高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：幾何的三大問題
平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規(guī),而這里所謂的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。用直尺與圓規(guī)當(dāng)然可以做出許多種之圖形,但有些圖形如正七邊形、正九邊形就做不出來。有些問題看起來好像很簡(jiǎn)單,但真正做出來卻很困難,這些問題之中最有名的就是所謂的三大問題。
幾何三大問題是:
1.化圓為方-求作一正方形使其面積等於一已知圓;
2.三等分任意角;
3.倍立方-求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。
圓與正方形都是常見的幾何圖形,但如何作一個(gè)正方形和已知圓等面積呢?若已知圓的半徑為1則其面積為π(1)2=π,所以化圓為方的問題等於去求一正方形其面積為π,也就是用尺規(guī)做出長(zhǎng)度為π1/2的.線段(或者是π的線段)。
三大問題的第二個(gè)是三等分一個(gè)角的問題。對(duì)於某些角如90。、180。三等分并不難,但是否所有角都可以三等分呢?例如60。,若能三等分則可以做出20。的角,那麼正18邊形及正九邊形也都可以做出來了(注:圓內(nèi)接一正十八邊形每一邊所對(duì)的圓周角為360。/18=20。)。其實(shí)三等分角的問題是由求作正多邊形這一類問題所引起來的。
第三個(gè)問題是倍立方。埃拉托塞尼(公元前276年~公元前195年)曾經(jīng)記述一個(gè)神話提到說有一個(gè)先知者得到神諭必須將立方形的祭壇的體積加倍,有人主張將每邊長(zhǎng)加倍,但我們都知道那是錯(cuò)誤的,因?yàn)轶w積已經(jīng)變成原來的8倍。
這些問題困擾數(shù)學(xué)家一千多年都不得其解,而實(shí)際上這三大問題都不可能用直尺圓規(guī)經(jīng)有限步驟可解決的。
1637年笛卡兒創(chuàng)建解析幾何以後,許多幾何問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究。1837年旺策爾(Wantzel)給出三等分任一角及倍立方不可能用尺規(guī)作圖的證明。1882年林得曼(Linderman)也證明了π的超越性(即π不為任何整數(shù)系數(shù)多次式的根),化圓為方的不可能性也得以確立。
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