二元一次方程組的圖象解法教案設計

　　素質教育提出以學生為主體，教師為主導，教材為主線，在教學中要真正體現學生的主體性，就必須使認知過程是一個再創造的過程，使學生在自覺、主動、深層次的參與過程中，實現發現、理解、創造與應用，在學習中學會學習。相比較傳統教學，創設問題情境，使學生產生明顯的意識傾向和情感共鳴，是主體參與的條件和關鍵。變式教學，是實現減負增效、培優提差的有效教學手段。

　　【教學目標】

　　知識目標：

　　①使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系。

　　②能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。

　　能力目標：

　　通過學生的思考和操作,力圖提示出方程與圖象之間的關系,引入二元一次方程組圖象解法,同時培養學生初步的數形結合的意識和能力。

　　情感目標：

　　通過學生的自主探索,提示出方程和圖象之間的對應關系,加強新舊知識的聯系,培養學生的創新意識,激發學生學習數學的興趣。

　　重點要求：

　　1、二元一次方程和一次函數的關系。

　　2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。

　　難點突破：

　　經歷觀察、思考、操作、探究、交流等數學活動，培養學生抽象思維能力，并體會方程和函數之間的對應關系，即數形結合思想。

　　【教學過程】

　　一、學前先思

　　師：請同學們思考，我們已經學過的二元一次方程組的解法有哪些?

　　生：代入消元法、加減消元法。

　　師：請你猜測還有其他的解法嗎?

　　生：(小聲議論，有人提出圖象解法)

　　師：看來的同學似乎已經提前做了預習工作，很好!那么對于課題“二元一次方程組的圖象解法”，你想提什么問題?

　　生：二元一次方程組怎么會有圖象?它的圖象應該怎樣畫?

　　生：二元一次方程組的圖象解法怎么做?

　　師：同學們都問得很好!那你有喜歡的二元一次方程組嗎?

　　生：(比較害羞)

　　師：看來大家比較害羞，那么請大家把各自喜歡的二元一次方程組留在心里。讓我們帶著同學們提出的問題從二元一次方程開始今天的學習。

　　二、探究導學

　　題目：

　　判斷上面幾組解中哪些是二元一次方程的解?

　　生：和不是，其余各組均是方程的解。

　　師：請在學案上的直角坐標系中先畫出一次函數的圖象，再標出以上述的方程的解中為橫坐標，為縱坐標的點，思考：二元一次方程的解與一次函數圖象上的點有什么關系?

　　教學引入

　　師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行折疊處理。

　　動畫演示：

　　場景一：正方形折疊演示

　　師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板(刻度尺)和圓規，我們來研究正方形的幾何性質—邊、角以及對角線之間的關系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。

　　[學生活動：各自測量。]

　　鼓勵學生將測量結果與鄰近同學進行比較，找出共同點。

　　講授新課

　　找一兩個學生表述其結論，表述是要注意糾正其語言的規范性。

　　動畫演示：

　　場景二：正方形的性質

　　師：這些性質里那些是矩形的性質?

　　[學生活動：尋找矩形性質。]

　　動畫演示：

　　場景三：矩形的性質

　　師：同樣在這些性質里尋找屬于菱形的性質。

　　[學生活動;尋找菱形性質。]

　　動畫演示：

　　場景四：菱形的性質

　　師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質。

　　及時提出問題，引導學生進行思考。

　　師：根據這些性質，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準確的定義?

　　[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]

　　師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

　　學生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書：

　　“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”

　　“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”

　　“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”

　　[學生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]

　　師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系梳理一下。

　　生：我發現二元一次方程的解就是相對應的一次函數圖象上的點的坐標。

　　師：很好!反過來，請問：一次函數圖象上的點的坐標是否是與其相對應的二元一次方程的解呢?

　　生：是的。并且二元一次方程的解中的、的值就是相對應的一次函數圖象上點的橫、縱坐標的值。

　　三、鞏固基礎

　　師：非常好!那下面的題目你會解嗎?

　　(學生讀題)題目：方程有一個解是，則一次函數的圖象上必有一個點的坐標為______.

　　生：(2，1)

　　(學生讀題)題目：一次函數的圖象上有一個點的坐標為(3，2)，則方程必有一個解是_________.

　　生：

　　師：你能把下面的二元一次方程轉化成相應的一次函數嗎?

　　(學生讀題)把下列二元一次方程轉化成的形式：

　　(1)(2)

　　生：第(1)題利用移項，得到，所以

　　第(2)題利用移項，得到，兩邊同時除以2，所以

　　四、感悟提升

　　師：如果將和組成二元一次方程組，你能用代入消元法或者加減消元法求出它的解嗎?

　　生：能，我算出

　　師：很好!你能在同一直角坐標系中畫出一次函數與的圖象嗎?

　　生：可以。(動手在學案上畫圖)

　　師：觀察兩條直線的位置關系，你有什么發現?

　　生：我發現這兩條直線相交，并且交點坐標是(2，1)。

　　師：通過以上活動，你能得到什么結論?

　　生：我發現剛剛求出的二元一次方程的解剛好就是一次函數與的圖象的交點坐標(2，1)。

　　師：很好!你能抽象成一般的結論嗎?

　　生：如果兩個一次函數的圖象有一個交點，那么交點的坐標就是相應的二元一次方程組的解。

　　師：非常好!用一次函數的圖象解二元一次方程組的方法就是我們今天要學習的二元一次方程組的圖象解法。

　　師：你能學以致用嗎?

　　y=2x-5

　　y=-x+1

　　題目：如圖，方程組的解是___________.

　　生：根據圖象可知：一次函數與的圖象的交點是(2，-1)，因此，方程組的解是。

　　師：回答得真棒!

　　五、例題教學

　　例題：利用一次函數的圖象解二元一次方程組。

　　師：請大家在學案的做中感悟欄內上大膽地寫出解題過程。

　　生：(投影展示解題過程)略。

　　師：很好!讓我們一起來看一下老師準備的解題過程(略)

　　師：你能就此歸納出二元一次方程組的圖象解法的一般步驟嗎?

　　生：先將二元一次方程組中的方程化成相應的一次函數，然后畫出一次函數的圖象，找出它們的交點坐標，就可以得出二元一次方程組的解。

　　師：非常好!我們可以用12個字的口訣來記住剛才同學的步驟：變函數，畫圖象，找交點，寫結論。

　　師：接下來請同學們在學案上的鞏固強化欄內利用圖象解法求出你心里埋你所喜歡的二元一次方程組的解。

　　生：(各自動手操作，教師展示學生求解過程)

　　師：觀察你作的圖象，你有什么發現嗎?

　　生：我發現有些一次函數圖象的交點比較容易看出來，而有些一次函數圖象的交點不容易看出來是多少。

　　師：是的，所以在這里老師需要說明的是我們用圖象法求解一元二次方程組的解得到的是近似解。

　　師：請大家比較一下，二元一次方程組的圖象解法和我們以前學過的代數解法——代入消元法、加減消元法相比，那種方法簡單一些?

　　生：代入消元法、加減消元法簡單。

　　師：二元一次方程組的圖象解法既不比代數解法簡單，且得到的解又是近似的，為什么我們還要學習這種解法呢?原因有以下幾個方面：一是要讓我們學會從多種角度思考問題，用多種方法解決問題;二是說明了“數”與“形”存在著這樣或那樣的密切聯系，有時我們要從“數”的角度去考慮“形”的問題，有時我們又要從“形”的角度去考慮“數”的問題，這里是從“形”的角度來考慮“數”的問題;三是為了以后進一步學習的需要。

　　師：看來大家都很愛動腦筋，那么接下來我們將例題加以變化。

　　六、例題變式

　　題目：用圖象法求解二元一次方程組時，兩條直線相交于點(2，-4)，求一次函數的關系式。

　　師：請一位同學來分析一下。

　　生：由兩條直線的交點坐標(2，-4)可知，二元一次方程組的解就是，把代入到二元一次方程組中，可得：，解得，所以一次函數的關系式為。

　　師：非常好!

　　七、感悟歸納

　　師：再請同學們思考，如果二元一次方程組轉化成的一次函數的圖象沒有交點，那么所對應的二元一次方程組的解是什么呢?

　　生：我想如果二元一次方程組轉化成的一次函數的圖象沒有交點，那么所對應的二元一次方程組應該無解。

　　八、拓寬提升

　　題目：不畫函數的圖象，判斷下列兩條直線是否有交點?它們的位置關系如何?每組一次函數中的有什么關系?

　　(1)與;

　　(2)與

　　師：你會怎樣分析這道題?

　　生：我們只要求解一下由這兩個一次函數所組成的二元一次方程組的解的情況就可以判斷兩條直線的位置關系。如果方程組有解，那么相應的兩條直線就是相交，如果方程組無解，那么相應的兩條直線就是平行的位置關系。

　　師：很好!抽象成一般結論怎樣敘述?

　　生：對于直線與，當時，兩直線平行;當時，兩直線相交。

　　九、例題再探

　　題目：利用一次函數的圖象解二元一次方程組

　　問：(1)這兩條直線有什么特殊的位置關系?

　　(2)這兩個一次函數的有何特殊的關系?

　　(3)由此，你能得出怎樣的結論?

　　師：哪位同學來嘗試一下?

　　生：(1)這兩條直線是垂直的位置關系;

　　(2)這兩個一次函數的相乘的結果等于-1;

　　(3)仿照剛才的結論，我得出的結論是：對于直線與，當時，兩直線垂直。

　　師：太棒了!那下面的這一題你會做嗎?

　　題目：已知直線和直線

　　(1)若，求的值;

　　(2)若，求垂足的坐標。

　　師：誰來試一下?

　　生：由前面的結論我們可以得出，如果，則，解得：;如果，則，解得，將代入二元一次方程組，可得，求出方程組的解就可以得出垂足的坐標。

　　十、學會創新

　　師：請你根據這節課中的例題(或習題)在學案中編(或出)一道題。看誰出的題新穎、精妙!

　　生：(暢所欲言，踴躍嘗試)

　　十一、小結與思考

　　師：(1)這節課你學到了什么?

　　(2)你還存在哪些疑問?

　　生：(分組討論，代表發言總結)

　　【設計說明】

　　本節課的兩個知識點：二元一次方程和一次函數的關系，二元一次方程組的圖象解法對于學生來說都是難點。就本節課而言，前者較為重要，后者難度較大。確定本節課的重點為前者，是因為學生必須首先理解二元一次方程和一次函數在數與形兩方面的聯系，在此基礎上才能解決好后面的難點。在重難點的處理上，為了解決學生對重點的理解，用一組二元一次方程組串起一節課，加以變式，既使得學生理解了重點內容，又為后面的難點突破留下了一定的時間和空間。本節課的教學，主要以問題為線索，注重引導學生仔細觀察、獨立思考、認真操作、分組討論、合作交流、師生互動，這對本節課的重難點的突破還是有效的，同時也體現了新課改提倡的學生的“自主、合作、探究”的學習方式的培養。另外，對利用二元一次方程組的解判斷直線的位置關系作為補充，滲透數形結合思想，也對教學目標中的情感態度和價值觀的又一方面體現。

　　【教學反思】

　　這節課以“回顧、先思”為先導，以“操作、思考”為手段，以“數、形結合”為要求，以“引導探究，變式拓寬”為主線，從舊知引入，自然過渡、不落痕跡。首先提出學生所熟知的二元一次方程并討論其解的情況，為后面探究二元一次方程與一次函數之間的關系作了必要的準備，結構安排自然、緊湊。在操作中，提出問題、深化認識。一切知識來自于實踐。只有實踐，才能發現問題、提出問題;只有實踐，才能把握知識、深化認識。先讓學生畫出一次函數的圖象，在畫圖的過程中發現：“以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖象上。”在應用結論探索一元二次方程組的圖象解法時，也是在操作中來發現問題。這樣，就給了學生充分體驗、自主探索知識的機會;使他們在自主探索、合作交流中找到了快樂，深化了認識。以能力培養為核心，引導探究為主線，數、形結合為要求。能力培養，特別是創新能力的培養是新課程關注的焦點。能力培養是以自主探究為平臺。“自主”不是一盤散沙，“探究”不是漫無邊際。要提高探究的質量和效益必須在教師的引導下進行。為達到這一目的，教案中設計了“探究導學”、“例題變式”、“例題再探”、“學會創新”和“拓展提升”。新課程理念指出：教師是課程的研究者和開發者。這就要求我們：在新課程標準的指導下，認真研究教材，體會教材的編寫意圖。在此基礎上，設計出既體現課程精神，又適合本班學生實際的教學案例。本節課前半部分時間有些慢，后半部分例題再探和學會創新時間不夠。建議有針對性的學生板演多一點，進一步加強雙基的落實。

　　【同伴點評】

　　本節課教師創設問題情境，引導學生觀察、思考、操作、探究、合作交流。問題的設計層層遞進，通過問題的逐一解決，師生最終形成共識，達到了揭示二元一次方程組與一次函數的圖象關系的目的。(李曉紅)

　　在例題教學及學生動手嘗試時，教師在學生大膽嘗試之后給出解題過程，強調了解題的規范性，有利于培養學生的嚴謹認真的學習態度。同時強調了由于二元一次方程組的圖象解法得到的解往往是近似的，因此必須檢驗。教師對學習二元一次方程組的圖象解法的必要性的解釋，是非常有必要的，這一解釋解決了學生的疑惑，同時也滲透了數形結合思想，也是教學目標中的情感態度和價值觀的體現。對于這一解釋，相當一部分教師在這一節課中并沒有很好解決。這一處理方法值得他人借鑒。(丁葉謙)

　　本節課老師準備充分，教學環節緊緊相扣。授課老師充分體現了課題：“先思后導，變式拓寬教學設計”的精神，不斷地創設問題情境，引導學生學習新知，在探索二元一次方程組的圖象解法時給了學生充分體驗、自主探索知識的機會，使他們在自主探索、合作交流中找到了快樂，深化了認識。同時對例題連續的再利用，不斷變化，讓學生在變式中不斷豐富對二元一次方程組圖象解法的認識，充分認識二元一次方程組圖象解法的實用性，學會創新環節的設計更是極大地調動學生學習的積極性。教師教態親切，語言生動，娓娓道來。

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