高一數學試題與解析

　　一、選擇題

　　1.(2009湖北荊州質檢二)過點P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直線的方程為

　　( )

　　A.x-y-3=0 B.x+y+3=0

　　C.x+y-3=0 D.x-y+3=0

　　答案：C

　　解析：方向向量為v=(-1,1)，則直線的斜率為-1，直線方程為y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故選C.

　　2.(2009重慶市高三聯合診斷性考試)將直線l1：y=2x繞原點逆時針旋轉60°得直線l2，則直線l2到直線l3：x+2y-3=0的角為 ( )

　　A.30° B.60° C.120° D.150°

　　答案：A

　　解析：記直線l1的斜率為k1，直線l3的斜率為k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依題意畫出示意圖，結合圖形分析可知，直線l2到直線l3的角是30°，選A.

　　3.(2009東城3月)設A、B為x軸上兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|=|PB|，若直線PA的方程x-y+1=0，則直線PB的方程為 ( )

　　A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0

　　C.x-2y+4=0 D.x+y-5=0

　　答案：D

　　解析：因kPA=1，則kPB=-1，又A(-1,0)，點P的橫坐標為2，則B(5,0)，直線PB的方程為x+y-5=0，故選D.

　　4.過兩點(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為 ( )

　　A.-32 B.32 C.3 D.-3

　　答案：A

　　解析：由兩點式，得y-31-3=x-0-1-0，

　　即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，

　　即在x軸上的截距為-32.

　　5.直線x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0無公共點，則a的值是 ( )

　　A.3 B.0 C.-1 D.0或-1

　　答案：D

　　解析：當a=0時，兩直線方程分別為x+6=0和x=0，顯然無公共點;當a≠0時，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而當a=3時，兩直線重合，∴a=0或-1.

　　6.兩直線2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交點在第二象限，則m的取值范圍是

　　( )

　　A.-32≤m≤2 B.-32

　　C.-32≤m<2 D.-32

　　答案：B

　　解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得兩直線的交點坐標為(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交點在第二象限知橫坐標為負、縱坐標為正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0-32

　　7.(2009福建，9)在平面直角坐標系中，若不等式組x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a為常數)所表示的平面區域的面積等于2，則a的值為 ( )

　　A.-5 B.1 C.2 D.3

　　答案：D

　　解析：不等式組x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所圍成的區域如圖所示.

　　∵其面積為2，∴|AC|=4，

　　∴C的坐標為(1,4)，代入ax-y+1=0，

　　得a=3.故選D.

　　8.(2009陜西，4)過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為

　　( )

　　A.3 B.2 C.6 D.23

　　答案：D

　　解析：∵直線的方程為y=3x，圓心為(0,2)，半徑r=2.

　　由點到直線的距離公式得弦心距等于1，從而所求弦長等于222-12=23.故選D.

　　9.(2009西城4月，6)與直線x-y-4=0和圓x2+y2+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓的方程是 ( )

　　A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4

　　C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)=4

　　答案：C

　　解析：圓x2+y2+2x-2y=0的圓心為(-1,1)，半徑為2，過圓心(-1,1)與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0，所求的圓的圓心在此直線上，排排除A、B，圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離為62=32，則所求的圓的半徑為2，故選C.

　　10.(2009安陽，6)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O為原點，則實數a的值為 ( )

　　A.2 B.-2C.2或-2 D.6或-6

　　答案：C

　　解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為2，即|a|2=2，a=±2，故選C.

　　11.(2009河南實驗中學3月)若直線l：ax+by=1與圓C：x2+y2=1有兩個不同交點，則點P(a，b)與圓C的位置關系是 ( )

　　A.點在圓上 B.點在圓內C.點在圓外 D.不能確定

　　答案：C

　　解析：直線l：ax+by=1與圓C：x2+y2=1有兩個不同交點，則1a2+b2<1，a2+b2>1，點P(a，b)在圓C外部，故選C.

　　12.(2010保定市高三摸底考試)從原點向圓x2+(y-6)2=4作兩條切線，則這兩條切線夾角的大小為 ( )

　　A.π6 B.π2C.arccos79 D.arcsin229

　　答案：C

　　解析：如圖，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故選C.

　　二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填在題中的橫線上。)

　　13.(2010湖南長沙一中)已知直線l1：ax+y+2a=0，直線l2：ax-y+3a=0.若l1⊥l2，則a=________.

　　答案：±1

　　解析：∵l1⊥l2，∴kl1kl2=-1，即(-a)a=-1，∴a=±1.

　　14.點P(a,3)到直線4x-3y+1=0的距離等于4，且在不等式2x+y<4表示的平面區域內，則P點的坐標為__________.

　　答案：(-3,3)

　　解析：因|4a-9+1|5=4，∴a=7，a=-3.

　　當a=7時，不滿足2x+y<4(舍去)，∴a=-3.

　　15.(2009朝陽4月，12)已知動直線l平分圓C：(x-2)2+(y-1)2=1，則直線l與圓：x=3cosθ，y=3sinθ，(θ為參數)的位置關系是________.

　　答案：相交

　　解析：動直線l平分圓C：(x-2)2+(y-1)2=1，即圓心(2,1)在直線上，又圓O：x=3cosθ，y=3sinθ，即x2+y2=9，且22+12<9，(2,1)在圓O內，則直線l與圓O：

　　x=3cosθ，y=3sinθ，(θ為參數)的位置關系是相交，故填相交.

　　16.(2009山東濟南一模)若直線y=kx-2與圓x2+y2=2相交于P、Q兩點，且∠POQ=120°(其中O為原點)，k的值為________.

　　答案：±3

　　解析：由圖可知，點P的坐標為(0，-2)，

　　∠OPQ=30°，∴直線y=kx-2的傾斜角為60°或120°，∴k=±3.

　　三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。)

　　17.(本小題滿分10分)求經過7x+8y=38及3x-2y=0的交點且在兩坐標軸上截得的截距相等的直線方程.

　　解析：易得交點坐標為(2,3)

　　設所求直線為7x+8y-38+λ(3x-2y)=0，

　　即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0，

　　令x=0，y=388-2λ，

　　令y=0，x=387+3λ，

　　由已知，388-2λ=387+3λ，

　　∴λ=15，即所求直線方程為x+y-5=0.

　　又直線方程不含直線3x-2y=0，而當直線過原點時，在兩軸上的截距也相等，故3x-2y=0亦為所求.

　　18.(本小題滿分12分)已知直線l經過點P(3,1)，且被兩平行直線l1;x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的線段之長為5，求直線l的方程.

　　分析一：如圖，利用點斜式方程，分別與l1、l2聯立，求得兩交點A、B的坐標(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，從而求得l的方程.

　　解析：解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3，此時與l1、l2的交點分別為A′(3，-4)或B′(3，-9)，截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5，符合題意.

　　若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k(x-3)+1.

　　解方程組y=k(x-3)+1，x+y+1=0，得

　　A(3k-2k+1，-4k-1k+1).

　　解方程組y=k(x-3)+1，x+y+6=0，得

　　B(3k-7k+1，-9k-1k+1).

　　由|AB|=5.

　　得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.

　　解之，得k=0，直線方程為y=1.

　　綜上可知，所求l的方程為x=3或y=1.

　　分析二：用l1、l2之間的距離及l與l1夾角的關系求解.

　　解法二：由題意，直線l1、l2之間的距離為d=|1-6|2=522，且直線L被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長為5，設直線l與直線l1的夾角為θ，則sinθ=5225=22，故θ=45°.

　　由直線l1：x+y+1=0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°，又由直線l過點P(3,1)，故直線l的方程為：

　　x=3或y=1.

　　分析三：設直線l1、l2與l分別相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則通過求出y1-y2，x1-x2的值確定直線l的斜率(或傾斜角)，從而求得直線l的方程.

　　解法三：設直線l與l1、l2分別相交A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1+y1+1=0，x2+y2+6=0.

　　兩式相減，得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ①

　　又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25. ②

　　聯立①、②可得

　　x1-x2=5，y1-y2=0，或x1-x2=0，y1-y2=5.

　　由上可知，直線l的傾斜角分別為0°或90°.

　　故所求的直線方程為x=3或y=1.

　　19.(本小題滿分12分)設圓上的點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為22，求圓的方程.

　　解析：設所求圓的圓心為(a，b)，半徑為r，

　　∵點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點A′仍在這個圓上，

　　∴圓心(a，b)在直線x+2y=0上，

　　∴a+2b=0， ①

　　(2-a)2+(3-b)2=r2. ②

　　又直線x-y+1=0截圓所得的弦長為22，

　　∴r2-(a-b+12)2=(2)2 ③

　　解由方程①、②、③組成的方程組得：

　　b=-3，a=6，r2=52.或b=-7，a=14，r2=244，

　　∴所求圓的方程為

　　(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

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