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高三數(shù)學(xué)簡單的線性規(guī)劃教案
●知識梳理
1.二元一次不等式表示平面區(qū)域
在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點P(x0，y0).
B0時，①Ax0+By0+C0，則點P(x0，y0)在直線的上方;②Ax0+By0+C0，則點P(x0，y0)在直線的下方.
對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0(或0)，無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù).
當(dāng)B0時，①Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域;②Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域.
2.線性規(guī)劃
求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.
滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域);使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題.
線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：
(1)根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y;
(2)找出線性約束條件;
(3)確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y);
(4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域);
(5)利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f(x，y)=t(t為參數(shù));
(6)觀察圖形，找到直線f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.
●點擊雙基
1.下列命題中正確的是
A.點(0，0)在區(qū)域x+y0內(nèi)
B.點(0，0)在區(qū)域x+y+10內(nèi)
C.點(1，0)在區(qū)域y2x內(nèi)
D.點(0，1)在區(qū)域x-y+10內(nèi)
解析：將(0，0)代入x+y0，成立.
答案：A
2.(2005年海淀區(qū)期末練習(xí)題)設(shè)動點坐標(biāo)(x，y)滿足
(x-y+1)(x+y-4)0，
x3，
A. B. C. D.10
解析：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.
答案：D
2x-y+10，
x-2y-10，
x+y1
A.正三角形及其內(nèi)部
B.等腰三角形及其內(nèi)部
C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域
D.不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域
解析：將(0，0)代入不等式組適合C，不對;將( ， )代入不等式組適合D，不對;又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關(guān)于y=x對稱且所夾頂角滿足
tan= = .
.
答案：B
4.點(-2，t)在直線2x-3y+6=0的上方，則t的取值范圍是________________.
解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，則2(-2)-3t+60，解得t .
答案：t
5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點)共有____________個.
解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3個.
答案：3
●典例剖析
【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|2表示的平面區(qū)域的面積.
剖析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積.
解：|x-1|+|y-1|2可化為
x1， x1， x1， x1，
y1， y1， y1， y1，
x+y 4 x-y 2 y-x 2 x+y0.
其平面區(qū)域如圖.
面積S= 44=8.
評述：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界.
深化拓展
若再求：① ;② 的值域，你會做嗎?
答案： ①(-，- ][ ，+②[1，5].
【例2】 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h(420)從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h(30100)自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點到達(dá)C市.設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h.
(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;
(2)如果已知所需的經(jīng)費(fèi)
p=100+3(5-x)+2(8-y)(元)，
那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟(jì)?此時需花費(fèi)多少元?
剖析：由p=100+3(5-x)+2(8-y)可知影響花費(fèi)的是3x+2y的取值范圍.
解：(1)依題意得v= ，w= ，420，30100.
310， . ①
由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應(yīng)在9至14個小時之間，即914.②
因此，滿足①②的點(x，y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).
(2)∵p=100+3(5-x)+2(8-y)，
3x+2y=131-p.
設(shè)131-p=k，那么當(dāng)k最大時，p最小.在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為- 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(10，4)，即當(dāng)x=10，y=4時，p最小.
此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.
評述：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達(dá)約束條件的不等式.然后分析要求量的幾何意義.
【例3】 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費(fèi)最低?
剖析：弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.
解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費(fèi)為z元，那么
x+y9，
106x+68x360，
04，
07.
z=252x+160y，
其中x、yN.
作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.
作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過點(2，5)時，滿足上述要求.
此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=2522+1605=1304.
答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費(fèi)最低.
評述：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f(x，y)=t的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點要找準(zhǔn)，最好使用網(wǎng)點法先作出可行域中的各整點.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|1的__________條件.
A.充分而不必要 B.必要而不充分
C.充分且必要 D.既不充分也不必要
解析：數(shù)形結(jié)合.
答案：B
2.(x+2y+1)(x-y+4)0表示的平面區(qū)域為
解析：可轉(zhuǎn)化為
x+2y+10， x+2y+10，
x-y+40 x-y+40.
答案：B
3.(2004年全國卷Ⅱ，14)設(shè)x、y滿足約束條件
x0，
xy，
2x-y1，則z=3x+2y的最大值是____________.
解析：如圖，當(dāng)x=y=1時，zmax=5.
答案：5
x-4y+30，
3x+5y-250，
x1，
_________.
解析：作出可行域，如圖.當(dāng)把z看作常數(shù)時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當(dāng)直線y=zx過點A時，z最大;當(dāng)直線y=zx過點B時，z最小.
x=1，
3x+5y-25=0，得A(1， ).
x-4y+3=0，
3x+5y-25=0，
zmax= = ，zmin= .
答案：
5.畫出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點的△ABC的區(qū)域(包括各邊)，寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域;②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式不等式組; ③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值.
解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域.
直線AB的方程為x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0.
在△ABC內(nèi)取一點P(1，1)，分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.
因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y-10，
x-y+20，
2x+y-50.
作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t(t為參數(shù))，即平移直線y= x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y= x- t過A(3，-1)時，縱截距- t最小.此時t最大，tmax=33-2 (-1)=11;
當(dāng)直線y= x- t經(jīng)過點B(-1，1)時，縱截距- t最大，此時t有最小值為tmin= 3(-1)-21=-5.
因此，函數(shù)z=3x-2y在約束條件
x+2y-10，
x-y+20，
2x+y-50
6.某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少?
解：設(shè)每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，
所需費(fèi)用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足
6x+3y8，
4x+7y10，
x0，
y0，
由圖可知，直線y=- x+ S過A( ， )時，縱截距 S最小，即S最小.
故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時既科學(xué)又費(fèi)用最少.
培養(yǎng)能力
7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?
解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑(x、yN)，則
x1，
y1，
3x+5y20，
5x+4y25.
上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1).所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.
8.某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
資 金 單位產(chǎn)品所需資金(百元) 月資金供應(yīng)量(百元)
空調(diào)機(jī) 洗衣機(jī)
成 本 30 20 300
勞動力(工資) 5 10 110
單位利潤 6 8
試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少?
解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有
30x+20y300，
5x+10y110，
x0，
y0，
x、y均為整數(shù).
由圖知直線y=- x+ P過M(4，9)時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=64+89=96(百元).
故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺，洗衣機(jī)9臺時，可獲得最大利潤9600元.
探究創(chuàng)新
9.實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0，1)內(nèi)，另一個根在(1，2)內(nèi)，求：
(1) 的值域;
(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;
(3)a+b-3的值域.
f(0)0
f(1)0
f(2)0
b0，
a+b+10，
a+b+20.
如圖所示. A(-3，1)、B(-2，0)、C(-1，0).
又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為(1)( ，1);(2)(8，17);(3)(-5，-4).
●思悟小結(jié)
簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù);或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.
圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(即邊界線的交點)處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標(biāo)的近似值.它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標(biāo).
●教師下載中心
教學(xué)點睛
線性規(guī)劃是新增添的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)予以足夠重視.
線性規(guī)劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，是解決線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，因為在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x，y)實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(x0，y0)〔若原點不在直線上，則取原點(0，0)最簡便〕，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C0(或0)表示直線的哪一側(cè).這是教材介紹的方法.
在求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)ax+by=t，則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解.
解線性規(guī)劃應(yīng)用題步驟：(1)設(shè)出決策變量，找出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù); (2)利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大(或最小).
拓展題例
【例1】 已知f(x)=px2-q且-4-1，-15，求f(3)的范圍.
解：∵-4-1，-15，
p-q-1，
p-q-4，
4p-q5，
4p-q-1.
求z=9p-q的最值.
p=0，
q=1，
zmin=-1，
p=3，
q=7，
-120.
【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車;B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費(fèi)的總工作時數(shù)最少?
解：設(shè)A廠工作x h，B廠工作y h，總工作時數(shù)為t h，則t=x+y，且x+3y40，2x+y20，x0，y0，可行解區(qū)域如圖.而符合問題的解為此區(qū)域內(nèi)的格子點(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為格子點)，于是問題變?yōu)橐诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出格子點(x，y)，使t=x+y的值為最小.
由圖知當(dāng)直線l：y=-x+t過Q點時，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看Q點是否是格子點.
x+3y=40，
2x+y=20，
得Q(4，12)為格子點.
故A廠工作4 h，B廠工作12 h，可使所費(fèi)的總工作時數(shù)最少.
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