數學思想和方法
數學知識是數學思想方法的載體，而我們在運用數學知識和方法技巧解決問題時候，那么數學思想就是處于指導性的地位。下面是小編整理的常見的數學思想方法，以供大家學習。
數學思想和方法1
常見的數學思想方法：分類與整合
解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一方法，統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在各個子區域內進行解題，當分類解決完這個問題后，還必須把它們總合在一起，因為我們研究的畢竟是這個問題的全體，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質屬性。
高考將分類與整合的思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進行考查，考查時要求考生理解什么樣的問題需要分類研究，為什么要分類，如何分類以及分類后如何研究與最后如何整合。
特別注意引起分類的原因，我們必須相當熟悉，有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念、整數分為奇數偶數等，有些運算法則和公式是分類給出的，例如等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況，對數函數的單調性就分為a>1，0。
高考對分類與整合的思想的考查往往集中在含有參數的解析式，包括函數問題，數列問題和解析幾何問題等。此外，排列組合的問題，概率統計的問題也考查分類與整合的思想。隨著新課程高考在全國的實施，在新增內容中考查分類與整合的思想，竊以為，是今后幾年高考命題的重點之一。
常見的數學思想方法：函數與方程
著名數學家克萊因說“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考”。一個學生僅僅學習了函數的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數思想，才能主動地去思考一些問題。
函數是高中代數內容的主干，函數思想貫穿于高中代數的全部內容，
函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數各部分內容的內在聯系和整體角度來考慮問題，研究問題和解決問題。
所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。
函數和方程、不等式是通過函數值等于零、大于零或小于零而相互關聯的，它們之間既有區別又有聯系。函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想。
高考把函數與方程的思想作為七種思想方法的重點來考查，使用選擇題和填空題考查函數與方程的思想的基本運用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網絡的交匯處，從思想方法與相關能力的關系角度進行綜合考查。
在解題時，要學會思考這些問題：
�。�1）是不是需要把字母看作變量？
（2）是不是需要把代數式看作函數？如果是函數它具有哪些性質？
（3）是不是需要構造一個函數把表面上不是函數的問題化歸為函數問題？
（4）能否把一個等式轉化為一個方程？對這個方程的根有什么要求？……
常見的數學思想方法：特殊與一般
由特殊到一般，由一般到特殊，是人們認識世界的基本方法之一。數學研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究數學問題的基本認識過程，就是數學研究中的特殊與一般的思想。
我們對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始，通過總結歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關的數學問題。在數學中經常使用的歸納法，
演繹法就是特殊與一般的思想的集中體現。分析歷年的高考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，有的考查利用一般歸納法進行猜想，有的通過構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運動變化的問題等。隨著新教材的'全面推廣，高考以新增內容為素材，突出考查特殊與一般的思想必然成為今后命題改革的方向。
常見的數學思想方法：有限與無限
有限與無限并不是一新東西，雖然我們開始學習的數學都是有限的教學，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進行深入的研究。在學習有關數及其運算的過程中，對自然數、整數、有理數、實數、復數的學習都是有限個數的運算，但實際上各數集內元素的個數都是無限的。
在解析幾何中，還學習過拋物線的漸近線，已經開始有極限的思想體現在其中。數列的極限和函數的極限集中體現了有限與無限的思想。使用極限的思想解決數學問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，然后再求和求極限，這是典型的有限與無限的思想的應用。
函數是對運動變化的動態事物的描述，體現了變量數學在研究客觀事物中的重要作用。導數是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進一步處理和解決函數的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題，是研究客觀事物變化率和最優化問題的有力工具。
高考中對有限與無限的思想的考查才剛剛起步并且往往是在考查其他數學思想和方法的過程中同時考查有限與無限思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思維時，
含有有限與無限的思想;在使用數學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現的是有限與無限的思想，等等。隨著對新增內容的考查的逐步深入，必將加強對有限與無限的思想的考查，設計出突出體現出有限與無限的思想的新穎試題。
常見的數學思想方法：或然與必然
隨機現象有兩個最基本的特征，一是結果的隨機性，即重復同樣的試驗，所得到的結果并不相同，以至于在試驗之前不能預料試驗的結果;二是頻率的穩定性，即在大量重復試驗中，每個試驗結果發生的頻率“穩定”在一個常數附近。了解一個隨機現象就要知道這個隨機現象中所有可能出現的結果，知道每個結果出現的概率，知道這兩點就說對這個隨機現象研究清楚了。概率研究的是隨機現象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題，這其中所體現的數學思想就是或然與必然的思想。
隨著新教材的推廣，高考中對概率內容的考查已放在了重要的位置。通過對等可能性事件的概率，互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、n次獨立重復試驗恰相好有k次發生的概率、隨機事件的分布列與數學期望等重點內容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解決實際應用問題中或然與必然的辯證關系。
概率問題，無論屬于哪一種類型，所研究的都是隨機事件中“或然”與“必然”的辯證關系，在“或然”中尋找“必然”的規律。
常見的數學思想方法：化歸與轉化
將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想。化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。
除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉達化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。（轉化與化歸的思想方法是數學中最基本的思想方法。數學中的一切問題的解決都離不開轉化與化歸，數形結合思想體現了數與形的相互轉化;函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化;分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，以上三種思想方法都是轉化與化歸思想的具體體現。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數法、構造法等都是轉化的手段。所以說，轉化與化歸是數學思想方法的靈魂。）
轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證。
熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是騍轉化的基礎;豐富的聯想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁;培養訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發現事物之間的本質聯系。有人認為“抓基礎，重轉化”是學好中學數學的金鑰匙，說的也不無道理。
常見的數學思想方法：數形結合
數學研究的對象是數量關系和空間形式，即“數”與“形”兩個方面�！皵怠迸c“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯系。數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究，反之，圖形性質的研究可以轉化為數量關系的研究，這種解決數學問題過程中“數”與“形”相互轉化的研究策略，即是數形結合的思想。
數形結合的思想，在數學的幾乎全部的知識中，處處以數學對象的直觀表象及深刻精確的數量表達這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。
它的運用，往往展現出“柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數與開形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫離�！�
數形結合既是一個重要的數學思想，也是一種常用的解題策略。一方面，許多數量關系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常直觀形象;另一方面，一些圖形的屬性又可通過數量關系的研究，使得圖形的性質更豐富、更精準、更深刻。這種“數”與“形”的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大開拓我們的解題思路�？梢赃@樣說，數形結合不僅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思維的有力“杠桿”。
由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識。因此，數形結合的思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化。
在高考中，選擇題和填空題這兩種題型的特點（只需寫出結果而無需寫出過程），為考查數形結合的思想提供了方便，能突出考查考生將復雜的數量關系問題轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識。
而在解答題中，考慮到推理論證的嚴謹性，對數量關系問題的研究仍突出代數的方法而不是提倡使用幾何的方法，解答題中對數形結合的思想的考查以由“數”到“形”的轉化為主。
數學思想和方法2
數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。目前初中階段，主要數學思想方法有：數形結合的思想、分類討論的思想、整體思想、化歸的思想、轉化思想、歸納思想、類比的思想、函數的思想、辯證思想、、方程與函數的思想方法等。提高學生的數學素質、指導學生學習數學方法，毋用置疑，必須指導學生緊緊抓住掌握數學思想方法是這一數學鏈條中的最重要的一環。
許多數學家和教育家歷來強調對中學生的數學思想教育，其目的就是要提高學生的數學思維能力和數學素養。在初中數學教材中集中了大量的優秀例題和習題，它們所體現的數學知識和數學方法固然重要，但其蘊涵的數學思想卻更顯重要，作為一個執教者，要善于挖掘例題、習題的潛在功能。新課程把數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，在數學《新課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培訓創新思維的重要保證。
一、了解《數學新課標》要求，把握教學方法
所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想。
1．新課標要求，滲透“層次”教學。《數學新課標》對初中數學中滲透的'數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，
有些數學思想在《數學新課標》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。
教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《數學新課標》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們失去信心。
2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關于初中數學中的數學思想和方法內涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，
是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，使數學思想與方法得到交融的有效方法。在數學教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。
二、遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育
要達到《數學新課標》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：
滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎。因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，
從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。如北師大版初中數學七年級上冊課本《有理數》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節──“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。
在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”。而兩個負數比較大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決。教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節的重點突出，難點分散；又向學生滲透了數形結合的思想，學生易于接受。
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