且，則實數=______.(答：)

　　3.對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為 。 舉例如下： 滿足集合M有______個。 (答：7)

　　4.集合的運算性質： ⑴; ⑵;⑶; ⑷; ⑸; ⑹;⑺。 舉例如下： 如設全集，若，，，則A=_____，B=___.(答：，)

　　5. 研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的`代表元素。如：—函數的定義域;—函數的值域;—函數圖象上的點集。 舉例如下： (1)設集合，集合N=，則___(答：); (2)設集合，， ，則_____(答：)

　　6. 數軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。 舉例如下： 已知函數在區間上至少存在一個實數，使，求實數的取值范圍。 (答：)

　　7.復合命題真假的判斷。“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”;“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”;“非命題”的真假特點是“真假相反”。 舉例如下： 在下列說法中： ⑴“且”為真是“或”為真的充分不必要條件; ⑵“且”為假是“或”為真的充分不必要條件; ⑶“或”為真是“非”為假的必要不充分條件; ⑷“非”為真是“且”為假的必要不充分條件。其中正確的是__________(答：⑴⑶)

　　8.四種命題及其相互關系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”;否命題為“若﹁p 則﹁q” ;逆否命題為“若﹁q 則﹁p”。 提醒： (1)互為逆否關系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價; (2)在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”; (3)要注意區別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定; (4)對于條件或結論是不等關系或否定式的命題，一般利用等價關系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據。 (5)哪些命題宜用反證法?如(1)“在△ABC中，若∠C=900，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為 (答：在中，若，則不都是銳角);(2)已知函數，證明方程沒有負數根。

　　9.充要條件。關鍵是分清條件和結論(劃主謂賓)，由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件;由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。從集合角度解釋，若，則A是B的充分條件;若，則A是B的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件。比如： (1)給出下列命題：①實數是直線與平行的充要條件;②若是成立的充要條件;③已知，“若，則或”的逆否命題是“若或則”;④“若和都是偶數，則是偶數”的否命題是假命題 。其中正確命題的序號是_______(答：①④); (2)設命題p：;命題q:。若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實數a的取值范圍是 (答：)

　　10. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式，若,則;若,則;若,則當時，;當時，。 如已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為_______(答：)

　　11. 一元二次不等式的解集(聯系圖象)。尤其當和時的解集你會正確表示嗎?設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表： 或 或 R R R 如解關于的不等式：。(答：當時，;當時，或;當時，;當時，;當時，)

　　12. 對于方程有實數解的問題。首先要討論最高次項系數是否為0，其次若，則一定有。對于多項式方程、不等式、函數的最高次項中含有參數時，你是否注意到同樣的情形?比如： (1)對一切恒成立，則的取值范圍是_______(答：); (2)關于的方程有解的條件是什么?(答：，其中為的值域)，特別地，若在內有兩個不等的實根滿足等式，則實數的范圍是_______.(答：)

　　13.一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么? (、、)。根的分布理論成立的前提是開區間，若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，再令和檢查端點的情況. 如實系數方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是_________(答：(，1))

　　14.二次方程、二次不等式、二次函數間的聯系你了解了嗎?二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函數的圖象與軸的交點的橫坐標。比如： (1)不等式的解集是，則=__________(答：); (2)若關于的不等式的解集為，其中，則關于的不等式的解集為________(答：); (3)不等式對恒成立，則實數的取值范圍是_______(答：)。

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