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高二數學期末考試題2016
孩子成功教育從好習慣培養開始，下面是小編整理的高二數學期末考試題2016，大家一起來看看吧。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.
1.命題“a=0，則ab=0”的逆否命題是( )
A.若ab=0，則a=0 B.若a≠0，則ab≠0 C.若ab=0，則a≠0 D.若ab≠0，則a≠0
2.橢圓 + =1的長軸長是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3.已知函數f(x)=x2+sinx，則f′(0)=( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.3
4.“a>1”是“a2<1”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.雙曲線 =1的漸近線方程是( )
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
6.已知y=f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后減 B.x=﹣2是函數f(x)極小值點
C.f(x)在(﹣1，1)上是增函數 D.x=1是函數f(x)的極大值點
7.已知雙曲線的離心率e= ，點(0，5)為其一個焦點，則該雙曲線的標準方程為( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
8.函數f(x)=xlnx的單調遞減區間為( )
A.(﹣∞， ) B.(0， ) C.(﹣∞，e) D.(e，+∞)
9.若方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數m的取值范圍為( )
A.(﹣∞，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
10.已知命題p：∀x∈(0，+∞)，2x>3x，命題q：∃x0∈(0，+∞)，x >x ，則下列命題中的真命題是( )
A.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.(￢p)∧q
11.f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3) B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞) C.(﹣3，0)∪(3，+∞) D.(﹣3，0)∪(0，3)
12.過點M(2，﹣1)作斜率為 的直線與橢圓 + =1(a>b>0)相交于A，B兩個不同點，若M是AB的中點，則該橢圓的離心率e=( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分.、共16分.
13.拋物線x2=4y的焦點坐標為 .
14.已知命題p：∃x0∈R，3 =5，則￢p為 .
15.已知曲線f(x)=xex在點P(x0，f(x0))處的切線與直線y=x+1平行，則點P的坐標為 .
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零點x0，且x0<0，則實數a的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共7小題，共48分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知命題p：函數y=kx是增函數，q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，若p∧(￢q)為真命題，求實數k的取值范圍.
18.已知函數f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值為3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
19.已知點P(1，﹣2)在拋物線C：y2=2px(p>0)上.
(1)求拋物線C的方程及其準線方程;
(2)若過拋物線C焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩個不同點，求|AB|的最小值.
20.已知函數f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函數f(x)在x= 處取得極值，求實數a的值;
(2)求證：當a≤1時，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
21.已知函數f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函數f(x)在x= 處取得極值，求實數a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求實數a的取值范圍.
22.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率e= ，點P(﹣ ，1)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數k的取值范圍.
23.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率e= ，原點到直線 + =1的距離為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數k的取值范圍.
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.
1.命題“a=0，則ab=0”的逆否命題是( )
A.若ab=0，則a=0 B.若a≠0，則ab≠0 C.若ab=0，則a≠0 D.若ab≠0，則a≠0
【考點】四種命題間的逆否關系.
【分析】根據互為逆否的兩命題是條件和結論先逆后否來解答.
【解答】解：因為原命題是“a=0，則ab=0”，
所以其逆否命題為“若ab≠0，則a≠0”，
故選D.
2.橢圓 + =1的長軸長是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】直接利用橢圓的標準方程求解實軸長即可.
【解答】解：橢圓 + =1的實軸長是：2a=6.
故選：D.
3.已知函數f(x)=x2+sinx，則f′(0)=( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.3
【考點】導數的運算.
【分析】求函數的導數，利用代入法進行求解即可.
【解答】解：函數的導數f′(x)=2x+cosx，
則f′(0)=cos0=1，
故選：C.
4.“a>1”是“a2<1”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】由a2<1解得﹣1
【解答】解：由a2<1解得﹣1
∴“a>1”是“a2<1”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
5.雙曲線 =1的漸近線方程是( )
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
【考點】雙曲線的標準方程.
【分析】利用雙曲線的簡單性質直接求解.
【解答】解：雙曲線 =1的漸近線方為 ，
整理，得y= .
故選：C.
6.已知y=f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后減 B.x=﹣2是函數f(x)極小值點
C.f(x)在(﹣1，1)上是增函數 D.x=1是函數f(x)的極大值點
【考點】利用導數研究函數的單調性.
【分析】本小題考查導數的運用;根據導數值與0的關系判斷各個選項即可.
【解答】解：由圖象得：﹣30，﹣2
∴f(x)在(﹣3，﹣2)遞增，在(﹣2，﹣1)遞減，
故選：A.
7.已知雙曲線的離心率e= ，點(0，5)為其一個焦點，則該雙曲線的標準方程為( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
【考點】雙曲線的簡單性質.
【分析】設雙曲線的方程為 ﹣ =1(a，b>0)，運用離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a=3，b=4，進而得到所求雙曲線的方程.
【解答】解：設雙曲線的方程為 ﹣ =1(a，b>0)，
由題意可得e= = ，c=5，
可得a=3，b= =4，
即有雙曲線的標準方程為 ﹣ =1.
故選：D.
8.函數f(x)=xlnx的單調遞減區間為( )
A.(﹣∞， ) B.(0， ) C.(﹣∞，e) D.(e，+∞)
【考點】利用導數研究函數的單調性.
【分析】求出函數的定義域，求出函數的導函數，令導函數小于等于0求出x的范圍，寫出區間形式即得到函數y=xlnx的單調遞減區間.
【解答】解：函數的定義域為x>0
∵y′=lnx+1
令lnx+1<0得0
∴函數y=xlnx的單調遞減區間是( 0， )，
故選：B.
9.若方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數m的取值范圍為( )
A.(﹣∞，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】由題意可得m﹣1>3﹣m>0，解不等式即可得到所求范圍.
【解答】解：方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓，
可得m﹣1>3﹣m>0，
解得2
故選：C.
10.已知命題p：∀x∈(0，+∞)，2x>3x，命題q：∃x0∈(0，+∞)，x >x ，則下列命題中的真命題是( )
A.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.(￢p)∧q
【考點】復合命題的真假.
【分析】根據∀x∈(0，+∞)，2x<3x，是真命題，再根據復合命題之間的判定方法即可判斷出真假.
【解答】解：命題p：∀x∈(0，+∞)，2x>3x，是假命題，例如取x=2不成立;
命題q：∵∀x∈(0，+∞)，2x<3x，因此命題q是假命題，
∴只有(￢p)∧(￢q)是真命題.
故選：C.
11.f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3) B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞) C.(﹣3，0)∪(3，+∞) D.(﹣3，0)∪(0，3)
【考點】利用導數研究函數的單調性;函數奇偶性的性質.
【分析】構造函數h(x)=f(x)g(x)，利用已知可判斷出其奇偶性和單調性，進而即可得出不等式的解集.
【解答】解：令h(x)=f(x)g(x)，則h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x)，因此函數h(x)在R上是奇函數.
①∵當x<0時，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，∴h(x)在x<0時單調遞增，
故函數h(x)在R上單調遞增.
∵h(﹣3)=f(﹣3)g(﹣3)=0，
∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(﹣3)，
∴x<﹣3.
②當x>0時，函數h(x)在R上是奇函數，可知：h(x)在(0，+∞)上單調遞增，且h(3)=﹣h(﹣3)=0，
∴h(x)<0，的解集為(0，3).
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(﹣∞，﹣3)∪(0，3).
故選：A
12.過點M(2，﹣1)作斜率為 的直線與橢圓 + =1(a>b>0)相交于A，B兩個不同點，若M是AB的中點，則該橢圓的離心率e=( )
A. B. C. D.
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】利用點差法，結合M是線段AB的中點，斜率為 = = ，即可求出橢圓的離心率.
【解答】解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=4，y1+y2=﹣2，
A，B兩個不同點代入橢圓方程，可得 + =1， + =1，
作差整理可得 + =0，
∵斜率為 = = ，
∴a=2b，
∴c= = b，
∴e= = .
故選：C.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分.、共16分.
13.拋物線x2=4y的焦點坐標為 (0，1) .
【考點】拋物線的簡單性質.
【分析】由拋物線x2=4y的焦點在y軸上，開口向上，且2p=4，即可得到拋物線的焦點坐標.
【解答】解：拋物線x2=4y的焦點在y軸上，開口向上，且2p=4，∴
∴拋物線x2=4y的焦點坐標為(0，1)
故答案為：(0，1)
14.已知命題p：∃x0∈R，3 =5，則￢p為 ∀x∈R，3x≠5 .
【考點】命題的否定.
【分析】由特稱命題的否定方法可得結論.
【解答】解：由特稱命題的否定可知：
￢p：∀x∈R，3x≠5，
故答案為：∀x∈R，3x≠5.
15.已知曲線f(x)=xex在點P(x0，f(x0))處的切線與直線y=x+1平行，則點P的坐標為 (0，0) .
【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】求出f(x)的導數，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得x0為x+1=e﹣x的解，運用單調性可得方程的解，進而得到P的坐標.
【解答】解：f(x)=xex的導數為f′(x)=(x+1)ex，
可得切線的斜率為(x0+1)ex0，
由切線與直線y=x+1平行，可得
(x0+1)ex0=1，
即有x0為x+1=e﹣x的解，
由y=x+1﹣e﹣x，在R上遞增，且x=0時，y=0.
即有x0=0，
則P的坐標為(0，0).
故答案為：(0，0).
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零點x0，且x0<0，則實數a的取值范圍是 (﹣∞，﹣2) .
【考點】利用導數研究函數的極值;函數零點的判定定理.
【分析】討論a的取值范圍，求函數的導數判斷函數的極值，根據函數極值和單調性之間的關系進行求解即可.
【解答】解：(i)當a=0時，f(x)=﹣3x2+1，令f(x)=0，解得x= ，函數f(x)有兩個零點，舍去.
(ii)當a≠0時，f′(x)=3ax2+6x=3ax(x+ )，令f′(x)=0，解得x=0或﹣ .
①當a<0時，﹣ >0，當x>﹣ 或x<0，f′(x)<0，此時函數f(x)單調遞減;當00，此時函數f(x)單調遞增.
∴故x=﹣ 是函數f(x)的極大值點，0是函數f(x)的極小值點.
∵函數f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零點x0，且x0<0，則f(﹣ )=﹣ + ﹣1= ﹣1<0，
即a2>4得a>2(舍)或a<﹣2.
②當a>0時，﹣ <0，當x<﹣ 或x>0時，f′(x)>0，此時函數f(x)單調遞增;
當﹣
∴x=﹣ 是函數f(x)的極大值點，0是函數f(x)的極小值點.
∵f(0)=﹣1<0，
∴函數f(x)在(0，+∞)上存在一個零點，此時不滿足條件.
綜上可得：實數a的取值范圍是(﹣∞，﹣2).
故答案為：(﹣∞，﹣2).
三、解答題：本大題共7小題，共48分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知命題p：函數y=kx是增函數，q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，若p∧(￢q)為真命題，求實數k的取值范圍.
【考點】復合命題的真假.
【分析】命題p：函數y=kx是增函數，利用一次函數的單調性可得k>0.命題q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，可得k>1.由于p∧(￢q)為真命題，可得p為真命題，q為假命題.即可得出.
【解答】解：命題p：函數y=kx是增函數，∴k>0.
命題q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，∴k>1.
∵p∧(￢q)為真命題，∴p為真命題，q為假命題.
∴ ，解得0
∴實數k的取值范圍是0
18.已知函數f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值為3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
【考點】二次函數的性質.
【分析】求導并判斷導數的正負，從而確定單調區間;由最大值建立方程求出m的值，進而求出最小值.
【解答】解：f′(x)=6x2﹣12x，令f′(x)=0，則x=0或x=2，
x (﹣∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f(x) 正 0 負 0 正
f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
∴f(x)在[﹣2，0]上單調遞增，在(0，2]上單調遞減，
∴f(x)max=f(0)=m=3，
即f(x)=2x3﹣6x2+3，
又∵f(﹣2)=﹣37，f(2)=﹣5，
∴f(x)min=f(﹣2)=﹣37.
19.已知點P(1，﹣2)在拋物線C：y2=2px(p>0)上.
(1)求拋物線C的方程及其準線方程;
(2)若過拋物線C焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩個不同點，求|AB|的最小值.
【考點】拋物線的簡單性質.
【分析】(1)根據點P(1，﹣2)在拋物線C：y2=2px(p>0)上，可得p值，即可求拋物線C的方程及其準線方程;
(2)設直線l的方程為：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韋達定理和拋物線的定義知|AB|=4(m2+1)≥4，由此能求出|AB|的最小值.
【解答】解：∵點P(1，﹣2)在拋物線C：y2=2px(p>0)上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴拋物線C的方程為y2=4x，準線方程為x=﹣1;
(2)設直線l的方程為：x+my﹣1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1，y2是上述關于y的方程的兩個不同實根，所以y1+y2=﹣4m
根據拋物線的定義知：|AB|=x1+x2+2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=4(m2+1)
∴|AB|=4(m2+1)≥4，
當且僅當m=0時，|AB|有最小值4.
20.已知函數f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函數f(x)在x= 處取得極值，求實數a的值;
(2)求證：當a≤1時，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
【考點】利用導數求閉區間上函數的最值;利用導數研究函數的極值.
【分析】(1)求出函數的導數，根據f′( )=0，解出驗證即可;(2)求出函數的導數，通過a的范圍，確定導函數的符號，求出函數f(x)的單調性，從而判斷f(x)的范圍.
【解答】解：(1)f(x)的定義域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 時，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )遞增，在( ，1)遞減，
f(x)在x= 處取得極值，
故a= 符合題意;
(2)f′(x)=1+ ﹣ = ，
當a≤1時，則2a﹣1≤1，
∴f′(x)>0在(1，+∞)恒成立，
函數f(x)遞增，
∴f(x)≥f(1)=2(1﹣a)≥0.
21.已知函數f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函數f(x)在x= 處取得極值，求實數a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求實數a的取值范圍.
【考點】利用導數求閉區間上函數的最值;利用導數研究函數的單調性;利用導數研究函數的極值.
【分析】(1)求出函數的導數，根據f′( )=0，解出驗證即可;
(2)依題意有：fmin(x，)≥0從而求出f(x)的導數，令f′(x)=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通過討論①當2a﹣1≤1即a≤1時②當2a﹣1>1即a>1時，進而求出a的范圍
【解答】解：(1)f(x)的定義域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 時，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )遞增，在( ，1)遞減，
f(x)在x= 處取得極值，
故a= 符合題意;
(2)依題意有：fmin(x，)≥0
f′(x)= ，
令f′(x)=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①當2a﹣1≤1即a≤1時，
函數f'(x)≥0在[1，+∞)恒成立，
則f(x)在[1，+∞)單調遞增，
于是fmin(x)=f(1)=2﹣2a≥0，
解得：a≤1;
②當2a﹣1>1即a>1時，
函數f(x)在[1，2a﹣1]單調遞減，在[2a﹣1，+∞)單調遞增，
于是fmin(x)=f(2a﹣1)
綜上所述：實數a的取值范圍是a≤1.
22.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率e= ，點P(﹣ ，1)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數k的取值范圍.
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】(1)根據離心率公式和點滿足橢圓方程，結合b2=a2﹣c2，即可求得橢圓C的方程;
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中點(x0，y0)，直線y=kx+1且k≠0，恒過(0，1)，點B，A在橢圓上，化簡可得y0= =﹣1，AB的中點在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到結果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
將P(﹣ ，1)代入橢圓方程，可得 + =1，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴橢圓C的方程為： + =1;
(2)橢圓C上存在點B，A關于直線y=kx+1對稱，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中點(x0，y0)，直線y=kx+1且k≠0，恒過(0，1)，
則x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
點B，A在橢圓上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化簡可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因為AB的中點在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣ <0，
即k<﹣ 或k> .
則k的取值范圍是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞).
23.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率e= ，原點到直線 + =1的距離為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數k的取值范圍.
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】(1)根據離心率公式和點到直線的距離公式，結合b2=a2﹣c2，即可求得橢圓C的方程;
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中點(x0，y0)，直線y=kx+1且k≠0，恒過(0，1)，點B，A在橢圓上，化簡可得y0= =﹣1，AB的中點在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到結果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
原點到直線 + =1的距離為 ，
即有 = ，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴橢圓C的方程為： + =1;
(2)橢圓C上存在點B，A關于直線y=kx+1對稱，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中點(x0，y0)，直線y=kx+1且k≠0，恒過(0，1)，
則x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
點B，A在橢圓上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化簡可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因為AB的中點在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣ <0，
即k<﹣ 或k> .
則k的取值范圍是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞)
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