從綜合幾何到幾何代數(shù)化的數(shù)學(xué)思想方法
一、幾何代數(shù)化思想的由來
數(shù)學(xué)的發(fā)展是以數(shù)和形兩個(gè)基本概念作為主干的，數(shù)學(xué)思想方法的各種變革也是通過這兩個(gè)概念進(jìn)行的。在數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期，數(shù)和形的研究并不是互相割裂的，長度、面積和體積的量度把數(shù)和形緊密地聯(lián)系起來�？墒�，在爾后的數(shù)學(xué)發(fā)展中，數(shù)和形的聯(lián)系卻長期沒能得到進(jìn)一步的深化。這突出表現(xiàn)在幾何和代數(shù)的不協(xié)調(diào)性發(fā)展上。
我們知道，幾何學(xué)作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科，最先是在古希臘學(xué)者手中形成的，歐幾里得《幾何原本》的問世就是重要的標(biāo)志。那時(shí)，代數(shù)尚處于潛科學(xué)階段，尚未形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，只是以零散、片斷的知識形態(tài)存在著。因此，從公元前3世紀(jì)到14世紀(jì)，幾何學(xué)在數(shù)學(xué)中占據(jù)著主導(dǎo)地位，而代數(shù)則處于從屬的地位。由于幾何學(xué)有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸椒ê椭庇^的圖形，可以把種種空間性質(zhì)、圖形關(guān)系問題的探討，歸結(jié)成一系列基本概念和基本命題來推演、論證，所以數(shù)學(xué)家們大都喜歡運(yùn)用幾何思維方式來處理數(shù)學(xué)問題，甚至把代數(shù)看成是與幾何不相干的學(xué)科。這種人為的割裂，不僅延誤了代數(shù)的發(fā)展，也影響了幾何學(xué)的進(jìn)步。
隨著數(shù)學(xué)研究范圍的擴(kuò)大，用幾何方法來解決數(shù)學(xué)問題越來越困難，因?yàn)樵S多問題特別是證明問題往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、論證的步驟又顯得相當(dāng)繁難，缺乏一般性方法。正當(dāng)幾何學(xué)難于深入進(jìn)展時(shí)，代數(shù)學(xué)日趨成熟起來。尤其是在16世紀(jì)代數(shù)學(xué)得到突破性進(jìn)展，不僅形成了一整套簡明的字母符號，而且成功地解決了二次、三次、四次方程的求根問題。這就使代數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)中的地位逐漸得到上升，于是綜合幾何思維占統(tǒng)治地位的局面開始被打破。
歷史上最先明確認(rèn)識到代數(shù)力量的是16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)。他嘗試用代數(shù)方法來解決幾何作圖問題，并隱約出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。他指出，幾何作圖中線段的加減乘除可以通過代數(shù)的術(shù)語表出，所以它們實(shí)質(zhì)上屬于代數(shù)的運(yùn)算。隨著代數(shù)方法向幾何學(xué)的滲透，代數(shù)方法的普遍性優(yōu)點(diǎn)日益表露出來，于是用代數(shù)方法來改造傳統(tǒng)的綜合幾何思維，把代數(shù)和幾何有機(jī)結(jié)合起來，互相取長補(bǔ)短，便成為十分必要的了。
實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的關(guān)鍵，在于空間幾何結(jié)構(gòu)的數(shù)量化，即把形與數(shù)統(tǒng)一起來。這一項(xiàng)工作是由法國數(shù)學(xué)家笛卡兒完成的。笛卡兒繼承和發(fā)展了韋達(dá)等人的先進(jìn)數(shù)學(xué)思想，他充分看到代數(shù)思想的靈活性和方法的普遍性，為尋求一種能夠把代數(shù)全面應(yīng)用到幾何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的關(guān)鍵，在于借助坐標(biāo)系建立起平面上的點(diǎn)和數(shù)對之間的對應(yīng)關(guān)系，由此可用方程來表示曲線。1637年，他的《幾何學(xué)》作為《方法論》一書的附錄出版，在這個(gè)附錄中，他明確提出了坐標(biāo)幾何的思想，并用于解決許多幾何問題。此書的問世，標(biāo)志著解析幾何的誕生。與笛卡兒同一時(shí)代、同一國度的另一位數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬，也幾乎同時(shí)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。他的思想集中體現(xiàn)在他的《軌跡引論》一書中。
解析幾何的出現(xiàn)開創(chuàng)了幾何代數(shù)化的新時(shí)代，它借助坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)了空間幾何結(jié)構(gòu)的數(shù)量化，由此把形與數(shù)、幾何與代數(shù)統(tǒng)一了起來。而坐標(biāo)本身就是幾何代數(shù)化的產(chǎn)物，是點(diǎn)與數(shù)的統(tǒng)一體，它既是點(diǎn)的位置的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)，又是數(shù)量關(guān)系的幾何直觀，因此它具有形與數(shù)的二重性。有了坐標(biāo)概念，就可以把空間形式的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究了。
例如，求兩點(diǎn)間的距離，如果兩點(diǎn)的坐標(biāo)(x1，y1)和(x2，y2) 何學(xué)上兩點(diǎn)之間的測量問題就轉(zhuǎn)化成代數(shù)學(xué)上求一個(gè)代數(shù)式的值的問題。
再如，求兩條曲線的交點(diǎn)，這是幾何學(xué)中比較困難的一個(gè)問題，如果兩條曲線的方程給定，那么通過解聯(lián)立方程組就可求出交點(diǎn)的位置，因?yàn)榉匠探M的解恰是二條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)。
隨著解析幾何的發(fā)展，幾何代數(shù)的內(nèi)容和方法不斷得到豐富。1704年，牛頓運(yùn)用坐標(biāo)方法研究了三次曲線，1748年，歐拉在《分析引論》一書中全面而系統(tǒng)地論述了平面解析幾何的理論;1788年，拉格朗日又把力、速度和加速度給予了算術(shù)化，由此開創(chuàng)了解析幾何中的向量理論研究方向。與此同時(shí)，坐標(biāo)概念本身也在不斷地豐富，除直角坐標(biāo)系外，又相繼產(chǎn)生了斜坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)。坐標(biāo)系也從二維擴(kuò)展到三維以及多維和無窮維，從而又出現(xiàn)了多維解析幾何和無窮維解析幾何。由此又導(dǎo)致了代數(shù)幾何和泛函分析的產(chǎn)生。
二、幾何代數(shù)化的意義
幾何代數(shù)化對于數(shù)學(xué)的發(fā)展有著重要的意義，這里僅就幾個(gè)方面加以分析。
1.把幾何學(xué)推到一個(gè)新的階段
幾何代數(shù)化不僅為幾何學(xué)提供了新方法，使許多難以解決的幾何問題變得簡單易解，更重要的是為幾何學(xué)發(fā)展注入了新的活力，增添了嶄新的內(nèi)容。
首先，傳統(tǒng)幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)主要是推理，基本上是定性研究，如直線的平行性、曲線的相交、圖形的全等等。幾何代數(shù)化的出現(xiàn)，使得圖形性質(zhì)的研究變成方程的討論和求解，而方程的研究又主要是數(shù)量上的分析，這就把幾何學(xué)從定性研究階段推到定量分析階段。
其次，在傳統(tǒng)幾何學(xué)中，空間概念是在人們的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中逐漸抽象和確立起來，這種空間概念具有明顯的直觀性和經(jīng)驗(yàn)性，如一維的直線、二維的平面和三維的立體。幾何代數(shù)化的出現(xiàn)，使得空間的幾何結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了數(shù)量化，而數(shù)量化了的空間幾何結(jié)構(gòu)已不再局限于一維、二維和三維，它可以是n維以至無窮維的，這就把幾何學(xué)的空間概念從低維擴(kuò)張到了高維，即把幾何學(xué)研究的內(nèi)容從現(xiàn)實(shí)空間圖形的性質(zhì)擴(kuò)展到抽象空間圖形的性質(zhì)。
第三，傳統(tǒng)幾何學(xué)主要研究固定不變的圖形，如各種各樣的直線形和曲線形，這些圖形雖然可以移動(dòng)和相互變換，但圖形本身的結(jié)構(gòu)卻是“死”的，即傳統(tǒng)幾何學(xué)是一種靜態(tài)幾何學(xué)。幾何代數(shù)化的出現(xiàn)，使得曲線變成了具有某種特定性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡，即可把曲線看作是由“點(diǎn)”通過運(yùn)動(dòng)而生成的，這就使人們對形的認(rèn)識由靜態(tài)發(fā)展到了動(dòng)態(tài)。
2.為代數(shù)學(xué)研究提供了新的工具
幾何代數(shù)化不僅直接影響和改造了傳統(tǒng)的幾何學(xué)，擴(kuò)大了幾何學(xué)的研究對象，豐富和發(fā)展了幾何學(xué)的思想方法，而且也使代數(shù)學(xué)獲得了新的生命力。
首先，幾何學(xué)的概念和術(shù)語進(jìn)入代數(shù)學(xué)，使許多代數(shù)課題具有了直觀性。我們知道，和幾何學(xué)相比，代數(shù)學(xué)具有更高的抽象性，許多抽象的代數(shù)式和方程使人難以把握它們的現(xiàn)實(shí)意義。幾何代數(shù)化的出現(xiàn)，為抽象的代數(shù)式和方程提供了形象而直觀的模型。如可把方程的解看作是曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，可把二次方程根與系數(shù)關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為考察和分析圓錐曲線與坐標(biāo)軸的相對位置。
其次，幾何學(xué)思想方法向代數(shù)學(xué)的移植和滲透，開拓了代數(shù)學(xué)新的研究領(lǐng)域。如以線性方程（一次方程）為主要對象的線性代數(shù)，就是在線性空間概念的基礎(chǔ)上構(gòu)造起來的，這里的“線性”、“空間”等概念并不是代數(shù)學(xué)本身所固有的，而是從幾何學(xué)中借用的。
3.為微積分的創(chuàng)立準(zhǔn)備了必要條件
幾何代數(shù)化思想形成的標(biāo)志是解析幾何的創(chuàng)立，笛卡兒在創(chuàng)立解析幾何過程中，不僅提出了代數(shù)與幾何相結(jié)合的思想，而且把變數(shù)引進(jìn)了數(shù)學(xué)。變數(shù)的引進(jìn)，對于數(shù)學(xué)的發(fā)展有著極為重要的意義，特別是為微積分的創(chuàng)立準(zhǔn)備了重要工具，加速了微積分形成的歷史進(jìn)程。從這種意義上看，可把解析幾何的產(chǎn)生看作是微積分創(chuàng)立的前奏。對此，恩格斯曾高度評價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”。
4.為數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明提供了重要啟示
定理的機(jī)械化證明，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)新興的一個(gè)研究領(lǐng)域，從機(jī)械化算法上看，它的方法論基礎(chǔ)是利用代數(shù)方法把推理程序機(jī)械化。因此，定理機(jī)械化證明的思想淵源可追溯到幾何的代數(shù)化。關(guān)于這一點(diǎn)，我們在6中還要詳細(xì)介紹。
此外，幾何代數(shù)化的思想還給數(shù)學(xué)研究從方法論上提供了許多重要啟示。如數(shù)學(xué)家們把點(diǎn)與數(shù)對、曲線與方程相對應(yīng)的思想加以發(fā)展，提出了函數(shù)與點(diǎn)、函數(shù)集與空間相對應(yīng)的思想，在此基礎(chǔ)上進(jìn)而創(chuàng)立了泛函分析這一新的理論。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)
文章摘要：17世紀(jì)對于數(shù)學(xué)發(fā)展具有重大意義的事件，除了解析幾何開辟了幾何代數(shù)化這一新的方向外，還有微積分的創(chuàng)立使常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的`變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點(diǎn)。
17世紀(jì)對于數(shù)學(xué)發(fā)展具有重大意義的事件，除了解析幾何開辟了幾何代數(shù)化這一新的方向外，還有微積分的創(chuàng)立使常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。
一、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史背景
變量數(shù)學(xué)是相對常量數(shù)學(xué)而言的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。常量數(shù)學(xué)的對象主要是固定不變的圖形和數(shù)量，它包括算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角等分支學(xué)科。常量數(shù)學(xué)是描述靜態(tài)事物的有力工具，可是，對于描述事物的運(yùn)動(dòng)和變化卻是無能為力的。因此，從常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)，就成為歷史的必然了。
變量數(shù)學(xué)之所以產(chǎn)生于17世紀(jì)，是有其特定的歷史背景的。
從自然科學(xué)的發(fā)展來看，變量數(shù)學(xué)是在回答16、17世紀(jì)自然科學(xué)提出的大量數(shù)學(xué)問題過程中，醞釀和創(chuàng)立起來的。我們知道，隨著歐洲封建社會(huì)的解體和資本主義工廠手工業(yè)向機(jī)器大生產(chǎn)的過渡，自然科學(xué)開始從神學(xué)的桎梏下解放出來，大踏步地前進(jìn)。這時(shí)，社會(huì)生產(chǎn)和自然科學(xué)向數(shù)學(xué)提出了一系列與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的新問題。這些新問題，大體可以分為以下五種類型。
第一類問題是描述非勻速運(yùn)動(dòng)物體的軌跡。如行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌跡、各種拋射物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。
第二類問題是求變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、加速度和路程。如已知變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度，或反過來由速度求路程。
第三類問題是求曲線在任一點(diǎn)的切線。如光線在曲面上的反射角問題，運(yùn)動(dòng)物體在其軌跡上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向問題。
第四類問題是求變量的極值。如斜拋物體的最大水平距離問題，行星繞日運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)問題。
第五類問題是計(jì)算曲線長度、曲邊形面積、曲面體體積、物體的重心以及大質(zhì)量物體之間的引力等。
上述各類問題盡管內(nèi)容和提法不同，但從思想方法上看，它們有一個(gè)共同的特征，就是要求研究變量及其相互關(guān)系。這是16、17世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的中心課題，正是對這個(gè)中心課題的深入研究，最終導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。
從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論-微積分，早在微積分誕生之前的二千多年，就已經(jīng)有了它的思想萌芽。
公元前5世紀(jì)，希臘學(xué)者德漠克利特為解決不可公度問題，創(chuàng)立起數(shù)學(xué)的原子論。它的基本思想是：直線可分為若干小線段，小線段又可再分更小的線段，直至成為點(diǎn)而不可再分，故稱點(diǎn)為直線的數(shù)學(xué)原子即不可分量。平面圖形同樣可以如此分下去，使得線段成為平面圖形的數(shù)學(xué)原子。利用數(shù)學(xué)原子概念，德漠克利特求得錐體的體積等于等底等高圓柱的1/3.
公元前4世紀(jì)，希臘學(xué)者歐道克斯在前人工作的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了求曲邊形面積和曲面體體積的一般方法-窮竭法。運(yùn)用此法，他成功地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”和“球體積與其直徑的立方成比例”等命題。
微積分的早期先驅(qū)者主要是阿基米德，他繼承和發(fā)展了窮竭法，并應(yīng)用這一方法解決了諸如拋物線弓形等許多復(fù)雜的曲邊形面積。繼阿基米德之后，微積分的思想方法逐漸成熟起來，其中作出重大貢獻(xiàn)的有開普勒、伽利略、卡瓦列利、華利斯、笛卡兒、費(fèi)爾馬和巴羅等人。巴羅甚至接觸到了微積分的基本原理-微分和積分的互逆關(guān)系。
總之，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅有其特定的生產(chǎn)和自然科學(xué)背景，而且也是數(shù)學(xué)自身矛盾運(yùn)動(dòng)的必然結(jié)果。它是經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間的醞釀，在16、17世紀(jì)生產(chǎn)和自然科學(xué)需要的刺激下，經(jīng)過許多人的努力而準(zhǔn)備好由“潛”到“顯”過渡的條件的。
二、變量數(shù)學(xué)的創(chuàng)始及其意義
變量數(shù)學(xué)由“潛”到“顯”的過渡經(jīng)歷了兩個(gè)具有決定性的重大步驟：一是解析幾何的產(chǎn)生，二是微積分的創(chuàng)立。前者為變量數(shù)學(xué)的創(chuàng)始提供了直接的前提，后者是變量數(shù)學(xué)創(chuàng)始的主要標(biāo)志。
微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。他們最大的功績是明確地提出了微分法和積分法，并把兩者有機(jī)結(jié)合起來，建立了微積分的基本原理（牛頓-萊布尼茨公式）。
牛頓主要是從運(yùn)動(dòng)學(xué)來研究和建立微積分的。他的微積分思想最早出現(xiàn)在1665年5月20日的一頁文件中，這一天可做為微積分誕生的日子。他稱連續(xù)的變量為“流動(dòng)量”，用符號x、y、z等字母表示，稱它們的導(dǎo)數(shù)為“流數(shù)”，用加小點(diǎn)的字母來表示，如x、y、z等，稱微分為“瞬”。
萊布尼茨是從幾何學(xué)的角度創(chuàng)立微積分的。他的微積分思想最先出現(xiàn)在1675年的手稿之中，他所發(fā)明的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，對微積分后來的發(fā)展有重大的影響�，F(xiàn)今通用的符號dx、dy、∫等，就是萊布尼茨當(dāng)年精心選擇和創(chuàng)設(shè)的。
繼牛頓和萊布尼茨之后，18世紀(jì)對微積分的創(chuàng)立和發(fā)展作出卓越貢獻(xiàn)的有歐拉、伯努利家族、泰勒、馬克勞林、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人。17、18世紀(jì)的數(shù)學(xué)，幾乎讓微積分占據(jù)了主導(dǎo)地位，絕大部分的數(shù)學(xué)家都被這一新興的學(xué)科所吸引，可見微積分產(chǎn)生意義之重大。
變量數(shù)學(xué)創(chuàng)始的兩個(gè)決定性步驟都是在17世紀(jì)完成的，因此17世紀(jì)也就成了常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的時(shí)期。變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，是數(shù)學(xué)史乃至整個(gè)科學(xué)史的一件大事。它來自于生產(chǎn)技術(shù)、自然科學(xué)發(fā)展的需要以及數(shù)學(xué)自身的矛盾運(yùn)動(dòng)，又回過頭來對生產(chǎn)技術(shù)、自然科學(xué)以及數(shù)學(xué)自身的發(fā)展產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。
首先，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種運(yùn)動(dòng)和變化提供了有效的工具。我們知道，在現(xiàn)實(shí)世界中，“靜”和“不變”總是暫時(shí)的、相對的，“動(dòng)”和“變”則是永恒的、絕對的。“整個(gè)自然界，從最小的東西到最大的東西，從沙粒到太陽，從原生生物到人，都處于永恒的產(chǎn)生和消滅中，處于不斷的流動(dòng)中，處于無休止的運(yùn)動(dòng)和變化中。”可見，自然科學(xué)的對象是運(yùn)動(dòng)變化著的物質(zhì)世界，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)精確地描述物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律提供了不可缺少的工具。變量數(shù)學(xué)對于現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)、自然科學(xué)的發(fā)展，就像望遠(yuǎn)鏡對于天文學(xué)、顯微鏡對于生物學(xué)的發(fā)展一樣重要。假設(shè)沒有變量數(shù)學(xué)，現(xiàn)代物質(zhì)文明建設(shè)將是不可想象的事。
其次，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，帶來了數(shù)學(xué)自身的巨大進(jìn)步。變量數(shù)學(xué)是從常量數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的，它的產(chǎn)生又反過來深深影響了常量數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是常量數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科由于變量數(shù)學(xué)的滲透而在內(nèi)容上得到極大的豐富，在思想方法上發(fā)生一連串深刻的變革，并由此產(chǎn)生出許多新的分支學(xué)科。解析數(shù)論和微分幾何等分支學(xué)科，就是變量數(shù)學(xué)的思想方法向傳統(tǒng)數(shù)論和傳統(tǒng)幾何滲透的產(chǎn)物。就變量數(shù)學(xué)本身而言，由于它在生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，所以它一產(chǎn)生出來就得到蓬勃而迅速的發(fā)展，并由此相繼派生出許多新的分支學(xué)科，逐漸形成一個(gè)龐大的體系，如級數(shù)論、常微分方程論、偏微分方程論、差分學(xué)、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、積分方程、泛函分析等�？傊�，變量數(shù)學(xué)無論從內(nèi)容、思想方法上，還是從應(yīng)用的范圍上，很快就在整個(gè)數(shù)學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)地位，長時(shí)期以來一直規(guī)定和影響著近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。
此外，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生還有著深遠(yuǎn)的哲學(xué)意義。眾所周知，變量數(shù)學(xué)的許多基本概念，諸如變量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分，以及微分法和積分法，從哲學(xué)上看，不外是辯證法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，而且是辯證法在數(shù)學(xué)中取得的一次根本性勝利。正因?yàn)槿绱�，革命�?dǎo)師馬克思和恩格斯十分重視微積分概念和運(yùn)算的歷史演變，并對其進(jìn)行了深刻而精辟的哲學(xué)分析。馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》中，運(yùn)用唯物辯證法的基本觀點(diǎn)，詳細(xì)考察了微積分思想的歷史演變過程，深刻揭示了微分概念和運(yùn)算的辯證實(shí)質(zhì)，還總結(jié)分析了不同學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的論爭對于微分學(xué)發(fā)展的積極作用。恩格斯在他的《自然辯證法》一書中，闡述了微積分產(chǎn)生的重大意義，指出“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了�！彼�針對微積分概念的“神秘性”，給出了微積分概念直觀的現(xiàn)實(shí)原型，指出“自然界運(yùn)用這些微分即分子時(shí)所使用的方式和所依據(jù)的規(guī)律，完全和數(shù)學(xué)運(yùn)用其抽象的微分時(shí)的方式和規(guī)律相同。”由此可見，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生使數(shù)學(xué)更加成為“辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”，又一次為辯證法的普適性從數(shù)學(xué)上提供了生動(dòng)而有力的例證。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)
文章摘要：在現(xiàn)實(shí)世界中存在著兩類性質(zhì)截然不同的現(xiàn)象：一類是必然現(xiàn)象，另一類是或然現(xiàn)象。描述和研究必然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為必然數(shù)學(xué)；描述和研究或然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為或然數(shù)學(xué)。從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)研究對象的一次顯著擴(kuò)張，也是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。…
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點(diǎn)。
在現(xiàn)實(shí)世界中存在著兩類性質(zhì)截然不同的現(xiàn)象：一類是必然現(xiàn)象，另一類是或然現(xiàn)象。描述和研究必然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為必然數(shù)學(xué)；描述和研究或然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為或然數(shù)學(xué)。從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)研究對象的一次顯著擴(kuò)張，也是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。
一、或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)
或然數(shù)學(xué)的對象是或然現(xiàn)象。所謂或然現(xiàn)象，是指這樣的一類現(xiàn)象：它在一定條件下可能會(huì)引起某種結(jié)果，也可能不引起這種結(jié)果。也就是說，在或然現(xiàn)象中，條件和結(jié)果之間不存在必然性的聯(lián)系。例如，投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面。
與或然現(xiàn)象不同，在必然現(xiàn)象中，只要條件具備，某種結(jié)果就一定會(huì)發(fā)生，即條件和結(jié)果之間存在著必然性聯(lián)系。因此，對于必然現(xiàn)象，可由條件預(yù)知結(jié)果如何。這一點(diǎn)正是必然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。例如，當(dāng)我們用微分方程來定量描述某些必然現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過程時(shí)，只要建立起相應(yīng)的微分方程式，并給定問題的初始條件，就可以通過求解微分方程預(yù)知未來某時(shí)刻這種現(xiàn)象的狀態(tài)。19世紀(jì)英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯借助微分方程預(yù)言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。
由于或然現(xiàn)象的條件和結(jié)果之間不存在必然性的聯(lián)系，因此無法用必然數(shù)學(xué)來加以精確的定量描述。例如，投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，要想預(yù)先準(zhǔn)確計(jì)算出它一定會(huì)出現(xiàn)正面或一定會(huì)出現(xiàn)反面，是不可能的。但是，這并不意味著或然現(xiàn)象不存在著數(shù)量規(guī)律，也不意味著不能從量上來描述和研究或然現(xiàn)象的規(guī)律。
從表面上看，或然現(xiàn)象是雜亂無章的，無任何規(guī)律可談，但如果仔細(xì)考察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)同類的或然現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，它在總體上將會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。
例如，一個(gè)充有有量氣體分子的容器，就單個(gè)分子而言，它的運(yùn)動(dòng)速度和方向帶有明顯的或然性，每個(gè)分子對器壁的壓力大小也具有或然性，因而難以對“速度”、“壓力”作以定量分析。然而，實(shí)踐卻表明，就全體分子對器壁的壓力而言，器壁所受的總壓力卻是一個(gè)確定的值，即大量氣體分子的運(yùn)動(dòng)在總體上呈現(xiàn)出一種規(guī)律性。同樣，當(dāng)多次重復(fù)地投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣時(shí)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)正面的次數(shù)與總投擲次數(shù)之比總是在1/2左右擺，而且隨著投擲次數(shù)的增加，這個(gè)比越來越接近1/2.
大量同類或然現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的存在，就是或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。
統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是基于大量或然現(xiàn)象而言的。這里的“大量”包含兩層意思：其一是某一或然現(xiàn)象在相同的條件下多次甚至無限地重復(fù)出現(xiàn)，如多次投擲硬幣，連續(xù)發(fā)射炮彈，連日觀測氣溫等。其二是眾多的同類或然現(xiàn)象同時(shí)發(fā)生，如容器內(nèi)的氣體分子，電子束中的電子，小麥的催芽試驗(yàn)等。
由于統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種宏觀性的、總體性的規(guī)律，不同于單個(gè)事物或現(xiàn)象表現(xiàn)出那種“微觀性”的規(guī)律，因此或然數(shù)學(xué)在研究方法上有其自身的特殊性。統(tǒng)計(jì)方法就是它的一種基本研究方法。統(tǒng)計(jì)方法的基本思想是：從一組樣本分析、判斷整個(gè)對象系統(tǒng)的性質(zhì)和特征。統(tǒng)計(jì)方法的邏輯依據(jù)是“由局部到整體”、“由特殊到一般”，是歸納推理在數(shù)學(xué)上的一種具體應(yīng)用。
二、或然數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展
概率論是或然數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)理論，也是歷史上最先出現(xiàn)的或然數(shù)學(xué)的分支學(xué)科。它的創(chuàng)立可作為或然數(shù)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志。
概率論創(chuàng)立于17世紀(jì)，但它的思想萌芽至少可追溯到16世紀(jì)。在自然界和社會(huì)生活中存在著各種各類的或然現(xiàn)象，但最先引起數(shù)學(xué)家們注意的則是中的問題。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)曾計(jì)算過擲兩顆或三顆骰子時(shí)，在所有可能方法中有多少種方法能得到某一預(yù)想的總點(diǎn)數(shù)。他的研究成果集中體現(xiàn)在他的《論》一書中。由于中的概率問題最為典型，因此，從這類問題著手研究或然現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，便成為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要課題。
促使概率論產(chǎn)生的直接動(dòng)力是社會(huì)保險(xiǎn)事業(yè)的需要。17世紀(jì)資本主義工業(yè)與商業(yè)的興起和發(fā)展，使社會(huì)保險(xiǎn)事業(yè)應(yīng)運(yùn)而生。這就刺激了數(shù)學(xué)家們對概率問題研究的興趣，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司需要計(jì)算各種意外事件發(fā)生的概率，如火災(zāi)、水災(zāi)和死亡等。由于概率論的思想與方法在保險(xiǎn)理論、人口統(tǒng)計(jì)、射擊理論、財(cái)政預(yù)算、產(chǎn)品檢驗(yàn)以及醫(yī)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，因此，它很快就成為許多數(shù)學(xué)家認(rèn)真探討的一個(gè)研究領(lǐng)域。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它是經(jīng)17世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家之手創(chuàng)立起來的。其中作出突出貢獻(xiàn)的有帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯和雅各·伯努利等人。
概率論的許多重要定理是在18世紀(jì)提出和建立起來的。例如，棣美佛在他的《機(jī)會(huì)的學(xué)問》一書中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心極限定理”的一種特殊情況。拉普拉斯提出了這一定理的一般情況，他撰寫的兩部著作《分析概率論》和《概率的哲學(xué)探討》，具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。蒲豐在其《或然算術(shù)試驗(yàn)》一書中，提出了有名的“蒲豐問題”，對這一問題的研究，后來導(dǎo)致了著名的蒙特卡洛方法的產(chǎn)生。高斯和泊松也對概率論作出了重要貢獻(xiàn)，高斯奠定了最小二乘法和誤差理論的基礎(chǔ)，泊松提出了一種重要的概率分布—泊松分布。
從19世紀(jì)末開始，隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的概率問題的大量出現(xiàn)，概率論得到迅速發(fā)展，并不斷地派生出一系列新的分支理論。俄國的馬爾科夫創(chuàng)立的馬爾科夫過程論，在原子物理、理論物理、化學(xué)和公共事業(yè)等方面有著廣泛的應(yīng)用。此外，還有平穩(wěn)隨機(jī)過程論、隨機(jī)微分方程論、多元分析、試驗(yàn)分析、概率邏輯、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)生物學(xué)、統(tǒng)計(jì)醫(yī)學(xué)等等。目前，或然數(shù)學(xué)已成為具有眾多分支的龐大數(shù)學(xué)部門，它仍處在發(fā)展之中，它的理論和方法在科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國防和國民經(jīng)濟(jì)各部門日益得到更加廣泛的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)
文章摘要：20世紀(jì)60年代，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)領(lǐng)域又產(chǎn)生出了一支新秀-模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)無論在研究對象還是在思想方法上，都與已有的數(shù)學(xué)有著質(zhì)的不同。它的產(chǎn)生不僅極大地拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，而且?guī)砹藬?shù)學(xué)思想方法的一次重大突破。…
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點(diǎn)。
20世紀(jì)60年代，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)領(lǐng)域又產(chǎn)生出了一支新秀-模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)無論在研究對象還是在思想方法上，都與已有的數(shù)學(xué)有著質(zhì)的不同。它的產(chǎn)生不僅極大地拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，而且?guī)砹藬?shù)學(xué)思想方法的一次重大突破。
一、模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景
模糊數(shù)學(xué)是在特定的歷史背景中產(chǎn)生的，它是數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。
首先，現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數(shù)學(xué)工具。我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實(shí)踐表明，在自然界、生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現(xiàn)實(shí)世界事物和現(xiàn)象的狀態(tài)反映，在量上是沒有明晰界限的。
模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué)，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結(jié)果符合實(shí)際。因此，隨著社會(huì)實(shí)踐的深化和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對“模糊”數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究也就成為十分必要的了。
其次，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準(zhǔn)備了搖籃。自本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)問世以來，電子計(jì)算機(jī)在生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。電子計(jì)算機(jī)發(fā)展的一個(gè)重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統(tǒng)、航天系統(tǒng)以及各種復(fù)雜的社會(huì)系統(tǒng)。而人腦本身就是一種極其復(fù)雜的系統(tǒng)。人腦中的思維活動(dòng)之所以具有高度的靈活性，能夠應(yīng)付復(fù)雜多變的環(huán)境，一個(gè)重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時(shí)在起作用。一般說來，邏輯思維活動(dòng)可用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻畫，而非邏輯思維活動(dòng)卻具有很大的模糊性，無法用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的電子計(jì)算機(jī)，也就無法真實(shí)地模擬人腦的思維活動(dòng)，自然也就不具備人腦處理復(fù)雜問題的能力。這對電子計(jì)算機(jī)特別是人工智能的發(fā)展，無疑是一個(gè)極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序，讓電子計(jì)算機(jī)能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復(fù)雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接背景。
模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國加利福尼亞大學(xué)的札德教授。為了改進(jìn)和提高電子計(jì)算機(jī)的功能，他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)-集合論。他認(rèn)為，要想從根本上解決電子計(jì)算機(jī)發(fā)展與數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發(fā)表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數(shù)學(xué)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
二、模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)
明晰數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是普通集合論，模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數(shù)學(xué)的。
模糊集合論與普通集合論的根本區(qū)別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合，一個(gè)事物與它有著明確的隸屬關(guān)系，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數(shù)關(guān)系式表示，可寫成
這里的A(u)稱為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)的邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態(tài)的定量描述，但不能用于刻劃某些事物在中介過渡時(shí)所呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個(gè)年齡為50歲的人，我們拿不出什么令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。
與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎(chǔ)是多值邏輯。對于這種集合，一個(gè)事物與它沒有“屬于”或“不屬于”這種絕對分明的隸屬關(guān)系，因而也就不能用特征函數(shù)A(u)來描述。那么，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質(zhì)和特征呢?模糊集合論的創(chuàng)立者札德給出了隸屬函數(shù)的概念，用以代替普通集合論中的特征函數(shù)概念。隸屬函數(shù)的實(shí)質(zhì)，是將特征函數(shù)由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區(qū)間上的任意值。通常把隸屬函數(shù)表示為μ(u)，它滿足
0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）
有了隸屬函數(shù)概念，就可給模糊集合下一個(gè)準(zhǔn)確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：
隸屬函數(shù)的選取是一個(gè)較為復(fù)雜的問題，目前還沒有一個(gè)固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達(dá)形式。在許多情況下，它是憑借經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)分析確定的。
例如，某小組有五名同學(xué)，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現(xiàn)在取為由“性格穩(wěn)重”的同學(xué)組成的集合，顯然這是一個(gè)模糊集合。為確定每個(gè)同學(xué)隸屬于的程度，我們分別給每個(gè)同學(xué)的性格穩(wěn)重程度打分，按百分制給分，再除以100.
這里實(shí)際上就是求隸屬函數(shù)，如果打分的結(jié)果是
u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分
那么隸屬函數(shù)的值應(yīng)是
可表示為
還可表示為
或
普通集合與模糊集合有著內(nèi)在的聯(lián)系，這可由特征函數(shù)A(u)和隸屬函數(shù)的關(guān)系來分析。事實(shí)上，當(dāng)隸屬函數(shù)只取[0,1]閉區(qū)間的兩端點(diǎn)值0，1時(shí)，隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)A(u)，從而模糊子集也就轉(zhuǎn)化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區(qū)別，又相互聯(lián)結(jié)，而且在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。正因?yàn)橛写藘?nèi)在的聯(lián)系，決定了模糊數(shù)學(xué)可以廣泛地使用明晰數(shù)學(xué)的方法，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)存在著由此達(dá)彼的橋梁。
模糊數(shù)學(xué)作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的，因而對于它的研究，無論是基礎(chǔ)理論還是實(shí)際應(yīng)用，都得到了迅速的發(fā)展。
就其基礎(chǔ)理論而言，模糊數(shù)學(xué)研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數(shù)、模糊關(guān)系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規(guī)劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。
在應(yīng)用方面，模糊數(shù)學(xué)的思想與方法正在廣泛滲透到科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、語言學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論和人工智能等。同時(shí)，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的許多部門已取得明顯的社會(huì)效益。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從手工證明到機(jī)器證明
文章摘要：機(jī)器證明是20世紀(jì)50年代開始興起的一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是現(xiàn)代人工智能發(fā)展的一個(gè)重要方向。從傳統(tǒng)的手工證明到定理的機(jī)器證明，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的一次重大突破。
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點(diǎn)。
【從綜合幾何到幾何代數(shù)化的數(shù)學(xué)思想方法】相關(guān)文章：
數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)：數(shù)與代數(shù)、乘法的認(rèn)識與乘法口訣、圖形與幾何09-01
幾何的數(shù)學(xué)定義是什么01-09
高考數(shù)學(xué)幾何答題技巧08-25
常見幾何數(shù)學(xué)題07-13
數(shù)學(xué)幾何的基本知識03-14