2017年八年級數學上期末試卷及答案
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一、選擇題
1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式 的值為0，則( )
A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2
3.在0.51525354…、 、0.2、 、 、 、 中，無理數的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.下列說法中正確的是( )
A.9的平方根為3 B. 化簡后的結果是
C. 最簡二次根式 D.﹣27沒有立方根
5.下列運算中正確的是( )
A. B.
C. D.
6.下列二次根式中，與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
7.式子 有意義的x取值范圍是( )
A.x≠1 B.x≥﹣ C.x≥﹣ 且x≠1 D.x>﹣ 且x≠1
8.化簡 × 結果是( )
A. B. C. D.
9.已知等腰三角形的兩條邊長為1和 ，則這個三角形的周長為( )
A. B. C. 或 D.
10.直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊的長為( )
A.10 B.2 C.10或2 D.無法確定
11.如圖，一根木棍斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑動過程中，點P到點O的距離( )
A.變小 B.不變 C.變大 D.無法判斷
12.如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
13.如圖，AD是△ABC的中線，E，F分別是AD和AD延長線上的點，且DE=DF，連接BF，CE、下列說法：①CE=BF;②△ABD和△ACD面積相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
14.已知1≤a≤ ，化簡 +|a﹣2|的結果是( )
A.2a﹣3 B.2a+3 C.1 D.3
15.某市需要鋪設一條長660米的管道，為了盡量減少施工對城市交通造成的影響，實際施工時，每天鋪設管道的長度比原計劃增加10%，結果提前6天完成.求實際每天鋪設管道的長度與實際施工天數.小宇同學根據題意列出方程 ﹣ =6.則方程中未知數x所表示的量是( )
A.實際每天鋪設管道的長度 B.實際施工的天數
C.原計劃施工的天數 D.原計劃每天鋪設管道的長度
16.如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1B2，A2B2=A2B3，A3B3=A3B4，…若∠A=70°，則∠An的度數為( )
A. B. C. D.
二、填空題(每小題3分，共12分)
17. .(填“>”、“<”或“=”)
18.計算 的結果是 .
19.如圖，已知△ABC的周長是24，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，則△ABC的面積是 .
20.如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，連接ED，EB，則△BDE周長的最小值為 .
三、解答題(本題共6個小題，共66分)
21.先化簡，再求值： ，其中x= ﹣1.
22.(1)計算：(3﹣ )(3+ )+ (2﹣ )
(2)解方程： +1= .
23.如圖，點B，F，C，E在直線l上(F，C之間不能直接測量)，點A，D在l異側，測得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
(1)求證：△ABC≌△DEF;
(2)指出圖中所有平行的線段，并說明理由.
24.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積.
某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.
25.甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米.甲同學先步行600米，然后乘公交車去學校、乙同學騎自行車去學校.已知甲步行速度是乙騎自行車速度的 ，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍.甲乙兩同學同時從家發(fā)去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘.
(1)求乙騎自行車的速度;
(2)當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠?
26.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，點B、D分別在AN、AM上.
(1)如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數量關系，并證明之;
(2)如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，則(1)中的結論是否仍然成立?若成立，給出證明;若不成立，請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(1-6小題，每小題2分，7-16小題，每小題2分，共42分)
1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】依據軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義回答即可.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故A錯誤;
B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B錯誤;
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤;
D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故D正確.
故選：D.
2.若分式 的值為0，則( )
A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】根據分式的值為0的條件列出關于x的不等式組，求出x的值即可.
【解答】解：∵分式 的值為0，
∴ ，解得x=1.
故選：C.
3.在0.51525354…、 、0.2、 、 、 、 中，無理數的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】無理數.
【分析】先把 化為 ， 化為3的形式，再根據無理數就是無限不循環(huán)小數進行解答即可.
【解答】解：∵ = ， =3，
∴在這一組數中無理數有：在0.51525354…、 、 共3個.
故選B.
4.下列說法中正確的是( )
A.9的平方根為3 B. 化簡后的結果是
C. 最簡二次根式 D.﹣27沒有立方根
【考點】分母有理化;平方根;立方根;最簡二次根式.
【分析】根據平方根和立方根的定義作判斷.
【解答】解：A、9的平方根是±3，所以選項A不正確;
B、 = = ，所以選項B正確;
C、 =2 ，所以 不是最簡二次根式，選項C不正確;
D、﹣27的立方根是﹣3，所以選項D不正確.
故選B.
5.下列運算中正確的是( )
A. B.
C. D.
【考點】分式的基本性質;分式的加減法.
【分析】A選項是分式的加法運算，先通分，然后再相加;B、C、D可根據分式的基本性質逐項進行判斷.
【解答】解：A、 ，故A錯誤.
B、 ，故B錯誤.
C、 = ，故C正確.
D、 =x+y，故D錯誤.
故選C.
6.下列二次根式中，與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
【考點】同類二次根式.
【分析】直接利用同類二次根式的定義分別化簡二次根式求出答案.
【解答】解：A、 =3 ，與 不是同類二次根式，故此選項錯誤;
B、 = ，與 ，是同類二次根式，故此選項正確;
C、 =2 ，與 不是同類二次根式，故此選項錯誤;
D、 = = ，與 不是同類二次根式，故此選項錯誤;
故選：B.
7.式子 有意義的x取值范圍是( )
A.x≠1 B.x≥﹣ C.x≥﹣ 且x≠1 D.x>﹣ 且x≠1
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解.
【解答】解：由題意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣ 且x≠1.
故選C.
8.化簡 × 結果是( )
A. B. C. D.
【考點】二次根式的乘除法.
【分析】直接利用二次根式的性質化簡求出答案.
【解答】解： × = = .
故選：A.
9.已知等腰三角形的兩條邊長為1和 ，則這個三角形的周長為( )
A. B. C. 或 D.
【考點】二次根式的應用;等腰三角形的性質.
【分析】分1是腰長和底邊長兩種情況討論求解.
【解答】解：1是腰時，三角形的三邊分別為1、1、 ，
∵1+1=2< ，
∴此時不能組成三角形;
1是底邊時，三角形的三邊分別為1、 、 ，
能夠組成三角形，
周長為1+ + =1+2 ，
綜上所述，這個三角形的周長為1+2 .
故選B.
10.直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊的長為( )
A.10 B.2 C.10或2 D.無法確定
【考點】勾股定理.
【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即較長是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.
【解答】解：長為8的邊可能為直角邊，也可能為斜邊.
當8為直角邊時，根據勾股定理，第三邊的長= =10;
當8為斜邊時，根據勾股定理，第三邊的長= =2 .
故選C.
11.如圖，一根木棍斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑動過程中，點P到點O的距離( )
A.變小 B.不變 C.變大 D.無法判斷
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出OP= AB=a，即可得出答案.
【解答】解：在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，
理由是：連接OP，
∵∠AOB=90°，P為AB中點，AB=2a，
∴OP= AB=a，
即在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，永遠是a;
故選B.
12.如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
【考點】全等三角形的判定.
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可.
【解答】解：∵AB=AC，∠A為公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD;
B、如添AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD;
C、如添BD=CE，等量關系可得AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD;
D、如添BE=CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件.
故選：D.
13.如圖，AD是△ABC的中線，E，F分別是AD和AD延長線上的點，且DE=DF，連接BF，CE、下列說法：①CE=BF;②△ABD和△ACD面積相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】根據題意，結合已知條件與全等的判定方法對選項一一進行分析論證，排除錯誤答案.
【解答】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正確;
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正確;
∵AD是△ABC的中線，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面積相等，故②正確;
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正確.
故選：D.
14.已知1≤a≤ ，化簡 +|a﹣2|的結果是( )
A.2a﹣3 B.2a+3 C.1 D.3
【考點】二次根式的性質與化簡.
【分析】根據二次根式的性質、絕對值的性質，可化簡整式，根據整式的加減，可得答案.
【解答】解：由1≤a≤ ，得
+|a﹣2=a﹣1+2﹣a=1，
故選：C.
15.某市需要鋪設一條長660米的管道，為了盡量減少施工對城市交通造成的影響，實際施工時，每天鋪設管道的長度比原計劃增加10%，結果提前6天完成.求實際每天鋪設管道的長度與實際施工天數.小宇同學根據題意列出方程 ﹣ =6.則方程中未知數x所表示的量是( )
A.實際每天鋪設管道的長度 B.實際施工的天數
C.原計劃施工的天數 D.原計劃每天鋪設管道的長度
【考點】分式方程的應用.
【分析】小宇所列方程是依據相等關系：原計劃所用時間﹣實際所用時間=6，可知方程中未知數x所表示的量.
【解答】解：設原計劃每天鋪設管道x米，則實際每天鋪設管道(1+10%)x，
根據題意，可列方程： ﹣ =6，
所以小宇所列方程中未知數x所表示的量是原計劃每天鋪設管道的長度，
故選：D.
16.如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1B2，A2B2=A2B3，A3B3=A3B4，…若∠A=70°，則∠An的度數為( )
A. B. C. D.
【考點】等腰三角形的性質.
【分析】先根據等腰三角形的性質求出∠BA1A的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度數，找出規(guī)律即可得出∠An﹣1AnBn﹣1的度數.
【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=∠A=70°，
∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1= =35°;
同理可得，
∠B2A3A2=40°，∠B3A4A3=20°，
∴∠An﹣1AnBn﹣1= .
故選C.
二、填空題(每小題3分，共12分)
17. > .(填“>”、“<”或“=”)
【考點】實數大小比較;不等式的性質.
【分析】求出 >2，不等式的兩邊都減1得出 ﹣1>1，不等式的兩邊都除以2即可得出答案.
【解答】解：∵ >2，
∴ ﹣1>2﹣1，
∴ ﹣1>1
∴ > .
故答案為：>.
18.計算 的結果是 .
【考點】實數的運算.
【分析】首先化簡 ，然后根據實數的運算法則計算.
【解答】解： =2 ﹣ = .
故答案為： .
19.如圖，已知△ABC的周長是24，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，則△ABC的面積是 36 .
【考點】角平分線的性質.
【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AB、AC、BC的距離都相等，從而可得到△ABC的面積等于周長的一半乘以OD，然后列式進行計算即可求解.
【解答】解：如圖，連接OA，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴點O到AB、AC、BC的距離都相等，
∵△ABC的周長是24，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×24×3=36，
故答案為：36.
20.如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，連接ED，EB，則△BDE周長的最小值為 2 +2 .
【考點】軸對稱-最短路線問題.
【分析】作B關于AC的對稱點B′，連接B′D、B′C、BE，得B′C=BC=4，且△BB′C是等腰直角三角形，所以利用勾股定理得DB′的長，所以可以求得△BDE的周長的最小值為2 +2.
【解答】解：過B作BO⊥AC于O，延長BO至B′，使BO=B′O，連接B′D，交AC于E，連接BE、B′C，
∴AC為BB′的垂直平分線，
∴BE=B′E，B′C=BC=4，
此時△BDE的周長為最小，
∵∠B′BC=45°，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BCB′=90°，
∵D為BC的中點，
∴BD=DC=2，
∴B′D= = =2 ，
∴△BDE的周長=BD+DE+BE=B′E+DE+BD=DB′+DB=2 +2，
故答案為：2 +2.
三、解答題(本題共6個小題，共66分)
21.先化簡，再求值： ，其中x= ﹣1.
【考點】二次根式的化簡求值;分式的混合運算.
【分析】把分子進行因式分解，和分母達到約分的目的，然后代值計算.
【解答】解：原式=
=
=
=
當x= ﹣1時，原式=1.
22.(1)計算：(3﹣ )(3+ )+ (2﹣ )
(2)解方程： +1= .
【考點】二次根式的混合運算;解分式方程.
【分析】(1)利用平方差公式進行計算，并化簡即可;
(2)先去分母方程的兩邊同時乘以x﹣2，解方程，并進行檢驗.
【解答】解：(1)計算：(3﹣ )(3+ )+ (2﹣ )，
=9﹣7+2 ﹣2，
=2 ;
(2)解方程： +1= ，
去分母得：x﹣3+x﹣2=﹣3，
2x=2，
x=1，
檢驗：當x=1時，x﹣2=1﹣2≠0，
∴x=1是原方程的解.
23.如圖，點B，F，C，E在直線l上(F，C之間不能直接測量)，點A，D在l異側，測得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
(1)求證：△ABC≌△DEF;
(2)指出圖中所有平行的線段，并說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)先證明BC=EF，再根據SSS即可證明.
(2)結論AB∥DE，AC∥DF，根據全等三角形的性質即可證明.
【解答】(1)證明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)結論：AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF.
24.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積.
某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.
【考點】勾股定理.
【分析】根據題意利用勾股定理表示出AD2的值，進而得出等式求出答案.
【解答】解：如圖，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
設BD=x，則CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣(14﹣x)2，
故152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，
解之得：x=9.
∴AD=12.
∴S△ABC= BC•AD= ×14×12=84.
25.甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米.甲同學先步行600米，然后乘公交車去學校、乙同學騎自行車去學校.已知甲步行速度是乙騎自行車速度的 ，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍.甲乙兩同學同時從家發(fā)去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘.
(1)求乙騎自行車的速度;
(2)當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠?
【考點】分式方程的應用.
【分析】(1)設乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是 x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，
根據題意列方程即可得到結論;
(2)300×2=600米即可得到結果.
【解答】解：(1)設乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是 x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，
根據題意得 + = ﹣2，
解得：x=300米/分鐘，
經檢驗x=300是方程的根，
答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘;
(2)∵300×2=600米，
答：當甲到達學校時，乙同學離學校還有600米.
26.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，點B、D分別在AN、AM上.
(1)如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數量關系，并證明之;
(2)如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，則(1)中的結論是否仍然成立?若成立，給出證明;若不成立，請說明理由.
【考點】角平分線的性質;全等三角形的判定與性質;含30度角的直角三角形.
【分析】(1)得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以證得AD=AB= AC從而，證得結論;
(2)過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF，從而證得結論.
【解答】(1)關系是：AD+AB=AC
證明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°
則AD=AB= AC(直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半)
∴AD+AB=AC;
(2)仍成立.
證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F
∵AC平分∠MAN
∴CE=CF(角平分線上點到角兩邊距離相等)
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC
又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB(AAS)
∵ED=FB，∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF
由(1)知AE+AF=AC
∴AD+AB=AC
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